1、7.5 三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,第1课时 三角形内角和定理,八年级数学北师版,学习目标,2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）,1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.（重点）,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,导入新课,情境引入,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.,思考：除了度量以外，你还有什么办
2、法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,讲授新课,探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,求证：A+B+C=180.,已知：ABC.,证法1：过点A作lBC，B=1. (两直线平行,内错角相等) C=2. (两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=180.,1,2,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA， A
3、=1 . (两直线平行，内错角相等)B=2. (两直线平行，同位角相等) 又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.,E,D,E,D,F,证法3：过D作DEAC,作DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行，同位角相等)A+AED=180, AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.,想一想：同学们还有其他的方法吗？,思考：多种方法证明的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,知识要点,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成
4、虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,例1 如图，在ABC中， BAC=40 , B=75 ,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40 , AD是ABC的角平分线，得,BAD= BAC=20 .,在ABD中， ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85.,【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数,解：A50，B70， ACB180AB60. CD是ACB的平分线， BCD ACB30. DEBC， EDCBCD30， 在BDC中，B
5、DC180BBCD=80.,例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.,解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又CFDAFE， CFD60. 在CDF中，CFD60，FCD80， D180CFDFCD40.,基本图形,由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,总结归纳,例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.,解: 设B为x，则A为(3x)， C为(x 15)， 从而有,3x x (x 15)
6、 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 ， x 15 48.,答： A， B， C的度数分别为99， 33， 48.,几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.,【变式题】在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数,解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解：A B ACB， 设Ax，B2x，ACB3x. ABACB180， x2x3x180，得x30， A30，ACB90. CD是ABC的高，ADC90，
7、 ACD180903060. CE是ACB的平分线， ACE 9045， DCEACDACE604515.,在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是_三角形 .,练一练：,在ABC中，A=35， B=43 ，则 C= .,在ABC中， A= B+10, C= A + 10, 则 A= ， B= ， C= .,102,直角,60,50,70,例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.,解： CAB= BAD-
8、CAD=80 -50=30.,由AD/BE,得BAD+ ABE=180 .,所以ABE=180 - BAD=180-80 =100,ABC= ABE- EBC=100 -40=60.,在ABC中， ACB=180 - ABC- CAB =180-60-30 =90,答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60 ,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.,【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.,解：如图， 由题意得BEAD,BAD=40， CAD=15，EBC=80， EBA=BAD=40， BAC=
9、40+15=55, CBA=EBC-EBA=80-40=40， ACB=180-BAC-ABC=180-55-40=85,D,E,当堂练习,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,2.如图，则1+2+3+4=_ .,280 ,3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数,解：A+ADE=180， ABDE， CED=B=78 又C=60， EDC=180-（CED+C） =180-（78+60） =42,4.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC求ADC的度数.,解：B=42，C=78， BAC=180
10、-B-C=60. AD平分BAC， CAD= BAC=30， ADC=180-B-CAD=72.,5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数,解：ABC中，A=60， ABC+ACB=120 BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60 PBC+PCB+BPC=180， BPC=180-60=120,拓 展,【变式题】你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗？,解：BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60 PBC+PCB+BPC=180， BPC=180- （ABC+ACB）=180- （180-A）=90+ A ,课堂小结,三角形的 内角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于180 ,
