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7.5 第1课时《三角形内角和定理》课件

1、7.5 三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,第1课时 三角形内角和定理,八年级数学北师版,学习目标,2.会运用三角形内角和定理进行计算.(难点),1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.(重点),我的形状最小,那我的内角和最小.,我的形状最大,那我的内角和最大.,不对,我有一个钝角,所以我的内角和才是最大的.,一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,导入新课,情境引入,我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关,所以它们的说法都是错误的.,思考:除了度量以外,你还有什么办

2、法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法,你知道怎样操作吗?,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程,你能发现证明的思路吗?,还有其他的拼接方法吗?,讲授新课,探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起.,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,求证:A+B+C=180.,已知:ABC.,证法1:过点A作lBC,B=1. (两直线平行,内错角相等) C=2. (两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180, B+C+BAC=180.,1,2,证法2:延长BC到D,过点C作CEBA, A

3、=1 . (两直线平行,内错角相等)B=2. (两直线平行,同位角相等) 又1+2+ACB=180,A+B+ACB=180.,E,D,E,D,F,证法3:过D作DEAC,作DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行,同位角相等)A+AED=180, AED+EDF=180, (两直线平行,同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180,A+B+C=180.,想一想:同学们还有其他的方法吗?,思考:多种方法证明的核心是什么?,借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.,知识要点,在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成

4、虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,例1 如图,在ABC中, BAC=40 , B=75 ,AD是ABC的角平分线,求ADB的度数.,解:由BAC=40 , AD是ABC的角平分线,得,BAD= BAC=20 .,在ABD中, ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85.,【变式题】如图,CD是ACB的平分线,DEBC,A50,B70,求EDC,BDC的度数,解:A50,B70, ACB180AB60. CD是ACB的平分线, BCD ACB30. DEBC, EDCBCD30, 在BDC中,B

5、DC180BBCD=80.,例2 如图,ABC中,D在BC的延长线上,过D作DEAB于E,交AC于F.已知A30,FCD80,求D.,解:DEAB,FEA90 在AEF中,FEA90,A30, AFE180FEAA60. 又CFDAFE, CFD60. 在CDF中,CFD60,FCD80, D180CFDFCD40.,基本图形,由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,总结归纳,例3 在ABC 中, A 的度数是B 的度数的3倍,C 比B 大15,求A,B,C的度数.,解: 设B为x,则A为(3x), C为(x 15), 从而有,3x x (x 15)

6、 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 , x 15 48.,答: A, B, C的度数分别为99, 33, 48.,几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.,【变式题】在ABC中,A B ACB,CD是ABC的高,CE是ACB的平分线,求DCE的度数,解析:根据已知条件用A表示出B和ACB,利用三角形的内角和求出A,再求出ACB,ACD,最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解:A B ACB, 设Ax,B2x,ACB3x. ABACB180, x2x3x180,得x30, A30,ACB90. CD是ABC的高,ADC90,

7、 ACD180903060. CE是ACB的平分线, ACE 9045, DCEACDACE604515.,在ABC中,A :B:C=1:2:3,则ABC是_三角形 .,练一练:,在ABC中,A=35, B=43 ,则 C= .,在ABC中, A= B+10, C= A + 10, 则 A= , B= , C= .,102,直角,60,50,70,例4 如图,C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80 方向,C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度?,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.,解: CAB= BAD-

8、CAD=80 -50=30.,由AD/BE,得BAD+ ABE=180 .,所以ABE=180 - BAD=180-80 =100,ABC= ABE- EBC=100 -40=60.,在ABC中, ACB=180 - ABC- CAB =180-60-30 =90,答:从B岛看A,C两岛的视角ABC是60 ,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.,【变式题】如图,B岛在A岛的南偏西40方向,C岛在A岛的南偏东15方向,C岛在B岛的北偏东80方向,求从C岛看A,B两岛的视角ACB的度数.,解:如图, 由题意得BEAD,BAD=40, CAD=15,EBC=80, EBA=BAD=40, BAC=

9、40+15=55, CBA=EBC-EBA=80-40=40, ACB=180-BAC-ABC=180-55-40=85,D,E,当堂练习,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,2.如图,则1+2+3+4=_ .,280 ,3.如图,四边形ABCD中,点E在BC上,A+ADE=180,B=78,C=60,求EDC的度数,解:A+ADE=180, ABDE, CED=B=78 又C=60, EDC=180-(CED+C) =180-(78+60) =42,4.如图,在ABC中,B=42,C=78,AD平分BAC求ADC的度数.,解:B=42,C=78, BAC=180

10、-B-C=60. AD平分BAC, CAD= BAC=30, ADC=180-B-CAD=72.,5.如图,在ABC中,BP平分ABC,CP平分ACB,若BAC=60,求BPC的度数,解:ABC中,A=60, ABC+ACB=120 BP平分ABC,CP平分ACB, PBC+PCB= (ABC+ACB)=60 PBC+PCB+BPC=180, BPC=180-60=120,拓 展,【变式题】你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗?,解:BP平分ABC,CP平分ACB, PBC+PCB= (ABC+ACB)=60 PBC+PCB+BPC=180, BPC=180- (ABC+ACB)=180- (180-A)=90+ A ,课堂小结,三角形的 内角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于180 ,