1、1.3 勾股定理的应用,第一章 勾股定理,八年级数学北师版,情境引入,学习目标,1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. (重点,难点),在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？,C,B,A,AC+CBAB（两点之间线段最短）,导入新课,情境引入,思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？,讲授新课,问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？,想一想： 蚂蚁走哪一条路线
2、最近？,A,蚂蚁AB的路线,若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm， 取3，则:,侧面展开图,【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.,A,A,例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，取3）,A,B,A,B,A,B,解：油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离. AA=232=12, AB=5, AB=13. 即梯子最短需13米.,典例精析,数学思想：,立体图形,平面图形,转化,展开,变式1：当小蚂蚁爬到距离上
3、底3cm的点E时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短路程是多少？（取3）,解：如图，可知ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， EF=10(cm).,B,牛奶盒,A,变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？,6cm,8cm,10cm,B,B1,8,A,B2,6,10,B3,AB12 =102 +（6+8）2 =296,AB22= 82 +（10+
4、6）2 =320,AB32= 62 +（10+8）2 =360,问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？,解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.,AB2+BC2=AC2,ABC为直角三角形,（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？,解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，,得DAB=90，AD边垂直于AB边.,（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？,解:在AD上取点M,使AM=
5、9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.,例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.,故滑道AC的长度为5 m.,解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m.,在RtACE中，AEC=90，,由勾股定理得AE2+CE2=AC2，,即（x-1）2+32=x2，,解得x=5.,数学思想：,实际问题,数学问题,转化,建模,例3 如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37方向走了300m到
6、达目的地C.求A、C两点之间的距离,解：如图，过点B作BEAD. DABABE53. 37CBAABE180， CBA90， AC2BC2AB2300240025002， AC500m， 即A、C两点间的距离为500m.,E,方法总结,此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题,当堂练习,1如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm,B,2有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠
7、近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？,解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:,最短时, x=1.5,所以最长是2.5+0.5=3(m).,答:这根铁棒的长应在23 m之间.,所以最短是1.5+0.5=2(m).,解得：x=2.5,梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m.,解：在RtAOB中，,在RtCOD中，,3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗?,4.我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水
8、面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,D,A,B,C,解：设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，,在直角三角形ABC中，BC=5尺,由勾股定理得，BC2+AC2=AB2,即 52+ x2= (x+1)2,25+ x2= x2+2x+1，,2 x=24，, x=12， x+1=13.,答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.,5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？,解：如图，在RtABC中， 因为AC36cm，BC108427(cm) 由勾股定理，得 AB2AC2BC23622722025452， 所以AB45cm， 所以整个油纸的长为454180(cm),勾股定理的应用,立体图形中两点之间的最短距离,课堂小结,勾股定理的实际应用,
