1、 第 1 页 共 12 页【期末 解析】湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根为 x11，x 21，那么下列结论一定成立的是( ) A. b24ac0 B. b24ac0 C. b24ac0.故答案为：A.【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以 -4ac0。b22.用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） x2-2x-5=0A. B. C. D. (x+1)2=6 (x+2)2=9 (x-1)2=6 (x-2)2=9【答案】C 【考点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】由
2、原方程移项，得x2x=5，方程的两边同时加上一次项系数2 的一半的平方 1，得x2x+1=6(x1) =6.故答案为：C.【分析】根据完全平方公式为 求解即可。a22ab+b2=(ab)23.一元二次方程 x23x2=0 的两根为 x1 ， x2 ， 则下列结论正确的是（ ） A. x1=1，x 2=2 B. x1=1，x 2=2 C. x1+x2=3 D. x1x2=2【答案】C 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：方程 x23x2=0 的两根为 x1 ， x2 ， x1+x2= =3， x1x2= =2，ba caC 不符合题意故答案为：C【分析】由一元二次方程的根与
3、系数的关系可得： 即可判断。x1+x2= -ba,x1x2=ca4.若关于 x 的一元二次方程 mx22x1=0 无实数根，则一次函数 y=（m+1）xm 的图象不经过（ ）第 2 页 共 12 页A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：根据题意得 m0 且=（ 2） 24m（ 1）0，解得 m1，所以一次函数 y=（m+1 ）x m 的图象第一、二、四象限故选 C【分析】根据判别式的意义得到 m0 且=（ 2） 24m（ 1）0，解得 m 1，然后根据一次函数的性质求解5.已知关于 x 的一元二次方程 mx
4、2+3x4=3x2 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】A 【考点】一元二次方程的定义，根的判别式 【解析】【解答】解：mx 2+3x4=3x2 ， （m3）x 2+3x4=0，关于 x 的一元二次方程 mx2+3x4=3x2 有两个不相等的实数根，=b24ac=324（m3）（4）0，m 30，m 且 m3，3916m 的值可以是 4，故选：A【分析】根据一元二次方程根的判别式和定义可得：=b 24ac=324（m 3）（4）0 ，m30 ，再求出 m的取值范围即可第 3 页 共 12 页6.方程 的解是（ ） x2-4x=0A. x
5、=4 B. x=2 C. x=4 或 x=0 D. x=0【答案】C 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【分析】观察方程 可进行因式分解的方法解，把公因式 x 提出来即解得。x2-4x=0【解答】 因式分解得x(x-4)=0解得 x=4 或 x=0选 C【点评】本题考查解方程，考生要掌握解一元二次方程的方法，并利用一元二次方程的方法正确解答题。7.已知 P=x22x，Q=2x5（x 为任意实数），则关于 P，Q 的大小关系判断正确的是（ ）A. PQB. P=QC. PQD. 无法确定【答案】A 【考点】配方法的应用 【解析】【解答】解：P=x 22x，Q=2x5 （x 为任意实数），
6、PQ=x22x（2x5 ）=x 24x+5=（ x2） 2+10 ，PQ 故选：A【分析】直接求出 PQ 的差，利用完全平方公式以及偶次方的性质求出即可8.已知 ，则 m2+n2 的值为（ ） A. -4 或 2 B. -2 或 4 C. -4 D. 2【答案】D 第 4 页 共 12 页【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】设 y= m2+n2 ， 原方程变形为 y（y+2）-8=0整理得，y 2+2y-8=0，（y+4）（y-2 ）=0 ，解得 y1=-4，y 2=2，m2+n20，所以 m2+n2 的值为 2，故选 D【分析】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换
7、元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的9.若方程（a-b）x 2+（b-c）x+（c-a）=0 是关于 x 的一元二次方程，则必有（ ） A. a=b=c B. 一根为 1 C. 一根为 -1 D. 以上都不对【答案】B 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解 【解析】【解答】A当 a=b=c 时，a-b=0，b-c=0，则式子不是方程，故错误；B把 x=1 代入方程的左边：a-b+b-c+c-a=0方程成立，所以 x=1 是方程（a-b）x 2+（
8、b-c）x+（c-a）=0 的解；C把 x=-1 代入方程的左边：a-b+c-b+c-a=2（c-b）=0 不一定成立，故选项错误所以选 B【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立对于前三个选项分别检验即可10.已知关于 x 的一元四次方程 x4+px2+qx+r=0 有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（ ）个p+q=r 可能成立；p+r=q 可能成立；q+r=p 可能成立 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设三个相等的根为 m，另一个与之不同
9、的根为 n，则（xm） 3（xn）=0 ，展开得：x 4（3m+n）x 3+（3m 2+2m+mn）x 2（m 3+3m2n） x+m3n=0，根据对应项系数相等：3m+n=0，3m 2+2m+mn=p， （m 3+3m2n）=q，m 3n=r，把 n=3m 代入得：p=2m，q=8m 3 ， r=3m4 ， 故当 m0 时，p0 ，q0，r0，当 m0 时，p0 ，q0，r0，故 p+r=q 可能成立，q+r=p 可能成立第 5 页 共 12 页故答案为：B【分析】设三个相等的根为 m，另一个与之不同的根为 n，则（xm） 3（xn）=0 ，展开得：x 4（3m+n）x3+（3m 2+2m+
10、mn）x 2（m 3+3m2n）x+m 3n=0，根据对应项系数相等即可得出答案二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.方程（2y+1）（2y 3）=0 的根是_ 【答案】y 1= ，y 2= 12 32【考点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（2y+1 ）（2y 3）=0， 2y+1=0 或 2y3=0，解得 y1=- ，y 2= 12 32【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得12.关于 x 的一元二次方程 x26x+2k=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是_ 【答案】k 92【考点】一元二次方程根的判别式及应
11、用 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x26x+2k=0 有两个不相等的实数根， =（6） 242k0，解得 k 92故答案为：k 92【分析】根据判别式的意义得到= （6） 242k0，然后解不等式即可13.设方程 x23x1=0 的两根分别为 x1 ， x2 ， 则 x1+x2=_ 【答案】3 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：方程 x2+3x1=0 的二次项系数 a=1，一次项系数 b=3，x1+x2= = =3ba -31故答案是：3【分析】利用根与系数的关系 x1+x2= 解答并填空即可ba第 6 页 共 12 页14.若关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0
12、，则另一个根是_ x2-x+k=0【答案】1 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】设 x1 ， x2 是关于 x 的一元二次方程 x2x+k=0 的两个根，关于 x 的一元二次方程 x2x+k=0 的一个根是 0，由韦达定理，得 x1+x2=1，即 x2=1，即方程的另一个根是 1.故答案为：1.【分析】直接利用根与系数的关系，求得两根之和为 1，代入一根即可得另一根。15.随着经济的发展，桐乡房价从 2015 年的 8000 元/ 平方米,增长到 2017 年的 11520 元/平方米，设平均每年的增长率相同为 x，则根据题意可列方程为_. 【答案】8000 （1+x）=1
13、1520 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】2016 年的房价为 8000（1+x），则 2017 年的房价为 8000（1+x）(1+x),即 8000（1+x ）=11520.【分析】增长率问题.16.关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 m 的取值范围是_ x2-2x+m=0【答案】m1 【考点】根的判别式 【解析】【解答】方程有两个实数根，a=1 ，b= 2，c=m=b24ac=（2） 241m0，解得 m1故答案是 m1【分析】考查根的判别式17.已知 x 为实数 ,且满足(x 23x) 2(x 23x)60,则 x23x 的值为_. 【答案】2 【考点】因式分解法解一元
14、二次方程 【解析】【解答】 (x2+3x)2+(x2+3x)-6=0,没有实数根. (x2+3x)-2(x2+3x)+3=0. (x2+3x)-2=0,(x2+3x)+3=0.x2+3x+3=0故答案为： x2+3x=2. 2.【分析】将 x23x 看着整体，将方程的左边分解因式，利用分解因式法解方程求出 x23x 的值即可。18.已知 x=2 是方程 2a=0 的一个根，则 2a+1=_ 32x2【答案】7 【考点】一元二次方程的解 第 7 页 共 12 页【解析】【解答】解：把 x=2 代入 2a=0 得 62a=0， 解得 2a=6，32x22a+1=6+1=7故答案为 7【分析】根据一
15、元二次方程解的定义把 x=2 代入 2a=0 得到关于 a 的方程，然后解关于 a 的方程即32x2可19.已知 m 为实数，若（m 2+4m） 2+5（m 2+4m） 24=0，则 m2+4m 的值为_ 【答案】3【考点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：设 t=m2+4m，则由原方程得到：t 2+5t24=0，整理，得（t3）（t+8 ）=0 ，解得 t=3 或 t=8t=8 时，方程 m2+4m+8=0 无解，t=3，m2+4m=3，故答案是：3【分析】设 t=m2+4m，则原方程转化为关于 t 的一元二次方程 t2+5t24=0，利用因式分解法求得 t 的值，即 m2+4m
16、 的值即可20.（ 2014桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1） x+k22=0 的两根为 x1 和 x2 ， 且（x 12）（x 1x2）=0 ，则 k 的值是_ 【答案】2 或 94【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：（x 12）（x 1x2）=0 ， x12=0 或 x1x2=0如果 x12=0，那么 x1=2，将 x=2 代入 x2+（2k+1 ）x+k 22=0，第 8 页 共 12 页得 4+2（2k+1）+k 22=0，整理，得 k2+4k+4=0，解得 k=2；如果 x1x2=0，那么（x 1x2） 2=（x
17、 1+x2） 24x1x2=（2k+1 ） 24（k 22）=4k+9=0，解得 k= 94又=（2k+1） 24（k 22）0解得：k 94所以 k 的值为 2 或 94故答案为：2 或 94【分析】先由（x 12）（x 1x2）=0 ，得出 x12=0 或 x1x2=0，再分两种情况进行讨论：如果 x12=0，将x=2 代入 x2+（ 2k+1）x+k 22=0，得 4+2（2k+1）+k 22=0，解方程求出 k=2；如果 x1x2=0，那么将x1+x2=（2k+1）， x1x2=k22 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.解下列方程 （
18、1 ） 2x2-x=0 （2 ） x2-4x=4 【答案】（1）解：2x 2-x=0，2x(x-1)=0，2x=0 或 x-1=0，则 x1=0,x2=1.（2 ）解：方程两边同时+4，得 x2-4x+4=4+4，（x-2） 2=8,x-2=2 ，2则 x1=2+2 ,x2=2-2 . 2 2【考点】解一元二次方程配方法，解一元二次方程 因式分解法 【解析】【分析】(1)考查运用解一元二次方程- 因式分解法；（2 ）考查运用解一元二次方程-配方法。选择合适的解答方法，使解答更简便。第 9 页 共 12 页22.已知 是关于 x 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 , x2+(2m+3
19、)x+m2=0，求 m 的值 . 1 + 1 = -1【答案】解：方程有两个不相等的实数根， ， =(2m+3)2-4m20解得： ，m -34依题意得： ， + = -(2m+3)， =m2 .1 + 1 = + = -(2m+3)m2 = -1解得： ，m1= -1， m2=3经检验： 是原方程的解，m1= -1， m2=3 ，m -34 . m=3【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】先利用判别式求出方程有两个不相等的实数根时 m 的取值范围，然后再根据根与系数的关系求出 m 的取值范围，取舍即可23.已知 x1 ， x2 是方程 x2（ k
20、2）x+k 2+3k+5=0 的实数根（x 1 ， x2 可相等）（1 ）证明方程的两根都小于 0；（2 ）当实数 k 取何值时 x12+x22 最大？并求出最大值 【答案】（1）证明： =（k2） 24（k 2+3k+5）0 ，4k ，43x1+x2=k2，x 1x2=k2+3k+5，x1+x2=k20， x1x2=k2+3k+50，方程的两根都小于 0；（2 ）解：x 12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=（k 2） 22（k 2+3k+5）= k210k6=（k+5） 2+19，4k ，43k=4 时，x 12+x22 有最大值，最大值为（4+5 ） 2+19=18 【考点】根的
21、判别式，根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到 =（k2 ） 24（k 2+3k+5）0，解此不等式得到4k ， 43再由根与系数的关系得 x1+x2=k2，x 1x2=k2+3k+5，利用 k 的取值范围有 x1+x2=k20，x 1x2=k2+3k+50 ，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于 0；第 10 页 共 12 页（2 ）利用完全平方公式得到 x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=（k 2） 22（k 2+3k+5）=（k+5） 2+19，然后根据二次函数的最值问题求解24.如图，在一块长为 22 米，宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽
22、的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米，那么道路的宽度应该是多少？【答案】解：设道路的宽应为 x 米，由题意有（22 x）（17x）=300，解得：x 1=37（舍去），x 2=2答：修建的路宽为 2 米 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可25.某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10 件当每件商品的售价定为多少元时，每个月
23、的利润恰为 2200 元？ 【答案】解：解法一：设每件商品的售价上涨 x 元，（21010x）（ 50+x40）=2200，解得 x1=1，x 2=10，当 x=1 时，50+x=51，当 x=10 时，50+x=60；解法二：设每件商品的售价为 x 元，21010（x50 ）（x 40）=2200，解得 x1=51，x 2=60，答：当每件商品的售价定为 51 或 60 元时，每个月的利润恰为 2200 元 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】根据每天的利润=一件的利润 销售量，由此设出未知数，建立方程解决问题26.如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形
24、地面，请观察图形并解答下列问题（1 ）问：依据规律在第 6 个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；（2 ）某新学校教室要装修，每间教室面积为 68m2 ， 准备定制边长为 0.5 米的正方形白色瓷砖和长为第 11 页 共 12 页0.5 米、宽为 0.25 米的长方形黑色瓷砖来铺地面按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设已知白色瓷砖每块 20 元，黑色瓷砖每块 10 元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？【答案】解：（1）通过观察图形可知，当 n=1 时，黑色瓷砖有 8 块，白瓷砖 2 块；当 n=2 时，黑色瓷砖有 12 块，白瓷砖 6 块；当 n=3 时，黑色瓷砖有 16 块，
25、用白瓷砖 12 块；则在第 n 个图形中，黑色瓷砖的块数可用含 n 的代数式表示为 4（n+1 ），白瓷砖的块数可用含 n 的代数式表示为 n（n+1），当 n=6 时，黑色瓷砖的块数有 4（6+1）=28 块，白色瓷砖有 6（6+1 ）=42 块；故答案为：28，42 ；（2 ）设白色瓷砖的行数为 n，根据题意，得：0.52n（ n+1）+0.50.254（ n+1）=68，解得 n1=15，n 2=18（不合题意，舍去），白色瓷砖块数为 n（n+1）=240，黑色瓷砖块数为 4（n+1）=64，所以每间教室瓷砖共需要：20240+1064=5440 元 答：每间教室瓷砖共需要 5440 元
26、 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）通过观察发现规律得出黑色瓷砖的块数可用含 n 的代数式表示为 4（n+1），白瓷砖的块数可用含 n 的代数式表示为 n（n+1 ），然后将 n=6 代入计算即可；（2 ）设白色瓷砖的行数为 n，根据每间教室面积为 68m2 为等量关系列出方程，进而求解即可27.如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB， BC 各为多少米？第 12 页 共 12 页【答案】解:设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（1004x）米根据题意得 :（1004x）x
27、=400，解得 x1=20，x 2=5 则 1004x=20 或 1004x=808025， x2=5 舍去 即 AB=20，BC=20答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】首先设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（ 1004x）米，然后根据面积列出一元二次方程，求出 x 的值，然后根据 100-4x25 进行验根，得出答案.28.某商店进了一批服装，每件成本 50 元，如果按每件 60 元出售，可销售 800 件，如果每件提价 5 元出售，其销量将减少 100 件。（1 ）求售价为 70 元时的销售量及销售利润；（2 ）求销
28、售利润 y（元）与售价 x（元）之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；（3 ）如果商店销售这批服装想获利 12000 元，那么这批服装的定价是多少元？ 【答案】解：（1）销售量为 800-20（70-60）=600 （件），600（70-50）=60020=12000（元）（2 ） y=（x-50）800-20（x-60）=-20x 2+3000x-100000，=-20（x-75） 2+12500，所以当销售价为 75 元时获得最大利润为 12500 元（3 ）当 y=12000 时，-20（x-75） 2+12500=12000，解得 x1=70，x 2=80，即定价为 70 元或 80 元时这批服装可获利 12000 元 【考点】一元二次方程的应用，二次函数的最值，二次函数的应用 【解析】【分析】此题应明确公式：销售利润=销售量 （售价-成本），求售价为多少元时获得最大利润，需考虑二次函数最值问题
