1、2.3 等腰三角形,我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？,新知探究,任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.,作ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，,由于1=2，AB=AC，因此：,D,1,2,射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ； 线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ； 点B的像是点C， 点C的像是点 ； 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 对称.,AB,AB,B,AD,由于点D的像是点D， 因此线段DB的像是线段 ， 从而AD是底边BC上的 . 由于射线DB的像是射线
2、DC， 射线DA的像是射线 ， 因此BDA CDA= ， 从而AD是底边BC上的 . 由于射线BA的像是射线CA， 射线BC的像是射线 ， 因此B C.,DC,中线,DA,=,90,高,CB,=,由此得到等腰三角形的性质定理：,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.,新知归纳,等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”).,等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).,因为ABC是等边三角形， 所以AB=BC=AC， 从而C=A=B. 由三角形内角和定理可得： A=B=C=60.,如图，ABC是等边三角形，那么A，B，C 的大小之间有什么关系呢？,疑问升
3、级,由此得到等边三角形的如下性质：,等边三角形的三个内角相等，且都等于60.,新知归纳,由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.,新知归纳,例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.,证明 作AFBC，垂足为点F，,则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线., BF=CF，, BF-DF=CF-EF，,DF=EF，,即 BD=CE.,F,例题讲解,如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线
4、上.,（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.,（2）这时BC处于水平位置，为什么？,新知探究,1. 如图，在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，BAC=49，BC= 4，求BAD的度数及DC的长.,答：BAD=24.5，DC=2.,随堂练习,2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且APD= 80，AD=AP，求DPC的度数.,答：DPC =20.,随堂练习,我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？,如图，在ABC中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？,疑问升级,测量后发现AB与AC相等.,3cm,3cm,事实上，如图，在ABC中，
5、B=C.,沿过点A的直线把BAC对折，,得BAC的平分线AD交BC于点D，,则1=2.,又B=C，,由三角形内角和的性质得 ADB=ADC.,D,沿AD所在直线折叠，,由于ADB=ADC，1=2，,所以射线DB与射线DC重合，,射线AB与射线AC重合.,从而点B与点C重合，,于是AB=AC.,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).,新知归纳,三个角都是60的三角形是等边三角形.,由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：,例2 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DEBC.求证：ADE为等腰三角形.,证明 AB=AC，,
6、B=C.,又 DEBC，, ADE=B，AED=C., ADE=AED.,于是ADE为等腰三角形.,例题讲解,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？,疑问升级,如图，在等腰三角形ABC中，,AB=AC.,由三角形内角和定理得A+B+C= 180.,如果顶角A=60，,则B+C= 180-60=120.,又 AB=AC，, B=C., B=C=A=60., ABC是等边三角形.,由此得到另一条等边三角形的判定定理：,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形,新知归纳,例3 已知：如图，ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证：ADE是等边三角形.,证明
7、 ABC是等边三角形，,BAC=B=C= 60.,EAD=BAC= 60，,又 AD =AE，,ADE是等边三角形,（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）,例题讲解,1. 已知：等腰三角形ABC的底角ABC和ACB的平分线相交于点O.求证：OBC为等腰三角形., ABD =DBC= ，ACE =ECB= ，,随堂练习, DBC =ECB，, OBC是等腰三角形.,又 ABC是等腰三角形，, ABC =ACB，,2. 已知：如图，CD平分ACB，AEDC，AE交BC的延长线于点E，且ACE= 60. 求证：ACE是等边三角形., 在ACE中，CAE= 180- E -ACE =60 ,又AC
8、E=60，, BCD=E=60，, ACD =DCB，, ACD=DCB=60，,又 AEDC，, CAE = ACE=E=60,ACE是等边三角形.,随堂练习,3. 已知：如图，AB=BC ，CDE= 120， DFBA，且DF平分CDE.求证：ABC是等边三角形.,ABC是等边三角形.,又CDE=120，DF平分CDE., FDC=ABC=60，, ABC是等腰三角形，, EDF=FDC=60，,又DFBA，,随堂练习,例1,等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cm,B,另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5. 周长为5+5+2=12cm.,解析：,中考试题,例2,若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A. 50 B. 80C. 65或50 D. 50或80,因为50可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.,D,解析：,中考试题,谢 谢,
