1、2017-2018 学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）抛物线 y=16x2 的准线方程是（ ）Ax=4 Bx= 4 Cy= Dy=2 （5 分）若双曲线 =1 的一条渐近线经过点（3，4） ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D3 （5 分） “1 m3” 是“ 方程 + =1 表示椭圆”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽4 米，则水位下降 2 米后（水足够深） ，水面宽（ ）米A2
2、B4 C4 D25 （5 分）椭圆 （ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F 2若|AF 1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D6 （5 分）若 A（x，5x，2x1） ，B（1，x+2，2x） ，当| |取最小值时，x 的值等于（ ）A19 B C D7 （5 分）已知命题 p： xR，x2lgx，命题 q： xR，e x1，则（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q ）是假命题8 （5 分）设 F1，F 2 为曲线 C1： 的焦点，P 是曲线 C2： y2=1 与 C1
3、的一个交点，则 cosF 1PF2 的值是（ ）A B C D9 （5 分）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B 两点，F 2 是椭圆的右焦点，则ABF 2 的周长的最小值为（ ）A7 B8 C9 D1010 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 ABC1D1 的距离为（ ）A B C D11 （5 分）已知直线 l 的斜率为 k，它与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点， =3 ，则 |k|=（ ）A2 B C D12 （5 分）过双曲线 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线
4、交于A，B 两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率 e 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）给定下列命题：“x1”是“x2” 的充分不必要条件；“若 sin ，则 ”；若 xy=0，则 x=0 且 y=0”的逆否命题；命题“x 0R，使 x02x0+10” 的否定其中真命题的序号是 14 （5 分）已知 =（2， 1，3） ， =（1，4，2） ， =（7，5，） ，若 ， ，三向量共面，则 = 15 （5 分）已知 A 是双曲线 C： （a0，b0）的右顶点，过左焦点F 与 y 轴平行的直线交双曲线
5、 C 于 P、Q 两点，若APQ 是锐角三角形，则双曲线 C 的离心率的范围 16 （5 分）如图，已知点 C 的坐标是（2，2）过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B，设点 M 是线段 AB 的中点，则点 M 的轨迹方程为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）给出两个命题：命题甲：关于 x 的不等式 x2+（a1）x+a 20 的解集为，命题乙：函数 y=（2a 2a） x 为增函数分别求出符合下列条件的实数 a 的范围（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）
6、甲、乙中有且只有一个是真命题18 （12 分）已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出 、 的坐标；（2）求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值19 （12 分）如图，直棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA1=AC=CB= AB（）证明：BC 1平面 A1CD（）求二面角 DA1CE 的正弦值20 （12 分）已知椭圆 C： （ab 0 ）的离心率 e= ，A，B 是椭圆C 上两点，N（3，1）是线段 AB 的中点（1）求直线 AB 的方程；（2）若以
7、AB 为直径的圆与直线 相切，求出该椭圆方程21 （12 分）已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1，0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1（）求曲线 C 的方程；（）是否存在正数 m，对于过点 M（m ，0）且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由22 （12 分）已知椭圆 ，四点中恰有三点在椭圆上（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A、B 两点，若直线 P2A 与 P2B 直线的斜率的和为1，证明：l 过定点2017-2018 学年甘肃兰州高二（上）期末数学试卷（
8、理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）抛物线 y=16x2 的准线方程是（ ）Ax=4 Bx= 4 Cy= Dy=【解答】解：抛物线的方程为 y=16x2，其标准方程为 x2= y，其开口向上，且 p= ，则其准线方程为：y= ；故选：D2 （5 分）若双曲线 =1 的一条渐近线经过点（3，4） ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解：双曲线 =1 的一条渐近线经过点（3，4） ，可得 3b=4a，即9（c 2a2）=16a 2，解得 = 故选：D3 （5 分） “1 m3” 是“ 方程 + =1 表示椭圆”的（ ）A充
9、分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：若方程 + =1 表示椭圆，则满足 ，即 ，即 1m3 且 m2，此时 1m3 成立，即必要性成立，当 m=2 时，满足 1m 3，但此时方程 + =1 等价为 为圆，不是椭圆，不满足条件即充分性不成立故“1m 3”是“方程 + =1 表示椭圆” 的必要不充分条件，故选：B4 （5 分）如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽4 米，则水位下降 2 米后（水足够深） ，水面宽（ ）米A2 B4 C4 D2【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 x2=my，将 A（2， 2）代入 x2
10、=my，得 m=2x 2=2y，代入 B（x 0， 4）得 x0=2 ，故水面宽为 4 m故选：B5 （5 分）椭圆 （ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F 2若|AF 1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D【解答】解：设该椭圆的半焦距为 c，由题意可得，|AF1|=ac，|F 1F2|=2c，|F 1B|=a+c，|AF 1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，（2c） 2=（a c） （a+c） ， = ，即 e2= ，e= ，即此椭圆的离心率为 故选 B6 （5 分）若 A（x，5x，2x1） ，B（1，x+2
11、，2x） ，当| |取最小值时，x 的值等于（ ）A19 B C D【解答】解： =（1x， 2x3，3x+3） ，| |=求出被开方数的对称轴为 x=当 时，| |取最小值故选 C7 （5 分）已知命题 p： xR，x2lgx，命题 q： xR，e x1，则（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q ）是假命题【解答】解：对于命题 p：例如当 x=10 时，81 成立，故命题 p 是真命题；对于命题 q：xR ，e x1，当 x=0 时命题不成立，故命题 q 是假命题；命题 pq 是真命题故选：C8 （5 分）设 F1，F 2 为曲线 C1：
12、 的焦点，P 是曲线 C2： y2=1 与 C1的一个交点，则 cosF 1PF2 的值是（ ）A B C D【解答】解：依题意，曲线 C1： + =1 的焦点为 F1（2，0） ，F 2（2，0）双曲线 C2： y2=1 的焦点也为 F1（2，0） ，F 2（2 ，0）P 是曲线 C2 与 C1 的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF1+PF2=2 ，PF 1PF2=2解得 PF1= + ，PF 2= 设F 1PF2=则 cos= = ，故选：C9 （5 分）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B 两点，F 2 是椭圆的右焦点，则ABF 2 的周长的最小值为（
13、 ）A7 B8 C9 D10【解答】解：椭圆的方程为 ，2a=6，2b=4，c=2 ，连接 AF1，BF 1，则由椭圆的中心对称性可得ABF 2 的周长 l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当 AB 位于短轴的端点时， |AB|取最小值，最小值为 2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|6+4=10故选：D10 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 ABC1D1 的距离为（ ）A B C D【解答】解：过 O 作 A1B1 的平行线，交 B1C1 于 E，则 O
14、 到平面 ABC1D1 的距离即为 E 到平面 ABC1D1 的距离作 EFBC 1 于 F，易证 EF平面 ABC1D1，可求得 EF= B1C= 故选 B11 （5 分）已知直线 l 的斜率为 k，它与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点， =3 ，则 |k|=（ ）A2 B C D【解答】解：设 A 在第一象限，如图，设 A、B 在准线上的射影分别为 M，N，过 B 作 BEAM 与 E，根据抛物线定义，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m ， AE=2m，又 AB=4m， BAF=60，k= ，当 A 在第四象限时，可得 k= 故选：B12 （5 分）过双曲线
15、 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于A，B 两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率 e 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：由题意过双曲线 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得|AB|=4b，并且 2a4b，e 1，可得：e 或 1综合可得，有 2 条直线符合条件时，：e 或 1 故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）给定下列命题：“x1”是“x2” 的充分不必要条件；“若 sin ，则 ”；若 xy=0，则 x=0 且 y=0”的逆否命题；命题“
16、x 0R，使 x02x0+10” 的否定其中真命题的序号是 【解答】解：对于，由 x1 不能得到 x2，由 x2 能得到 x1，“x1”是“x2” 的必要不充分条件，命题为假命题；对于，“若 ，则 sin ”为真命题，其逆否命题“ 若 sin ，则 ”为真命题，命题为真命题；对于，由 xy=0，可得 x=0 或 y=0，“若 xy=0，则 x=0 且 y=0”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于，x 02x0+1= ，命题“x 0R，使 x02x0+10” 为假命题，则其否定为真命题真命题的序号是故答案为：14 （5 分）已知 =（2， 1，3） ， =（1，4，2） ， =（7，5，） ，若
17、 ， ，三向量共面，则 = 【解答】解： =（2，1，3） ， =（1，4， 2） ， =（7，5，） ， ， 三向量共面三向量共面，存在 p，q，使得 =p +q ，（7，5，）=（2pq， p+4q，3p 2q） ，解得 p= ，q= ，=3p 2q= 故答案为： 15 （5 分）已知 A 是双曲线 C： （a0，b0）的右顶点，过左焦点F 与 y 轴平行的直线交双曲线 C 于 P、Q 两点，若APQ 是锐角三角形，则双曲线 C 的离心率的范围 （ 1，2） 【解答】解：APQ 是锐角三角形，PAF 为锐角，双曲线关于 x 轴对称，且直线 AB 垂直 x 轴，PAF=QAF45PF AFF
18、 为座焦点，设其坐标为（c，0）所以 A（a，0）所以 PF= ， AF=a+c a+c 即 c2ac2a20解得1 2双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为：（1，2）16 （5 分）如图，已知点 C 的坐标是（2，2）过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B，设点 M 是线段 AB 的中点，则点 M 的轨迹方程为 x+y2=0 【解答】解：由题意可知：点 M 既是 RtABC 的斜边 AB 的中点，又是 RtOAB 的斜边 AB 的中点|OM|= |CM|，设 M（ x，y） ，则 ，化为 x+y2=0故答案为 x+y2
19、=0三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）给出两个命题：命题甲：关于 x 的不等式 x2+（a1）x+a 20 的解集为，命题乙：函数 y=（2a 2a） x 为增函数分别求出符合下列条件的实数 a 的范围（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题【解答】解：若命题甲：关于 x 的不等式 x2+（a1）x+a 20 的解集为为真命题则= （ a1） 2x4a2=3a22a+10即 3a2+2a1 0，解得 A=a|a1，或 a 若命题乙：函数 y=（2a 2a） x 为增函数为真命题则 2a2a1即 2a2
20、a10解得 B=a|a ，或 a1（1）若甲、乙至少有一个是真命题则 AB=a|a 或 a ；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题（AC UB）（C UAB）=a| a1 或1a 18 （12 分）已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出 、 的坐标；（2）求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值【解答】解：（1）以 A 为原点建系如图，则 S（0，0，3） ，A（0，0，0） ，B（，1，0） ，C （0，2，0） =（ ， 1，0） ， =（ ，1， 3） ， =（0， 2， 3）（6 分
21、）（2）设面 SBC 的法向量为 则令 y=3，则 z=2，x= ， 设 AB 与面 SBC 所成的角为 ，则 sin= 12 分19 （12 分）如图，直棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA1=AC=CB= AB（）证明：BC 1平面 A1CD（）求二面角 DA1CE 的正弦值【解答】解：（）证明：连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 的中点，又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF，因为 DF平面 A1CD，BC 1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD（）因为直棱柱 ABCA1B1C1，所以 AA1CD ，由已知 AC
22、=CB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB ，又 AA1AB=A，于是，CD平面 ABB1A1，设 AB=2 ，则 AA1=AC=CB=2，得ACB=90，CD= ，A 1D= ，DE= ，A 1E=3故 A1D2+DE2=A1E2，即 DEA 1D，所以 DE平面 A1DC，又 A1C=2 ，过 D 作 DF A1C 于 F，DFE 为二面角 DA1CE 的平面角，在A 1DC 中，DF= = ，EF= = ，所以二面角 DA1CE 的正弦值sinDFE= 20 （12 分）已知椭圆 C： （ab 0 ）的离心率 e= ，A，B 是椭圆C 上两点，N（3，1）是线段 AB 的中点（1）求直
23、线 AB 的方程；（2）若以 AB 为直径的圆与直线 相切，求出该椭圆方程【解答】解：（1）离心率 e= ，设椭圆 C：x 2+3y2=a2（a0） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由题意，设直线 AB 的方程为 y=k（x3）+1，代入x2+3y2=a2，整理得（3k 2+1）x 26k（3k 1）x +3（3k 1） 2a2=0=4a 2（3k 2+1）3 （3k1） 20，且 x1+x2= ，由 N（ 3，1）是线段 AB 的中点，得 解得 k=1，代入得 a212，直线 AB 的方程为 y1=（x 3） ，即 x+y4=0（6分）（2）圆心 N（3，1 ）到直线
24、的距离 d= ，|AB |=2 当 k=1 时方程即 4x224x+48a2=0|AB|= |x1x2|= =2 ，解得 a2=24椭圆方程为 （12 分）21 （12 分）已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1，0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1（）求曲线 C 的方程；（）是否存在正数 m，对于过点 M（m ，0）且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设 P（x ，y）是曲线 C 上任意一点，那么点 P（x ，y ）满足：化简得 y2=4x（x 0） （）设过点 M（m，0） （m
25、 0 ）的直线 l 与曲线 C 的交点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 设 l 的方程为 x=ty+m，由 得 y24ty4m=0，=16 （t 2+m）0，于是 又 （x 11） （x 21）+y1y2=x1x2（x 1+x2）+1+y 1y20 又 ，于是不等式等价于由式，不等式等价于 m26m+14t 2对任意实数 t，4t 2 的最小值为 0，所以不等式对于一切 t 成立等价于m26m+10，解得 由此可知，存在正数 m，对于过点 M（m ，0）且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 ，且 m 的取值范围 22 （12 分）已知椭圆 ，四点中恰有三点在椭圆上
26、（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A、B 两点，若直线 P2A 与 P2B 直线的斜率的和为1，证明：l 过定点【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到 P2，P 3，P 4 三点在椭圆 C 上把P2，P 3 代入椭圆 C，得 ，得出 a2=4，b 2=1，由此椭圆 C 的方程为 证明：（2）当斜率不存在时，设 l：x=m，A （m，y A） ，B（m， yA） ，直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1， =1解得 m=2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设 l：y=kx+b， （b 1） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，整理，得（1+4k 2）x 2+8kbx+4b24=0，直线 P2A 与 P2B 直线的斜率的和为 1， = =代入得：又 b1，b=2k1，此时= 64k，存在 k，使得0 成立，直线 l 的方程为 y=kx2k1，当 x=2 时，y=1，l 过定点（2，1）
