1、2017-2018 学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（每小题 5 分）1 （5 分）在数列 1，2， ，中，2 是这个数列的（ ）A第 16 项 B第 24 项 C第 26 项 D第 28 项2 （5 分）在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是（ ）A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=xy 的取值范围为（ ）A2 ，6 B （，10 C2，10 D （ ，64 （5 分）已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a2 等于（ ）A 4
2、B6 C8 D 105 （5 分）若 ab0，下列不等式成立的是（ ）Aa 2 b2 Ba 2ab C D6 （5 分）不等式 ax2+bx+20 的解集是（ ， ） ，则 a+b 的值是（ ）A10 B14 C14 D 107 （5 分）抛物线 y=2x2 的焦点到准线的距离为（ ）A B C D48 （5 分）设命题 p：nN ，n 22 n，则p 为（ ）A nN，n 22 n BnN，n 22 n Cn N，n 22 n Dn N，n 2=2n9 （5 分）已知向量 =（ 1，m1） ， =（m，2） ，则“m=2” 是“ 与 共线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
3、 D既不充分也不必要条件10 （5 分）已知函数 f（ x）的导函数 f（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）的图象最有可能的是（ ）A B C D11 （5 分）已知 x，y0，且 ，则 x+2y 的最小值为（ ）A B C D12 （5 分）已知椭圆 （ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，若椭圆上不存在点 P，使得F 1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每小题 5 分）13 （5 分）若当 x2 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是 14 （5 分）曲线 y=x32x+1 在点（1，0 ）处的切线方程为 15 （5 分）在ABC 中，角 A，
4、B ，C 的对边分别为 a，b ，c 若（a 2+c2b2）tan B= ac，则角 B 的值为 16 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于A、B 两点，若|F 2A|+|F2B|=12，则|AB |= 三、解答题17 （10 分）在等差数列a n中，a 2=4，a 4+a7=15（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，求 b1+b2+b3+b10 的值18 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a=2，c=5，cosB= （1）求 b 的值；（2）求 sinC 的值19 （12 分）已知 p：“ x1，2，x
5、2a0”，q：“x R，x 2+2ax+2a=0”若命题 pq 是真命题，求 a 的取值范围20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+bx2+cx+d 的图象经过点 P（0，2） ，且在点M（1，f（1） ）处的切线方程为 6xy+7=0（）求函数 y=f（x）的解析式；（）求函数 y=f（x）的单调区间21 （12 分）已知动点 M（x，y ）到定点 A（1，0）的距离与 M 到直线 l：x=4的距离之比为 求点 M 的轨迹 C 的方程；过点 N（1 ，1 ）的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，且 N 为线段 PQ 中点，求直线 PQ 的方程22 （12 分）已知椭圆 C： + =1
6、（ab0）的两个焦点分别为F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M（1，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，设点 N（3，2） ，记直线AN，BN 的斜率分别为 k1，k 2，问：k 1+k2 是否为定值？并证明你的结论2017-2018 学年兰州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题 5 分）1 （5 分）在数列 1，2， ，中，2 是这个数列的（ ）A第 16 项 B第 24 项 C第 26 项 D第 28 项【解答】解：数列 1，2， ，就是数列 ， ， ， ，a n= =
7、， =2 = ，n=26，故 2 是这个数列的第 26 项，故选：C2 （5 分）在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是（ ）A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形【解答】解析：2cosBsinA=sinC=sin（A +B）sin （A B）=0，又 B、A 为三角形的内角，A=B答案：C3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=xy 的取值范围为（ ）A2 ，6 B （，10 C2，10 D （ ，6【解答】解：根据变量 x，y 满足约束条件 画出可行域，由 A（3，3） ，由图得当 z=xy 过点 A（3， 3）时，Z 最大为
8、 6故所求 z=xy 的取值范围是（，6故选：D4 （5 分）已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a2 等于（ ）A 4 B6 C8 D 10【解答】解：等差数列a n的公差为 2，a 1，a 3，a 4 成等比数列，（a 1+4） 2=a1（a 1+6） ，a 1=8，a 2=6故选：B5 （5 分）若 ab0，下列不等式成立的是（ ）Aa 2 b2 Ba 2ab C D【解答】解：方法一：若 ab0，不妨设 a=2，b=1 代入各个选项，错误的是 A、B、D，故选 C方法二：ab0a 2b2=（ab ） （a+b）0 即 a2b 2，故选项 A 不正确
9、；a b 0 a2ab=a（ab ）0 即 a2ab，故选项 B 不正确；a b 0 1= 0 即 1，故选项 C 正确；a b 0 0 即 ，故选项 D 不正确；故选 C6 （5 分）不等式 ax2+bx+20 的解集是（ ， ） ，则 a+b 的值是（ ）A10 B14 C14 D 10【解答】解：不等式 ax2+bx+20 的解集是（ ， ） ， ， 是方程 ax2+bx+2=0 的两个实数根，且 a0， = + ， = ，解得 a=12，b=2，a +b=14故选：B7 （5 分）抛物线 y=2x2 的焦点到准线的距离为（ ）A B C D4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y=2
10、x2，其标准方程为 x2= y，其中 p= ，则抛物线的焦点到准线的距离 p= ，故选：C8 （5 分）设命题 p：nN ，n 22 n，则p 为（ ）A nN，n 22 n BnN，n 22 n Cn N，n 22 n Dn N，n 2=2n【解答】解：命题的否定是：nN，n 22 n，故选：C9 （5 分）已知向量 =（ 1，m1） ， =（m，2） ，则“m=2” 是“ 与 共线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：若 与 共线，则 12m（m 1）=0，即 m2m2=0，得 m=2 或 m=1，则“m=2”是“ 与 共线” 的充分不必
11、要条件，故选：A10 （5 分）已知函数 f（ x）的导函数 f（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）的图象最有可能的是（ ）A B C D【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（，2） ， （0，+）上单调递减，在（2，0）上单调递增，故选 A11 （5 分）已知 x，y0，且 ，则 x+2y 的最小值为（ ）A B C D【解答】解：由 得， ， ，当且仅当 x= y=时取等号故选：D12 （5 分）已知椭圆 （ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，若椭圆上不存在点 P，使得F 1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：点 P 取端轴的一个端点时，使得
12、F 1PF2 是最大角已知椭圆上不存在点 P，使得F 1PF2 是钝角，bc，可得 a2c2c 2，可得：a 故选：A二、填空题（每小题 5 分）13 （5 分）若当 x2 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是 （，2+2 【解答】解：当 x2 时，不等式 恒成立，即求解 x+ 的最小值， x+ =x2+ +2 =2+2 ，当且仅当 x=2+ 时，等号成立所以 a 的取值范围是：（，2+2 故答案为：（，2+2 14 （5 分）曲线 y=x32x+1 在点（1，0 ）处的切线方程为 xy 1=0 【解答】解：由 y=x32x+1，得 y=3x22y| x=1=1曲线 y=x32x+1 在点
13、（1 ，0）处的切线方程为 y0=1（x1） 即 xy1=0故答案为：xy1=015 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c 若（a 2+c2b2）tan B= ac，则角 B 的值为 或 【解答】解： ，cosBtanB=sinB=B= 或故选 B16 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于A、B 两点，若|F 2A|+|F2B|=12，则|AB |= 8 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为 ，则 a=5，由椭圆的定义得，|AF 1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF2|
14、=20，又由|F 2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8三、解答题17 （10 分）在等差数列a n中，a 2=4，a 4+a7=15（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，求 b1+b2+b3+b10 的值【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，由已知得解得 （4 分）a n=3+（n1 ）1 ，即 an=n+2（6 分）（2）由（1）知 ，b1+b2+b3+b10=21+22+210= （10 分）=2046（12 分）18 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a=2，c=5，cosB= （1）求 b 的值；（2）求 s
15、inC 的值【解答】解：（1）由余弦定理 b2=a2+c22accosB，代入数据可得 b2=4+25225 =17，b= ；（2）cosB= ，sinB= =由正弦定理 = ，即 = ，解得 sinC=19 （12 分）已知 p：“ x1，2，x 2a0”，q：“x R，x 2+2ax+2a=0”若命题 pq 是真命题，求 a 的取值范围【解答】解：p：x1， 2，x 2a0，只要（x 2a） min0，x 1，2，又 y=x2a，x1，2的最小值为 1a，所以 1a0，a1q：xR，x 2+2ax+2a=0，所以=4a 24（2 a）0，a2 或 a1，由 p 且 q 为真可知 p 和 q
16、 为均真，所以 a2 或 a=1，a 的取值范围是a|a2 或 a=120 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+bx2+cx+d 的图象经过点 P（0，2） ，且在点M（1，f（1） ）处的切线方程为 6xy+7=0（）求函数 y=f（x）的解析式；（）求函数 y=f（x）的单调区间【解答】解：（）由 y=f（x ）的图象经过点 P（0，2） ，知 d=2，f（ x）=x 3+bx2+cx+2，f（x ）=3x 2+2bxc由在点 M（1 ，f （1） ）处的切线方程为 6xy+7=0，知6 f（1）+7=0，即 f（1）=1，又 f（ 1）=6 解得 b=c=3故所求的解析式是 f（x
17、） =x33x23x+2（）f（x） =3x26x3令 f（x）0，得 或 ；令 f（x）0，得 故 f（x）=x 33x23x+2 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 21 （12 分）已知动点 M（x，y ）到定点 A（1，0）的距离与 M 到直线 l：x=4的距离之比为 求点 M 的轨迹 C 的方程；过点 N（1 ，1 ）的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，且 N 为线段 PQ 中点，求直线 PQ 的方程【解答】解：由题意动点 M（x，y）到定点 A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4 的距离之比为 ，得 = ，化简并整理，得 + =1所以动点 M（ x，y）的轨迹 C 的方程为
18、椭圆 + =1设 P，Q 的坐标为（ x1，y 1） ， （x 2，y 2） ，3x 12+4y12=12，3x 22+4y22=12，两式相减可得 3（x 1+x2） （x 1x2）+4（y 1+y2） （y 1y2）=0，x 1+x2=2，y 1+y2=2，6 （x 1x2）+8（y 1y2）=0，k= = ，直线 PQ 的方程为 y1= （x+1） ，即为 3x4y+7=022 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点分别为F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M（1，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交
19、于 A、B 两点，设点 N（3，2） ，记直线AN，BN 的斜率分别为 k1，k 2，问：k 1+k2 是否为定值？并证明你的结论【解答】解：（1）椭圆 C： + =1（ab 0）的两个焦点分别为F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M（1，0） ， ，解得 ，b=1，椭圆 C 的方程为 =1（2）k 1+k2 是定值证明如下：设过 M 的直线： y=k（x1）=kx k 或者 x=1x=1 时，代入椭圆，y= ，令 A（1， ） ，B（1， ） ，k1= ，k 2= ，k 1+k2=2y=kxk 代入椭圆， （3k 2+1）x 26k2x+（3k 23）=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 则 x1+x2= ，x 1x2= ，y1+y2= 2k= ，y1y2=k2x1x2k2（x 1+x2）+k 2= ，k1= ，k 2= ，k 1+k2= =2
