1、2017-2018 学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，集合 M=1，4，N=1，3，5，则N（ UM）=（ ）A1 ，3 B1，5 C3，5 D4，52 （5 分）若直线 x+my2=0 的倾斜角为 30，则实数 m 的值是（ ）A B C D3 （5 分）已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x ）零点的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，4） D （4，+）4 （5 分）函数 的定义域
2、为（ ）A （ 2，+） B （2，1）（ 1，+） C D （，1）（1，+）5 （5 分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（ ）A3 ：1 B2：1 C1：1 D1：26 （5 分）用斜二侧画法画出的三角形是斜边为 的等腰直角三角形，则原三角形的面积（ ）A Ba 2 C D27 （5 分）已知 ，则 a，b ，c 三者的大小关系是（ ）Acba Bcab Cb ac Db c a8 （5 分）过点（1，2） ，且与原点距离最大的直线方程是（ ）Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=09 （5 分）已知 l，m，
3、nn 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A若 =l ，m，m，则 mlB若 m ，n， ，则 mnC若 m，n，则 mnD若 =m ， =n ， lm，ln ，则 l10 （5 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm211 （5 分）关于 x 的方程（ ） |x|+a1=0 有解，则 a 的取值范围是（ ）A0 a 1 B1a0 Ca1 Da012 （5 分）若函数 f（x ） = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，+）
4、 B （1，8） C （4，8） D4，8）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行，则它们之间的距离为 14 （5 分）log 327+lg = 15 （5 分）函数 ，当 x=3 时，y 0则该函数的单调递减区间是 16 （5 分）如图所示，正方形 BCDE 的边长为 a，已知 AB= BC，将ABE 沿BE 边折起，折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB 与 DE 所成角的正切值为 ；ABCE； V BACE= ；平面 ABC平面 ADC其中正确
5、的命题序号为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知集合 （）当 a=1 时，求（ RB）A；（）若 AB=A，求实数 a 的取值范围18 （12 分）已知ABC 的三个顶点 A（4，0） ，B（8，10） ，C（0，6） （）求过 A 点且垂直于 BC 的直线方程；（）求过 B 点且与点 A，C 距离相等的直线方程19 （12 分）在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点（）求证：DE平面 ACF；（）求证：BDAE ；（）若 AB= CE=
6、2，求三棱锥 FABC 的体积20 （12 分）已知函数 g（x）=ax 24ax+b（a0）在区间0，1上有最大值 1 和最小值2设 （）求 a，b 的值；（）若不等式 f（2 x）k2 x0 在 x1，1上有解，求实数 k 的取值范围21 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，AC=4 ，BC=3，AB=5，AA 1=3，点 D 是 AB 的中点（）求证：AC 1平面 CDB1；（）求证：ACBC 1；（）求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的正切值22 （12 分）已知指数函数 y=g（x）满足 ，定义域为实数集 R 的函数（）讨论函数 y
7、=f（x）的单调性；（）若对任意的 tR，不等式 f（2t 3t2）+f（t 2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围2017-2018 学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，集合 M=1，4，N=1，3，5，则N（ UM）=（ ）A1 ，3 B1，5 C3，5 D4，5【解答】解：（C UM）=2，3，5，N=1，3，5，则 N（C UM）= 1，3，52，3，5 =3，5故选 C2 （5 分）若直线 x+my2=
8、0 的倾斜角为 30，则实数 m 的值是（ ）A B C D【解答】解：直线 x+my2=0 的倾斜角为 30，tan30= ，m= ，故选：C3 （5 分）已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x ）零点的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，4） D （4，+）【解答】解：f（x）= log2x，f（ 2）=20，f （4）= 0，满足 f（ 2）f（4）0，f（ x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C4 （5 分）函数 的定义域为（ ）A （ 2，+） B （2，1）（ 1，+） C D （，1）（1，+）【解答】解：由 ，解得 x2 且 x1函
9、数 的定义域为（2， 1）（1，+） 故选：B5 （5 分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（ ）A3 ：1 B2：1 C1：1 D1：2【解答】解：球的半径为 r，圆锥的半径为 r，高为 r；V 圆锥 = r3，V 半球 = r3= r3，V=V 半球 V 圆锥 = r3，剩余部分与挖去部分的体积之比为 1：1，故选：C6 （5 分）用斜二侧画法画出的三角形是斜边为 的等腰直角三角形，则原三角形的面积（ ）A Ba 2 C D2【解答】解：三角形的直观图是斜边为 a 的等腰直角三角形，根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，且直角边分别为
10、 a，2a，原三角形的面积为 a2a= a2故选：C7 （5 分）已知 ，则 a，b ，c 三者的大小关系是（ ）Acba Bcab Cb ac Db c a【解答】解： ，则 b=1，c3 0=1，且 c3，a=31.13，即有 ac b，即 bca 故选：D8 （5 分）过点（1，2） ，且与原点距离最大的直线方程是（ ）Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=0【解答】解：根据题意得，当与直线 OA 垂直时距离最大，因直线 OA 的斜率为 2，所以所求直线斜率为 ，所以由点斜式方程得：y2= （x1） ，化简得：x+2y5=0，故选：A9 （5 分）已知 l
11、，m，nn 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A若 =l ，m，m，则 mlB若 m ，n， ，则 mnC若 m，n，则 mnD若 =m ， =n ， lm，ln ，则 l【解答】解：对于 A，过 m 作平面 =a，过 m 作平面 =b，m ，m ，=a，ma，同理：mb，a b ，又 a，b，a ，又 a， =l，a l，又 am，ml，故 A 正确；对于 B，若 m，n， ，则 mn ，故 B 错误；对于 C，若 m，n，则 mn 或 m，n 相交或 m 与 n 异面，故 C 错误；对于 D，若 l，显然结论不成立，故 D 错误故选 A10 （5 分）某几何体的三视
12、图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2【解答】解：由三视图还原原几何体如图：可知该几何体为组合体，左边是直三棱柱，右边为长方体，其表面积为 2（46+43）+36+33+34 +2（ ）+35=138 cm2，故选：D11 （5 分）关于 x 的方程（ ） |x|+a1=0 有解，则 a 的取值范围是（ ）A0 a 1 B1a0 Ca1 Da0【解答】解：若关于 x 的方程（ ） |x|+a1=0 有解，则关于 x 的方程（ ） |x|1=a 有解，（ ） |x|（0，1，（ ） |x|1=a（1，0，0a1 ，
13、故选：A12 （5 分）若函数 f（x ） = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B （1，8） C （4，8） D4，8）【解答】解：对任意的实数 x1x 2 都有 0 成立，函数 f（x ）= 在 R 上单调递增， ，解得：a 4，8） ，故选：D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行，则它们之间的距离为 【解答】解：直线 2x+3y+1=0，即 4x+6y+2=0，它与直线 4x+my+7=0 平行，m=6，则它们之间的距离为 =
14、，故答案为： 14 （5 分）log 327+lg = 3 【解答】解：log 327+lg=3log33lg102+ lne+ 2=32+ + 3=3故答案为：315 （5 分）函数 ，当 x=3 时，y 0则该函数的单调递减区间是 （1，+） 【解答】解：函数 ，当 x=3 时， y0，当 x=3 时，2x 23x+1=10，即 loga100，可得：0a1，令函数 2x23x+1=u， （u0）则 y=logau 是减函数，函数 u=2x23x+1，开口向上，对称轴为 x= ，u0，即 2x23x+10，解得：x1 或 x 函数 u 在（1，+）单调递增，函数 u 在（， ）单调递减，根
15、据复合函数的单调性“ 同增异减” 可得该函数单调递减区间为（1，+） 故答案为：（1，+） 16 （5 分）如图所示，正方形 BCDE 的边长为 a，已知 AB= BC，将ABE 沿BE 边折起，折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB 与 DE 所成角的正切值为 ；ABCE； V BACE= ；平面 ABC平面 ADC其中正确的命题序号为 【解答】解：正方形 BCDE 的边长为 a，已知 AB= BC，将ABE 沿 BE 边折起，折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点AB= a，AE= a，AD平面 BCDE，AD=a ，AC= a，
16、在中，BCDE，ABC（或其补角）为 AB 与 DE 所成角，AB= a，BC=a，AC= a，BC AC，tanABC= ，AB 与 DE 所成角的正切值为 ，故错误；在中，由翻折后的图形知 AB 与 CE 是异面直线，故错误；在中，V BACE= SBCE AD= a3= a3，故正确；在中，AD 平面 BCDE，BC平面 ABC，ADBC，又 BCCD，ADCD=D ，BC 平面 ADC，又 BC平面 ABC，平面 ABC平面 ADC，故正确故答案为：三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知集合 （）当 a=1 时，求
17、（ RB）A；（）若 AB=A，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）a=1 时，集合 A=x|02x+13=x| x1，B=x| x2， RB=x|x 或 x2 ，（ RB） A=x|x1 或 x2；（）若 AB=A，则 AB，A=x|02x +a3= x| x ， ，解得1a 1 ，实数 a 的取值范围是（1，118 （12 分）已知ABC 的三个顶点 A（4，0） ，B（8，10） ，C（0，6） （）求过 A 点且垂直于 BC 的直线方程；（）求过 B 点且与点 A，C 距离相等的直线方程【解答】解：（I）k BC= = ，与 BC 垂直的直线斜率为2过 A 点且垂直于 BC 的直线方
18、程为：y 0=2（x 4） ，化为：2x+y8=0（II）当经过点 B 的直线方程斜率不存在时，不满足要求当经过点 B 的直线方程斜率存在时，设为 k，则直线方程为：y10=k （x 8） ，即kxy+108k=0则 = ，解得 k= 或 k= 因此所求的直线方程为：7x6y+4=0 ，或 3x+2y44=019 （12 分）在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点（）求证：DE平面 ACF；（）求证：BDAE ；（）若 AB= CE=2，求三棱锥 FABC 的体积【解答】证明：（）连接 OF由 ABCD 是正方形
19、可知，点 O 为 BD 中点又 F 为 BE 的中点，OFDE又 OF面 ACF，DE 面 ACF，DE平面 ACF （4 分）（II）由 EC底面 ABCD，BD 底面 ABCD，ECBD，由 ABCD 是正方形可知，ACBD，又 ACEC=C，AC、E 平面 ACE，BD平面 ACE，又 AE平面 ACE，BDAE（9 分）解：（III）取 BC 中 G，连结 FG，在四棱锥 EABCD 中，EC底面 ABCD，FG 是BCE 的中位线，FG底面 ABCD，AB= ，FG= ，三棱锥 FABC 的体积 V= = 4 = 20 （12 分）已知函数 g（x）=ax 24ax+b（a0）在区间
20、0，1上有最大值 1 和最小值2设 （）求 a，b 的值；（）若不等式 f（2 x）k2 x0 在 x1，1上有解，求实数 k 的取值范围【解答】解：（）由题知 g（x）=a（x 2） 24a+b，a 0 ，g （x ）在0，1上是减函数， ，解得 a=1，b=1 ，（）由于 f（2 x）k2 x0，则有 2x+ 4k2x 0，整理得 k1 +（ ） 24（ ） ，令 t= ，则 1+（ ） 24（ ）=t 24t+1，x1，1， t ，2，令 h（t）=t 24t+1，t ，2，则 h（t） 3， kh（t）有解，k ，故故符合条件的实数 k 的取值范围为（， 21 （12 分）如图，在三棱
21、柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，AC=4 ，BC=3，AB=5，AA 1=3，点 D 是 AB 的中点（）求证：AC 1平面 CDB1；（）求证：ACBC 1；（）求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的正切值【解答】证明：（）如图，设 BC1B 1C=O，则 O 为 BC1 的中点，连结 OD，D 为 AB 的中点， OD AC 1，又OD平面 CDB1，AC 1平面 CDB1，AC 1平面 CDB1（）AC=4，BC=3，AB=5，AA 1=3，AC 2+BC2=AB2，ACBC，又C 1CAA 1，AA 1底面 ABC，CC 1底面 ABC，AC CC 1，又
22、 BC CC1=C，AC平面 BCC1B1，BC 1平面 BCC1B1，ACBC 1解：（）由（）得 AC平面 B1BCC1，直线 B1C 是斜线 AB1 在平面 B1BCC1 上的射影，AB 1C 是直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角，在 RtAB 1C 中，B 1C=3 ，AC=4，tanAB 1C= = ，直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的正切值为 22 （12 分）已知指数函数 y=g（x）满足 ，定义域为实数集 R 的函数（）讨论函数 y=f（x）的单调性；（）若对任意的 tR，不等式 f（2t 3t2）+f（t 2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围【解答】
23、解：（）设函数 g（x）=a x， （a0 且 a1） ，g （ ）= = ，解得 a=2，f（ x）= =1+ ，任取 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）=1+ +1 = ，x 1x 2，考虑函数 y=2x 在 R 上为增函数， 0，f（ x1）f（x 2）0 ，f（ x1）f （x 2） ，函数 y=f（x）在 R 上单调递减；（）f（x）= ，f（ x）= = =f（x） ，f（ x）为奇函数，对任意的 tR，不等式 f（2t 3t2）+f（t 2k）0 恒成立，f（ 2t3t2）f（t 2k）=f （k t2） ，函数 y=f（x）在 R 上单调递减，2t 3t2k t2，k2t 2+2t=2（t ） 2+ ，令 h（t）= 2（ t ） 2+ ，k ，故 k 的取值范围为 ，+）
