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2017-2018学年甘肃省张掖市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年甘肃省张掖市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)设全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,4,N=1,3,5,则N( UM)=( )A1 ,3 B1,5 C3,5 D4,52 (5 分)若直线 x+my2=0 的倾斜角为 30,则实数 m 的值是( )A B C D3 (5 分)已知函数 f(x)= log2x,在下列区间中,包含 f(x )零点的区间是( )A (0 ,1 ) B (1,2) C (2,4) D (4,+)4 (5 分)函数 的定义域

2、为( )A ( 2,+) B (2,1)( 1,+) C D (,1)(1,+)5 (5 分)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为( )A3 :1 B2:1 C1:1 D1:26 (5 分)用斜二侧画法画出的三角形是斜边为 的等腰直角三角形,则原三角形的面积( )A Ba 2 C D27 (5 分)已知 ,则 a,b ,c 三者的大小关系是( )Acba Bcab Cb ac Db c a8 (5 分)过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( )Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=09 (5 分)已知 l,m,

3、nn 为不同的直线, , 为不同的平面,则下列判断正确的是( )A若 =l ,m,m,则 mlB若 m ,n, ,则 mnC若 m,n,则 mnD若 =m , =n , lm,ln ,则 l10 (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm211 (5 分)关于 x 的方程( ) |x|+a1=0 有解,则 a 的取值范围是( )A0 a 1 B1a0 Ca1 Da012 (5 分)若函数 f(x ) = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立,则实数 a 的取值范围是( )A (1 ,+)

4、 B (1,8) C (4,8) D4,8)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行,则它们之间的距离为 14 (5 分)log 327+lg = 15 (5 分)函数 ,当 x=3 时,y 0则该函数的单调递减区间是 16 (5 分)如图所示,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= BC,将ABE 沿BE 边折起,折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述:AB 与 DE 所成角的正切值为 ;ABCE; V BACE= ;平面 ABC平面 ADC其中正确

5、的命题序号为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知集合 ()当 a=1 时,求( RB)A;()若 AB=A,求实数 a 的取值范围18 (12 分)已知ABC 的三个顶点 A(4,0) ,B(8,10) ,C(0,6) ()求过 A 点且垂直于 BC 的直线方程;()求过 B 点且与点 A,C 距离相等的直线方程19 (12 分)在四棱锥 EABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点O,EC底面 ABCD,F 为 BE 的中点()求证:DE平面 ACF;()求证:BDAE ;()若 AB= CE=

6、2,求三棱锥 FABC 的体积20 (12 分)已知函数 g(x)=ax 24ax+b(a0)在区间0,1上有最大值 1 和最小值2设 ()求 a,b 的值;()若不等式 f(2 x)k2 x0 在 x1,1上有解,求实数 k 的取值范围21 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1底面ABC,AC=4 ,BC=3,AB=5,AA 1=3,点 D 是 AB 的中点()求证:AC 1平面 CDB1;()求证:ACBC 1;()求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的正切值22 (12 分)已知指数函数 y=g(x)满足 ,定义域为实数集 R 的函数()讨论函数 y

7、=f(x)的单调性;()若对任意的 tR,不等式 f(2t 3t2)+f(t 2k)0 恒成立,求实数 k 的取值范围2017-2018 学年甘肃省张掖市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)设全集 U=1,2,3,4,5,集合 M=1,4,N=1,3,5,则N( UM)=( )A1 ,3 B1,5 C3,5 D4,5【解答】解:(C UM)=2,3,5,N=1,3,5,则 N(C UM)= 1,3,52,3,5 =3,5故选 C2 (5 分)若直线 x+my2=

8、0 的倾斜角为 30,则实数 m 的值是( )A B C D【解答】解:直线 x+my2=0 的倾斜角为 30,tan30= ,m= ,故选:C3 (5 分)已知函数 f(x)= log2x,在下列区间中,包含 f(x )零点的区间是( )A (0 ,1 ) B (1,2) C (2,4) D (4,+)【解答】解:f(x)= log2x,f( 2)=20,f (4)= 0,满足 f( 2)f(4)0,f( x)在区间(2,4)内必有零点,故选:C4 (5 分)函数 的定义域为( )A ( 2,+) B (2,1)( 1,+) C D (,1)(1,+)【解答】解:由 ,解得 x2 且 x1函

9、数 的定义域为(2, 1)(1,+) 故选:B5 (5 分)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为( )A3 :1 B2:1 C1:1 D1:2【解答】解:球的半径为 r,圆锥的半径为 r,高为 r;V 圆锥 = r3,V 半球 = r3= r3,V=V 半球 V 圆锥 = r3,剩余部分与挖去部分的体积之比为 1:1,故选:C6 (5 分)用斜二侧画法画出的三角形是斜边为 的等腰直角三角形,则原三角形的面积( )A Ba 2 C D2【解答】解:三角形的直观图是斜边为 a 的等腰直角三角形,根据斜二测画法的规则可知,原三角形为直角三角形,且直角边分别为

10、 a,2a,原三角形的面积为 a2a= a2故选:C7 (5 分)已知 ,则 a,b ,c 三者的大小关系是( )Acba Bcab Cb ac Db c a【解答】解: ,则 b=1,c3 0=1,且 c3,a=31.13,即有 ac b,即 bca 故选:D8 (5 分)过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( )Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=0【解答】解:根据题意得,当与直线 OA 垂直时距离最大,因直线 OA 的斜率为 2,所以所求直线斜率为 ,所以由点斜式方程得:y2= (x1) ,化简得:x+2y5=0,故选:A9 (5 分)已知 l

11、,m,nn 为不同的直线, , 为不同的平面,则下列判断正确的是( )A若 =l ,m,m,则 mlB若 m ,n, ,则 mnC若 m,n,则 mnD若 =m , =n , lm,ln ,则 l【解答】解:对于 A,过 m 作平面 =a,过 m 作平面 =b,m ,m ,=a,ma,同理:mb,a b ,又 a,b,a ,又 a, =l,a l,又 am,ml,故 A 正确;对于 B,若 m,n, ,则 mn ,故 B 错误;对于 C,若 m,n,则 mn 或 m,n 相交或 m 与 n 异面,故 C 错误;对于 D,若 l,显然结论不成立,故 D 错误故选 A10 (5 分)某几何体的三视

12、图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2【解答】解:由三视图还原原几何体如图:可知该几何体为组合体,左边是直三棱柱,右边为长方体,其表面积为 2(46+43)+36+33+34 +2( )+35=138 cm2,故选:D11 (5 分)关于 x 的方程( ) |x|+a1=0 有解,则 a 的取值范围是( )A0 a 1 B1a0 Ca1 Da0【解答】解:若关于 x 的方程( ) |x|+a1=0 有解,则关于 x 的方程( ) |x|1=a 有解,( ) |x|(0,1,( ) |x|1=a(1,0,0a1 ,

13、故选:A12 (5 分)若函数 f(x ) = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立,则实数 a 的取值范围是( )A (1 ,+) B (1,8) C (4,8) D4,8)【解答】解:对任意的实数 x1x 2 都有 0 成立,函数 f(x )= 在 R 上单调递增, ,解得:a 4,8) ,故选:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行,则它们之间的距离为 【解答】解:直线 2x+3y+1=0,即 4x+6y+2=0,它与直线 4x+my+7=0 平行,m=6,则它们之间的距离为 =

14、,故答案为: 14 (5 分)log 327+lg = 3 【解答】解:log 327+lg=3log33lg102+ lne+ 2=32+ + 3=3故答案为:315 (5 分)函数 ,当 x=3 时,y 0则该函数的单调递减区间是 (1,+) 【解答】解:函数 ,当 x=3 时, y0,当 x=3 时,2x 23x+1=10,即 loga100,可得:0a1,令函数 2x23x+1=u, (u0)则 y=logau 是减函数,函数 u=2x23x+1,开口向上,对称轴为 x= ,u0,即 2x23x+10,解得:x1 或 x 函数 u 在(1,+)单调递增,函数 u 在(, )单调递减,根

15、据复合函数的单调性“ 同增异减” 可得该函数单调递减区间为(1,+) 故答案为:(1,+) 16 (5 分)如图所示,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= BC,将ABE 沿BE 边折起,折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述:AB 与 DE 所成角的正切值为 ;ABCE; V BACE= ;平面 ABC平面 ADC其中正确的命题序号为 【解答】解:正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= BC,将ABE 沿 BE 边折起,折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点AB= a,AE= a,AD平面 BCDE,AD=a ,AC= a,

16、在中,BCDE,ABC(或其补角)为 AB 与 DE 所成角,AB= a,BC=a,AC= a,BC AC,tanABC= ,AB 与 DE 所成角的正切值为 ,故错误;在中,由翻折后的图形知 AB 与 CE 是异面直线,故错误;在中,V BACE= SBCE AD= a3= a3,故正确;在中,AD 平面 BCDE,BC平面 ABC,ADBC,又 BCCD,ADCD=D ,BC 平面 ADC,又 BC平面 ABC,平面 ABC平面 ADC,故正确故答案为:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知集合 ()当 a=1 时,求

17、( RB)A;()若 AB=A,求实数 a 的取值范围【解答】解:()a=1 时,集合 A=x|02x+13=x| x1,B=x| x2, RB=x|x 或 x2 ,( RB) A=x|x1 或 x2;()若 AB=A,则 AB,A=x|02x +a3= x| x , ,解得1a 1 ,实数 a 的取值范围是(1,118 (12 分)已知ABC 的三个顶点 A(4,0) ,B(8,10) ,C(0,6) ()求过 A 点且垂直于 BC 的直线方程;()求过 B 点且与点 A,C 距离相等的直线方程【解答】解:(I)k BC= = ,与 BC 垂直的直线斜率为2过 A 点且垂直于 BC 的直线方

18、程为:y 0=2(x 4) ,化为:2x+y8=0(II)当经过点 B 的直线方程斜率不存在时,不满足要求当经过点 B 的直线方程斜率存在时,设为 k,则直线方程为:y10=k (x 8) ,即kxy+108k=0则 = ,解得 k= 或 k= 因此所求的直线方程为:7x6y+4=0 ,或 3x+2y44=019 (12 分)在四棱锥 EABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点O,EC底面 ABCD,F 为 BE 的中点()求证:DE平面 ACF;()求证:BDAE ;()若 AB= CE=2,求三棱锥 FABC 的体积【解答】证明:()连接 OF由 ABCD 是正方形

19、可知,点 O 为 BD 中点又 F 为 BE 的中点,OFDE又 OF面 ACF,DE 面 ACF,DE平面 ACF (4 分)(II)由 EC底面 ABCD,BD 底面 ABCD,ECBD,由 ABCD 是正方形可知,ACBD,又 ACEC=C,AC、E 平面 ACE,BD平面 ACE,又 AE平面 ACE,BDAE(9 分)解:(III)取 BC 中 G,连结 FG,在四棱锥 EABCD 中,EC底面 ABCD,FG 是BCE 的中位线,FG底面 ABCD,AB= ,FG= ,三棱锥 FABC 的体积 V= = 4 = 20 (12 分)已知函数 g(x)=ax 24ax+b(a0)在区间

20、0,1上有最大值 1 和最小值2设 ()求 a,b 的值;()若不等式 f(2 x)k2 x0 在 x1,1上有解,求实数 k 的取值范围【解答】解:()由题知 g(x)=a(x 2) 24a+b,a 0 ,g (x )在0,1上是减函数, ,解得 a=1,b=1 ,()由于 f(2 x)k2 x0,则有 2x+ 4k2x 0,整理得 k1 +( ) 24( ) ,令 t= ,则 1+( ) 24( )=t 24t+1,x1,1, t ,2,令 h(t)=t 24t+1,t ,2,则 h(t) 3, kh(t)有解,k ,故故符合条件的实数 k 的取值范围为(, 21 (12 分)如图,在三棱

21、柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1底面ABC,AC=4 ,BC=3,AB=5,AA 1=3,点 D 是 AB 的中点()求证:AC 1平面 CDB1;()求证:ACBC 1;()求直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的正切值【解答】证明:()如图,设 BC1B 1C=O,则 O 为 BC1 的中点,连结 OD,D 为 AB 的中点, OD AC 1,又OD平面 CDB1,AC 1平面 CDB1,AC 1平面 CDB1()AC=4,BC=3,AB=5,AA 1=3,AC 2+BC2=AB2,ACBC,又C 1CAA 1,AA 1底面 ABC,CC 1底面 ABC,AC CC 1,又

22、 BC CC1=C,AC平面 BCC1B1,BC 1平面 BCC1B1,ACBC 1解:()由()得 AC平面 B1BCC1,直线 B1C 是斜线 AB1 在平面 B1BCC1 上的射影,AB 1C 是直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角,在 RtAB 1C 中,B 1C=3 ,AC=4,tanAB 1C= = ,直线 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角的正切值为 22 (12 分)已知指数函数 y=g(x)满足 ,定义域为实数集 R 的函数()讨论函数 y=f(x)的单调性;()若对任意的 tR,不等式 f(2t 3t2)+f(t 2k)0 恒成立,求实数 k 的取值范围【解答】

23、解:()设函数 g(x)=a x, (a0 且 a1) ,g ( )= = ,解得 a=2,f( x)= =1+ ,任取 x1x 2,则 f(x 1)f(x 2)=1+ +1 = ,x 1x 2,考虑函数 y=2x 在 R 上为增函数, 0,f( x1)f(x 2)0 ,f( x1)f (x 2) ,函数 y=f(x)在 R 上单调递减;()f(x)= ,f( x)= = =f(x) ,f( x)为奇函数,对任意的 tR,不等式 f(2t 3t2)+f(t 2k)0 恒成立,f( 2t3t2)f(t 2k)=f (k t2) ,函数 y=f(x)在 R 上单调递减,2t 3t2k t2,k2t 2+2t=2(t ) 2+ ,令 h(t)= 2( t ) 2+ ,k ,故 k 的取值范围为 ,+)