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2017-2018学年甘肃省兰州高二(上)期末数学理科试卷(2)含答案解析

1、2017-2018 学年甘肃省兰州高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1 (5 分)抛物线 y=16x2 的准线方程是( )Ax=4 Bx= 4 Cy= Dy=2 (5 分)若双曲线 =1 的一条渐近线经过点(3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A B C D3 (5 分) “1 m3” 是“ 方程 + =1 表示椭圆”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 (5 分)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 位置时,拱顶离水面 2 米,水面宽4 米,则水位下降 2 米后(水足够深) ,水面宽( )米A2

2、B4 C4 D25 (5 分)椭圆 (ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F 2若|AF 1|,|F 1F2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )A B C D6 (5 分)若 A(x,5x,2x1) ,B(1,x+2,2x) ,当| |取最小值时,x 的值等于( )A19 B C D7 (5 分)已知命题 p: xR,x2lgx,命题 q: xR,e x1,则( )A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p(q)是真命题 D命题 p(q )是假命题8 (5 分)设 F1,F 2 为曲线 C1: 的焦点,P 是曲线 C2: y2=1 与 C1

3、的一个交点,则 cosF 1PF2 的值是( )A B C D9 (5 分)已知椭圆的方程为 ,过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B 两点,F 2 是椭圆的右焦点,则ABF 2 的周长的最小值为( )A7 B8 C9 D1010 (5 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )A B C D11 (5 分)已知直线 l 的斜率为 k,它与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点, =3 ,则 |k|=( )A2 B C D12 (5 分)过双曲线 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线

4、交于A,B 两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,则离心率 e 的取值范围是( )A B C D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)给定下列命题:“x1”是“x2” 的充分不必要条件;“若 sin ,则 ”;若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题;命题“x 0R,使 x02x0+10” 的否定其中真命题的序号是 14 (5 分)已知 =(2, 1,3) , =(1,4,2) , =(7,5,) ,若 , ,三向量共面,则 = 15 (5 分)已知 A 是双曲线 C: (a0,b0)的右顶点,过左焦点F 与 y 轴平行的直线交双曲线

5、 C 于 P、Q 两点,若APQ 是锐角三角形,则双曲线 C 的离心率的范围 16 (5 分)如图,已知点 C 的坐标是(2,2)过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,则点 M 的轨迹方程为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (10 分)给出两个命题:命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a1)x+a 20 的解集为,命题乙:函数 y=(2a 2a) x 为增函数分别求出符合下列条件的实数 a 的范围(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)

6、甲、乙中有且只有一个是真命题18 (12 分)已知三棱锥 SABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA垂直于底面 ABC,SA=3,(1)如图建立空间直角坐标系,写出 、 的坐标;(2)求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值19 (12 分)如图,直棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB 1 的中点,AA1=AC=CB= AB()证明:BC 1平面 A1CD()求二面角 DA1CE 的正弦值20 (12 分)已知椭圆 C: (ab 0 )的离心率 e= ,A,B 是椭圆C 上两点,N(3,1)是线段 AB 的中点(1)求直线 AB 的方程;(2)若以

7、AB 为直径的圆与直线 相切,求出该椭圆方程21 (12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1()求曲线 C 的方程;()是否存在正数 m,对于过点 M(m ,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由22 (12 分)已知椭圆 ,四点中恰有三点在椭圆上(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A、B 两点,若直线 P2A 与 P2B 直线的斜率的和为1,证明:l 过定点2017-2018 学年甘肃兰州高二(上)期末数学试卷(

8、理科)参考答案与试题解析一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1 (5 分)抛物线 y=16x2 的准线方程是( )Ax=4 Bx= 4 Cy= Dy=【解答】解:抛物线的方程为 y=16x2,其标准方程为 x2= y,其开口向上,且 p= ,则其准线方程为:y= ;故选:D2 (5 分)若双曲线 =1 的一条渐近线经过点(3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A B C D【解答】解:双曲线 =1 的一条渐近线经过点(3,4) ,可得 3b=4a,即9(c 2a2)=16a 2,解得 = 故选:D3 (5 分) “1 m3” 是“ 方程 + =1 表示椭圆”的( )A充

9、分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解:若方程 + =1 表示椭圆,则满足 ,即 ,即 1m3 且 m2,此时 1m3 成立,即必要性成立,当 m=2 时,满足 1m 3,但此时方程 + =1 等价为 为圆,不是椭圆,不满足条件即充分性不成立故“1m 3”是“方程 + =1 表示椭圆” 的必要不充分条件,故选:B4 (5 分)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 位置时,拱顶离水面 2 米,水面宽4 米,则水位下降 2 米后(水足够深) ,水面宽( )米A2 B4 C4 D2【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为 x2=my,将 A(2, 2)代入 x2

10、=my,得 m=2x 2=2y,代入 B(x 0, 4)得 x0=2 ,故水面宽为 4 m故选:B5 (5 分)椭圆 (ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F 2若|AF 1|,|F 1F2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )A B C D【解答】解:设该椭圆的半焦距为 c,由题意可得,|AF1|=ac,|F 1F2|=2c,|F 1B|=a+c,|AF 1|,|F 1F2|,|F 1B|成等比数列,(2c) 2=(a c) (a+c) , = ,即 e2= ,e= ,即此椭圆的离心率为 故选 B6 (5 分)若 A(x,5x,2x1) ,B(1,x+2

11、,2x) ,当| |取最小值时,x 的值等于( )A19 B C D【解答】解: =(1x, 2x3,3x+3) ,| |=求出被开方数的对称轴为 x=当 时,| |取最小值故选 C7 (5 分)已知命题 p: xR,x2lgx,命题 q: xR,e x1,则( )A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题C命题 p(q)是真命题 D命题 p(q )是假命题【解答】解:对于命题 p:例如当 x=10 时,81 成立,故命题 p 是真命题;对于命题 q:xR ,e x1,当 x=0 时命题不成立,故命题 q 是假命题;命题 pq 是真命题故选:C8 (5 分)设 F1,F 2 为曲线 C1:

12、 的焦点,P 是曲线 C2: y2=1 与 C1的一个交点,则 cosF 1PF2 的值是( )A B C D【解答】解:依题意,曲线 C1: + =1 的焦点为 F1(2,0) ,F 2(2,0)双曲线 C2: y2=1 的焦点也为 F1(2,0) ,F 2(2 ,0)P 是曲线 C2 与 C1 的一个交点,设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF1+PF2=2 ,PF 1PF2=2解得 PF1= + ,PF 2= 设F 1PF2=则 cos= = ,故选:C9 (5 分)已知椭圆的方程为 ,过椭圆中心的直线交椭圆于 A、B 两点,F 2 是椭圆的右焦点,则ABF 2 的周长的最小值为(

13、 )A7 B8 C9 D10【解答】解:椭圆的方程为 ,2a=6,2b=4,c=2 ,连接 AF1,BF 1,则由椭圆的中心对称性可得ABF 2 的周长 l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,当 AB 位于短轴的端点时, |AB|取最小值,最小值为 2b=4,l=2a+|AB|=6+|AB|6+4=10故选:D10 (5 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )A B C D【解答】解:过 O 作 A1B1 的平行线,交 B1C1 于 E,则 O

14、 到平面 ABC1D1 的距离即为 E 到平面 ABC1D1 的距离作 EFBC 1 于 F,易证 EF平面 ABC1D1,可求得 EF= B1C= 故选 B11 (5 分)已知直线 l 的斜率为 k,它与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点, =3 ,则 |k|=( )A2 B C D【解答】解:设 A 在第一象限,如图,设 A、B 在准线上的射影分别为 M,N,过 B 作 BEAM 与 E,根据抛物线定义,可得:AF=AM=3m,BN=BF=m , AE=2m,又 AB=4m, BAF=60,k= ,当 A 在第四象限时,可得 k= 故选:B12 (5 分)过双曲线

15、 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于A,B 两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,则离心率 e 的取值范围是( )A B C D【解答】解:由题意过双曲线 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,可得|AB|=4b,并且 2a4b,e 1,可得:e 或 1综合可得,有 2 条直线符合条件时,:e 或 1 故选:D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)给定下列命题:“x1”是“x2” 的充分不必要条件;“若 sin ,则 ”;若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题;命题“

16、x 0R,使 x02x0+10” 的否定其中真命题的序号是 【解答】解:对于,由 x1 不能得到 x2,由 x2 能得到 x1,“x1”是“x2” 的必要不充分条件,命题为假命题;对于,“若 ,则 sin ”为真命题,其逆否命题“ 若 sin ,则 ”为真命题,命题为真命题;对于,由 xy=0,可得 x=0 或 y=0,“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”为假命题,则其逆否命题为假命题;对于,x 02x0+1= ,命题“x 0R,使 x02x0+10” 为假命题,则其否定为真命题真命题的序号是故答案为:14 (5 分)已知 =(2, 1,3) , =(1,4,2) , =(7,5,) ,若

17、 , ,三向量共面,则 = 【解答】解: =(2,1,3) , =(1,4, 2) , =(7,5,) , , 三向量共面三向量共面,存在 p,q,使得 =p +q ,(7,5,)=(2pq, p+4q,3p 2q) ,解得 p= ,q= ,=3p 2q= 故答案为: 15 (5 分)已知 A 是双曲线 C: (a0,b0)的右顶点,过左焦点F 与 y 轴平行的直线交双曲线 C 于 P、Q 两点,若APQ 是锐角三角形,则双曲线 C 的离心率的范围 ( 1,2) 【解答】解:APQ 是锐角三角形,PAF 为锐角,双曲线关于 x 轴对称,且直线 AB 垂直 x 轴,PAF=QAF45PF AFF

18、 为座焦点,设其坐标为(c,0)所以 A(a,0)所以 PF= , AF=a+c a+c 即 c2ac2a20解得1 2双曲线的离心率的范围是(1,2)故答案为:(1,2)16 (5 分)如图,已知点 C 的坐标是(2,2)过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,则点 M 的轨迹方程为 x+y2=0 【解答】解:由题意可知:点 M 既是 RtABC 的斜边 AB 的中点,又是 RtOAB 的斜边 AB 的中点|OM|= |CM|,设 M( x,y) ,则 ,化为 x+y2=0故答案为 x+y2

19、=0三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (10 分)给出两个命题:命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a1)x+a 20 的解集为,命题乙:函数 y=(2a 2a) x 为增函数分别求出符合下列条件的实数 a 的范围(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真命题【解答】解:若命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a1)x+a 20 的解集为为真命题则= ( a1) 2x4a2=3a22a+10即 3a2+2a1 0,解得 A=a|a1,或 a 若命题乙:函数 y=(2a 2a) x 为增函数为真命题则 2a2a1即 2a2

20、a10解得 B=a|a ,或 a1(1)若甲、乙至少有一个是真命题则 AB=a|a 或 a ;(2)若甲、乙中有且只有一个是真命题(AC UB)(C UAB)=a| a1 或1a 18 (12 分)已知三棱锥 SABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA垂直于底面 ABC,SA=3,(1)如图建立空间直角坐标系,写出 、 的坐标;(2)求直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值【解答】解:(1)以 A 为原点建系如图,则 S(0,0,3) ,A(0,0,0) ,B(,1,0) ,C (0,2,0) =( , 1,0) , =( ,1, 3) , =(0, 2, 3)(6 分

21、)(2)设面 SBC 的法向量为 则令 y=3,则 z=2,x= , 设 AB 与面 SBC 所成的角为 ,则 sin= 12 分19 (12 分)如图,直棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB 1 的中点,AA1=AC=CB= AB()证明:BC 1平面 A1CD()求二面角 DA1CE 的正弦值【解答】解:()证明:连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点,又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1DF,因为 DF平面 A1CD,BC 1平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD()因为直棱柱 ABCA1B1C1,所以 AA1CD ,由已知 AC

22、=CB,D 为 AB 的中点,所以 CDAB ,又 AA1AB=A,于是,CD平面 ABB1A1,设 AB=2 ,则 AA1=AC=CB=2,得ACB=90,CD= ,A 1D= ,DE= ,A 1E=3故 A1D2+DE2=A1E2,即 DEA 1D,所以 DE平面 A1DC,又 A1C=2 ,过 D 作 DF A1C 于 F,DFE 为二面角 DA1CE 的平面角,在A 1DC 中,DF= = ,EF= = ,所以二面角 DA1CE 的正弦值sinDFE= 20 (12 分)已知椭圆 C: (ab 0 )的离心率 e= ,A,B 是椭圆C 上两点,N(3,1)是线段 AB 的中点(1)求直

23、线 AB 的方程;(2)若以 AB 为直径的圆与直线 相切,求出该椭圆方程【解答】解:(1)离心率 e= ,设椭圆 C:x 2+3y2=a2(a0) ,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,由题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x3)+1,代入x2+3y2=a2,整理得(3k 2+1)x 26k(3k 1)x +3(3k 1) 2a2=0=4a 2(3k 2+1)3 (3k1) 20,且 x1+x2= ,由 N( 3,1)是线段 AB 的中点,得 解得 k=1,代入得 a212,直线 AB 的方程为 y1=(x 3) ,即 x+y4=0(6分)(2)圆心 N(3,1 )到直线

24、的距离 d= ,|AB |=2 当 k=1 时方程即 4x224x+48a2=0|AB|= |x1x2|= =2 ,解得 a2=24椭圆方程为 (12 分)21 (12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1()求曲线 C 的方程;()是否存在正数 m,对于过点 M(m ,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由【解答】解:()设 P(x ,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x ,y )满足:化简得 y2=4x(x 0) ()设过点 M(m,0) (m

25、 0 )的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) 设 l 的方程为 x=ty+m,由 得 y24ty4m=0,=16 (t 2+m)0,于是 又 (x 11) (x 21)+y1y2=x1x2(x 1+x2)+1+y 1y20 又 ,于是不等式等价于由式,不等式等价于 m26m+14t 2对任意实数 t,4t 2 的最小值为 0,所以不等式对于一切 t 成立等价于m26m+10,解得 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m ,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 ,且 m 的取值范围 22 (12 分)已知椭圆 ,四点中恰有三点在椭圆上

26、(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A、B 两点,若直线 P2A 与 P2B 直线的斜率的和为1,证明:l 过定点【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,得到 P2,P 3,P 4 三点在椭圆 C 上把P2,P 3 代入椭圆 C,得 ,得出 a2=4,b 2=1,由此椭圆 C 的方程为 证明:(2)当斜率不存在时,设 l:x=m,A (m,y A) ,B(m, yA) ,直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1, =1解得 m=2,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足当斜率存在时,设 l:y=kx+b, (b 1) ,A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,联立 ,整理,得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b24=0,直线 P2A 与 P2B 直线的斜率的和为 1, = =代入得:又 b1,b=2k1,此时= 64k,存在 k,使得0 成立,直线 l 的方程为 y=kx2k1,当 x=2 时,y=1,l 过定点(2,1)