1、2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）命题“x0 都有 x2x+30”的否定是（ ）Ax0，使得 x2x+30 B x0，使得 x2x+30C x0 ，都有 x2x+30 D.x 0，都有 x2x+302 （5 分）函数 f（x ）=x 33x2+1 是减函数的区间为（ ）A （2 ，+） B （，2） C （ ，0） D （0，2）3 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）A2 B3 C4 D54 （5
2、分）顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是（ ）Ay 2=4x Bx 2=4yC y2=4x 或 x2=4y Dy 2=4x 或 x2=4y5 （5 分）已知 f（x ）=x+ 2（x0） ，则 f（x）有（ ）A最大值为 0 B最小值为 0 C最大值为 4 D最小值为46 （5 分）若 kR，则“k 1”是方程“ ”表示双曲线的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为（ ）A B C D8 （5 分）过抛物线 y2=4x 焦点 F
3、做直线 l，交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，若线段 AB 中点横坐标为 3，则|AB|=（ ）A6 B8 C10 D129 （5 分）若 a1，则双曲线 y2=1 的离心率的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ， 2） C （1， ） D （1，2）10 （5 分）设 f（x ）在定义域内可导， y=f（x ）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能是（ ）A B CD11 （5 分）若椭圆 的离心率 ，则实数 m 的值为（ ）A2 B8 C2 或 8 D6 或12 （5 分）设 aR，若函数 y=ex+ax，x R，有大于零的极值点，则（ ）Aa 1
4、Ba1 C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）若双曲线 =1（b0）的渐近线方程式为 y= ，则 b 等于 14 （5 分）若曲线 y=ax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，则 a= 15 （5 分）椭圆 的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B ，当FAB 的周长最大时， FAB 的面积是 16 （5 分）下列四个命题：命题“若 a=0，则 ab=0”的否命题是“若 a=0，则 ab0”；“若 q1，则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题；若命题“p”与命题“p 或 q”都是真命题，则命题 q 一定是真命题；命题
5、“若 0a1，则 ”是真命题其中正确命题的序号是 （把所有正确的命题序号都填上） 三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：损坏餐椅数 未损坏餐椅数 总 计学习雷锋精神前 50 150 200学习雷锋精神后 30 170 200总 计 80 320 400（1）求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？（2）请说明是否有 97.5
6、%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？（n=a+b+c+d）参考公式： ，P（K 2k 0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818 （12 分）已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为 ，求双曲线方程19 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px，且点 P（1 ，2）在抛物线上（1）求 p 的值（2）直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A、B 两点，若|AB|=10，求直线 l 的方程20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+3x2+9x+a（1）求函数 y=f（x）的单调递减区间（2
7、）函数 y=f（x）在区间 2，2上的最大值是 20，求它在该区间上的最小值21 （12 分）已知圆 ，Q 是圆上一动点，AQ的垂直平分线交 OQ 于点 M，设点 M 的轨迹为 E（I）求轨迹 E 的方程；（）过点 P（1，0）的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A、B，AOB（O 是坐标原点）的面积 S= ，求直线 AB 的方程22 （12 分）已知 f（x）=xlnx，g（x）=x 3+ax2x+2（）如果函数 g（x）的单调递减区间为 ，求函数 g（x）的解析式；（）在（）的条件下，求函数 y=g（x ）的图象在点 P（1，1）处的切线方程；（）若不等式 2f（x） g（x ）+2
8、恒成立，求实数 a 的取值范围2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）命题“x0 都有 x2x+30”的否定是（ ）Ax0，使得 x2x+30 B x0，使得 x2x+30C x0 ，都有 x2x+30 D.x 0，都有 x2x+30【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“x0 都有 x2x+30”的否定是“x0 都有 x2x+30” ，故选 B2 （5 分）函数 f（x ）=x 33x2+1 是减函数的区间为（
9、 ）A （2 ，+） B （，2） C （ ，0） D （0，2）【解答】解：由 f（x ）=3x 26x0，得 0x 2函数 f（x ）=x 33x2+1 是减函数的区间为（0，2） 故答案为 D3 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a= 1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a= 1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，K=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a= 1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，K=
10、6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a= 1，K=7；K 6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3故选：B4 （5 分）顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是（ ）Ay 2=4x Bx 2=4yC y2=4x 或 x2=4y Dy 2=4x 或 x2=4y【解答】解：抛物线的顶点在原点，且过点（4 ，4） ，设抛物线的标准方程为 x2=2py（p 0）或 y2=2px（p0） ，将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程 x2=2py（p0）得：16=8p，p=2，此时抛物线的标准方程为 x2=4y；将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程 y2=2px（p 0） ，同理可得 p=2
11、，此时抛物线的标准方程为 y2=4x综上可知，顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是 x2=4y 或y2=4x故选 C5 （5 分）已知 f（x ）=x+ 2（x0） ，则 f（x）有（ ）A最大值为 0 B最小值为 0 C最大值为 4 D最小值为4【解答】解：x0， x0，x+ 2=（x+ ）22 2=4，等号成立的条件是x= ，即 x=1故选 C6 （5 分）若 kR，则“k 1”是方程“ ”表示双曲线的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：方程“ ”表示双曲线，则（k1） （k +1）0，解得 k1 或 k1“k 1”是方程“ ”
12、表示双曲线的充分不必要条件故选：A7 （5 分）已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为（ ）A B C D【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0） ，双曲线的方程为故选 D8 （5 分）过抛物线 y2=4x 焦点 F 做直线 l，交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，若线段 AB 中点横坐标为 3，则|AB|=（ ）A6 B8 C10 D12【解答】解：y 2=4x 焦点 F 做直线 l，交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，根据抛物线的定义可得：|AB|=x 1+x2
13、+2，线段 AB 中点横坐标为 3，x 1+x2=6，|AB|=x 1+x2+2=8，故选：B9 （5 分）若 a1，则双曲线 y2=1 的离心率的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ， 2） C （1， ） D （1，2）【解答】解：a1，则双曲线 y2=1 的离心率为： = = （1 ，） 故选：C10 （5 分）设 f（x ）在定义域内可导， y=f（x ）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能是（ ）A BC D【解答】解：根据函数与导数的关系：可知，当 f（x）0 时，函数 f（x）单调递增；当 f（x ）0 时，函数 f（x）单调递减结合函数 y=f（x）的图象可知，当
14、 x0 时，函数 f（x）单调递减，则 f（x）0，排除选项 A，C当 x0 时，函数 f（x）先单调递增，则 f（x ）0，排除选项 B故选 D11 （5 分）若椭圆 的离心率 ，则实数 m 的值为（ ）A2 B8 C2 或 8 D6 或【解答】解：当椭圆椭圆 的焦点在 x 轴上时， a= ，b=2，c= ，由 e= ，得 = ，即 m=8当椭圆椭圆 的焦点在 y 轴上时，a=2 ，b= ，c= 由 e= ，得，即 m=2综上实数 m 的值为：2 或 8故选：C12 （5 分）设 aR，若函数 y=ex+ax，x R，有大于零的极值点，则（ ）Aa 1 Ba1 C D【解答】解：y=e x+
15、ax，y=e x+a由题意知 ex+a=0 有大于 0 的实根，令 y1=ex，y 2=a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得a1a1，故选 A二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）若双曲线 =1（b0）的渐近线方程式为 y= ，则 b 等于 1 【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为 y= ，又双曲线的渐近线方程式为 y= ， ，解得 b=1故答案为 114 （5 分）若曲线 y=ax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，则 a= 【解答】解：由题意得 ，在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，2a1=0，得 a= ，故答案为： 15
16、（5 分）椭圆 的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B ，当FAB 的周长最大时， FAB 的面积是 3 【解答】解：设椭圆的右焦点为 E如图：由椭圆的定义得：FAB 的周长：AB +AF+BF=AB+（2a AE）+（2a BE）=4a+ABAEBE；AE +BEAB ；AB AEBE0，当 AB 过点 E 时取等号；AB+AF+BF=4a+ABAE BE4a；即直线 x=m 过椭圆的右焦点 E 时FAB 的周长最大；此时FAB 的高为：EF=2此时直线 x=m=c=1；把 x=1 代入椭圆 的方程得：y= AB=3所以：FAB 的面积等于： SFAB = 3EF= 32=3故
17、答案为：316 （5 分）下列四个命题：命题“若 a=0，则 ab=0”的否命题是“若 a=0，则 ab0”；“若 q1，则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题；若命题“p”与命题“p 或 q”都是真命题，则命题 q 一定是真命题；命题“若 0a1，则 ”是真命题其中正确命题的序号是 （把所有正确的命题序号都填上） 【解答】解：（1）命题“若 a=0，则 ab=0”的否命题是“若 a0，则 ab0”，因此不正确；（2）若命题 p：xR ，x 2+x+10，则p： xR，x 2+x+10，正确；（3）若命题“p”与命题“p 或 q”都是真命题，则命题 p 是假命题，q 一定是真命题，正确；（
18、4）0a1，则 a+11+ 则“log a（a+1）log a（1+ ） ”是假命题，不正确其中真命题的有 2 个故答案为：三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：损坏餐椅数 未损坏餐椅数 总 计学习雷锋精神前 50 150 200学习雷锋精神后 30 170 200总 计 80 320 400（1）求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋
19、精神是否有关？（2）请说明是否有 97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？（n=a+b+c+d）参考公式： ，P（K 2k 0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解答】解：（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是=25%， =15%由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关（3）根据表格：损坏餐椅数 未损坏餐椅数 总 计学习雷锋精神前 50 150 200学习雷锋精神后 30 170 200总 计 80 320 400假设 H0：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，
20、则 K2 应该很小根据题中的列联表得 k2= =6.255.024，（11 分）由 P（ K25.024）=0.025，有 97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关18 （12 分）已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为 ，求双曲线方程【解答】解：由已知双曲线与椭圆 共焦点，得双曲线 c=4，椭圆离心率为 ，（4 分）它们的离心率之和为 ，则双曲线离心率为 2，得 a=2，故 b2=12（8 分）故所求双曲线方程是 3x2y2=12（或 =1） （12 分）19 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px，且点 P（1 ，2）在抛物线上（1）求 p 的值（2）直线 l 过焦点且
21、与该抛物线交于 A、B 两点，若|AB|=10，求直线 l 的方程【解答】解：（1）点 P（1，2）在抛物线 y2=2px 上，4=2p，即 p=2（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）若 lx 轴，则 |AB|=4，不适合设 l：y=k（x 1） ，代入抛物线方程得 k2x22（k 2+2）x +k2=0，=16k 2+160， 由 ，得 ， 直线 l 的方程为 20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+3x2+9x+a（1）求函数 y=f（x）的单调递减区间（2）函数 y=f（x）在区间 2，2上的最大值是 20，求它在该区间上的最小值【解答】解：（1）f（x ）=
22、x3+3x2+9x+a，f（x）=3x 2+6x+9，由 f（x）=3x 2+6x+90，即 x22x30，解得 x3 或 x1，即函数的单调递减区间为（3，+） ， （， 1） ；（2）列表如下；x 2 （2，1） 1 （1，2） 2f（x） 0 + f（x） a+2 递减 a7 递增a+22f（ x） 最大值 =f（2）=a+22，a+22=20，a= 2，f（ x） 最小值 =f（1）=9故函数的最小值是921 （12 分）已知圆 ，Q 是圆上一动点，AQ的垂直平分线交 OQ 于点 M，设点 M 的轨迹为 E（I）求轨迹 E 的方程；（）过点 P（1，0）的直线 l 交轨迹 E 于两个不
23、同的点 A、B，AOB（O 是坐标原点）的面积 S= ，求直线 AB 的方程【解答】 （1）解：（1）由题意 ，所以轨迹 E 是以 A，O 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， （2 分）即轨迹 E 的方程为 （4 分）（2）解：记 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由题意，直线 AB 的斜率不可能为 0，故可设 AB：x=my+1，由 ，消 x 得：（ 4+m2）y 2+2my3=0，所以 （7 分）（9 分）由 ，解得 m2=1，即 m=1（10 分）故直线 AB 的方程为 x=y+1，即 x+y1=0 或 xy1=0 为所求（12 分）22 （12 分）已知 f（x）=xlnx，
24、g（x）=x 3+ax2x+2（）如果函数 g（x）的单调递减区间为 ，求函数 g（x）的解析式；（）在（）的条件下，求函数 y=g（x ）的图象在点 P（1，1）处的切线方程；（）若不等式 2f（x） g（x ）+2 恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（I）g（x）=3x 2+2ax1 由题意 3x2+2ax10 的解集是即 3x2+2ax1=0 的两根分别是 将 x=1 或 代入方程 3x2+2ax1=0 得 a=1g （x）=x 3x2x+2 （4 分）（II）由（）知：g （x）=3x 22x1，g（ 1）=4，点 p（1，1）处的切线斜率 k=g（1）=4，函数 y=g（x）的图象在点 p（1，1）处的切线方程为：y1=4（x +1） ，即 4xy+5=0 （8 分）（III）2f（ x）g（x）+2即：2xlnx3x 2+2ax+1 对 x（0，+）上恒成立可得 对 x（0，+）上恒成立设 ，则令 h（x ）=0，得 （舍）当 0x1 时，h（x）0；当 x1 时，h（x）0当 x=1 时，h（x ）取得最大值 2a 2a 的取值范围是2，+） （13 分）
