1、第 20 讲 矩形、菱形、正方形A 组 基础题组一、选择题1.(2017 聊城)如图,ABC 中,DEBC,EFAB,要判定四边形 DBFE 是菱形,还需要添加的条件是( )A.AB=AC B.AD=BDC.BEAC D.BE 平分ABC2.(2018 威海)矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G共线,连接 AF,取 AF 的中点 H,连接 GH,若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH=( )A.1 B. C. D.23 22 523.(2017 陕西)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3.若点 E 是边 CD 的中点,连接 AE,过点 B
2、 作 BFAE 交 AE 于点 F,则 BF 的长为( )A. B.3102 3105C. D.105 3554.(2017 江西)如图,任意四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点,对于四边形 EFGH 的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中 的是( )错误 A.当 E,F,G,H 是各边中点,且 AC=BD 时,四边形 EFGH 为菱形B.当 E,F,G,H 是各边中点,且 ACBD 时,四边形 EFGH 为矩形C.当 E,F,G,H 不是各边中点时,四边形 EFGH 可以为平行四边形D.当 E,F,G,H 不是各边中点时,
3、四边形 EFGH 不可能为菱形5.(2017 东营)如图,在ABCD 中,用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG交 BC 于点 E.若 BF=8,AB=5,则 AE 的长为( )A.5 B.6C.8 D.126.(2017 东营)如图,在正方形 ABCD 中,BPC 是等边三角形,BP,CP的延长线分别交 AD 于点 E,F,连接 BD,DP,BD 与 CF 相交于点 H,给出下列结论:BE=2AE;DFPBPH;PFDPDB;DP 2=PHPC.其中正确的是( )A. B.C. D.二、填空题7.如图,E,F,G,H 分别是矩形 ABCD 各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH 的面
4、积是 . 8.(2018 青岛)已知正方形 ABCD 的边长为 5,点 E、F 分别在 AD、DC上,AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G,点 H 为 BF 的中点,连接 GH,则 GH的长为 . 9.(2017 兰州)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,要使四边形 ABCD 是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且 AB=AD;AB=BD,且 ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且 AC=BD.其中正确的序号是 . 三、解答题10.(2018 潍坊)如图,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作DEAM
5、于点 E,BFAM 于点 F,连接 BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为 24,求EBF 的正弦值.11.(2017 滨州)如图,在ABCD 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧交AD 于点 F,再分别以点 B,F 为圆心,大于 BF 的相同长度为半径画弧,12两弧交于点 P;连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF,则所得四边形ABEF 是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形 ABEF 是菱形;(2)若菱形 ABEF 的周长为 16,AE=4 ,求C 的大小.3B 组 提升题组一、选择题1.(2017 广东深圳)如图,正方形
6、ABCD 的边长是 3,BP=CQ,连接 AQ,DP交于点 O,并分别与边 CD,BC 交于点 F,E,连接 AE,下列结论:AQDP;OA 2=OEOP;S AOD =S 四边形 OECF;当 BP=1 时,tanOAE=.其中正确结论的个数是( )1316A.1 B.2C.3 D.42.(2018 天津)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,P为对角线 BD 上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是( )A.AB B.DEC.BD D.AF二、填空题3.(2017 湖北黄冈)已知:如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形ADE,则BED=
7、度. 4.(2017 天津)如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,点F,G 分别在边 BC,CD 上,P 为 AE 的中点,连接 PG,则 PG 的长为 .三、解答题5.(2017 枣庄)已知正方形 ABCD,P 为射线 AB 上的一点,以 BP 为边作正方形 BPEF,使点 F 在线段 CB 的延长线上,连接 EA,EC.(1)如图 1,若点 P 为线段 AB 的延长线上,求证:EA=EC;(2)如图 2,若点 P 在线段 AB 的中点,连接 AC,判断ACE 的形状,并说明理由;(3)如图 3,若点 P 在线段 AB 上,连接 AC,当 EP 平分AEC 时
8、,设AB=a,BP=b,求 ab 及AEC 的度数.6.(2018 山西)综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图 1,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AB 延长线上一点,且 BE=AB,连接 DE,交 BC于点 M,以 DE 为边在 DE 的左下方作正方形 DEFG,连接 AM.试判断线段 AM 与 DE 的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM 垂直平分 DE,并展示了如下的证明方法:图 1证明:BE=AB,AE=2AB.AD=2AB,AD=AE.四边形 ABCD 是矩形,ADBC. = .(依据 1)BE=AB, =1.EM=DM.即 AM 是ADE
9、的 DE 边上的中线,又AD=AE,AMDE.(依据 2)AM 垂直平分 DE.反思交流:(1)上述证明过程中的“依据 1”“依据 2”分别是指什么?试判断图 1 中的点 A 是否在线段 GF 的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图 2,连接 CE,以 CE 为边在 CE 的左下方作正方形 CEFG,发现点 G 在线段 BC 的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图 3,连接 CE,以 CE 为边在 CE 的右上方作正方形 CEFG,可以发现点 C,点 B 都在线段 AE 的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD 和正方形 CE
10、FG 的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图 2图 3与四边形有关的证明与计算培优训练一、选择题1.(2018 宁波)如图,ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 是边 CD的中点,连接 OE.若ABC=60,BAC=80,则1 的度数为( )A.50 B.40 C.30 D.202.(2018 凉州)如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置,若四边形 AECF 的面积为25,DE=2,则 AE 的长为( )A.5 B. C.7 D.23 293.(2018
11、黔南)如图,在ABCD 中,已知 AC=4 cm,若ACD 的周长为 13 cm,则ABCD 的周长为( )A.26 cm B.24 cmC.20 cm D.18 cm4.(2018 孝感)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形 ABCD 的周长为( )A.52 B.48 C.40 D.205.(2018 宜昌)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别是对角线AC 上的两点,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为 G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于( )A.1 B. C. D.12 13 146.(2018 湘潭)
12、如图,已知点 E、F、G、H 分别是菱形 ABCD 各边的中点,则四边形 EFGH 是( )A.正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四边形7.(2018 南通)正方形 ABCD 的边长 AB=2,E 为 AB 的中点,F 为 BC 的中点,AF 分别与 DE、BD 相交于点 M、N,则 MN 的长为( )A. B. -1556 253C. D.4515 33二、填空题8.(2018 连云港)如图,E、F、G、H 分别为矩形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点,连接 AC、HE、EC、GA、GF,已知AGGF,AC= ,则 AB 的长为 . 69.(2018 宁波)如图,在菱形 ABCD
13、 中,AB=2,B 是锐角,AEBC 于点 E,M是 AB 中点,连接 MD,ME.若EMD=90,则 cos B 的值为 . 10.(2018 菏泽)若正多边形的每一个内角为 135,则这个正多边形的边数是 . 11.(2018 四川成都)如图,在矩形 ABCD 中,按以下步骤作图:分别以点 A 和 C 为圆心,以大于 AC 的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和 N;12作直线 MN 交 CD 于点 E.若 DE=2,CE=3,则矩形的对角线 AC 的长为 . 12.(2018 兰州)如图,M、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点,满足 AM=BN,连接 AC 交 BN 于点 E
14、,连接 DE 交 AM 于点 F,连接 CF,若正方形的边长为 6,则线段 CF 的最小值是 . 13.(2018 襄阳)如图,将面积为 32 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,2点 A 的对应点为点 P,连接 AP 交 BC 于点 E.若 BE= ,则 AP 的长为 .2三、解答题14.(2018 济宁)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,连接 DF,过点 E 作 EHDF,垂足为 H,EH 的延长线交 DC 于点 G.(1)猜想 DG 与 CF 的数量关系,并证明你的结论;(2)过点 H 作 MNCD,分别交 AD,BC 于点 M,N.若正方形 A
15、BCD 的边长为 10,点 P 是 MN 上一点,求PDC 周长的最小值.15.(2018 北京)如图,在四边形 ABCD 中,ABDC,AB=AD,对角线 AC,BD交于点 O,AC 平分BAD,过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E,连接 OE.(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;(2)若 AB= ,BD=2,求 OE 的长.516.(2018 北京)如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 上的一动点(不与点 A,B 重合),连接 DE,点 A 关于直线 DE 的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EHDE 交 DG 的延长线于
16、点 H,连接 BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明.第 20 讲 矩形、菱形、正方形A 组 基础题组一、选择题1.D 当 BE 平分ABC 时,四边形 DBFE 是菱形.理由:DEBC,DEB=EBC,EBC=EBD,EBD=DEB,BD=DE.DEBC,EFAB,四边形 DBFE 是平行四边形,BD=DE,四边形 DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形 DBFE 是菱形,故选 D.2.C 如图,延长 GH 交 AD 于点 P,四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形,ADC=ADG=CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,AD
17、GF,GFH=PAH,又H 是 AF 的中点,AH=FH,在APH 和FGH 中, =,=,=.APHFGH(ASA),AP=GF=1,PH=GH= PG,12PD=AD-AP=1,CG=2,CD=1,DG=1,则 GH= PG= = .12 12 2+2 22故选 C.3.B 如图,连接 BE.四边形 ABCD 是矩形,AB=CD=2,BC=AD=3,D=90,E 是边 CD 的中点,DE=1.在 RtADE 中,AE= = = ,2+2 32+12 10S ABE = S 矩形 ABCD=3= AEBF,12 12BF= .31054.D 连接 AC,BD.当 E,F,G,H 是各边中点时
18、,由三角形中位线定理可得 EFAC 且 EF= AC,GHAC 且 GH= AC,EFGH 且 EF=GH,四边形12 12EFGH 为平行四边形.当 AC=BD 时,EF= AC,EH= BD,EF=EH,平行12 12四边形 EFGH 为菱形,选项 A 正确;当 ACBD 时,EFAC,EHBD,EFEH,平行四边形 EFGH 为矩形,选项 B 正确;当E,F,G,H 不是各边中点时,若 = = = ,则GHAC,EFAC,GHEF. = = = ,EF=GH,四边形 EFGH为平行四边形,选项 C 正确;当 E,F,G,H 不是各边中点,且 = = =时,四边形 EFGH 为平行四边形
19、,若 = ,BD=2AC,则 = = , = = , 23 2313即 = , = ,即 EF=EH,四边形 EFGH 为菱形,选项 D 错误.故22选 D.5.B 连接 EF,AE 与 BF 交于点 O.四边形 ABCD 是平行四边形,AB=AF,四边形 ABEF 是菱形,AEBF,OB= BF=4,OA= AE.12 12AB=5,在 RtAOB 中,AO= =3,25-16AE=2AO=6.故选 B.6.C BPC 是等边三角形,BP=PC=BC,PBC=PCB=BPC=60.在正方形 ABCD 中,AB=BC=CD,A=ABC=BCD=90,ABE=DCF=30,BE=2AE,故正确;
20、PC=CD,PCD=30,PDC=75,FDP=15.DBA=45,PBD=15,FDP=PBD,DFP=BPC=60,DFPBPH,故正确;FDP=PBD=15,ADB=45,PDB=30,而DFP=60,PFDPDB,PFD 与PDB 不会相似,故错误;PDH=PCD=30,DPH=DPC,DPHCPD, = ,DP 2=PHPC,故正确.故选 C.二、填空题7.答案 24解析 E,F,G,H 分别是矩形 ABCD 各边的中点,AB=6,BC=8,AH=DH=BF=CF=4,AE=BE=DG=CG=3.在AEH 与DGH 中,=,=,=,AEHDGH(SAS).同理可得AEHDGHCGFB
21、EF,S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD-4SAEH =68-4 34=48-24=24.故答案为1224.8.答案 342解析 四边形 ABCD 是正方形,BAD=D=90,AB=AD.又AE=DF,ABEDAF,ABE=DAF.ABE+AEB=180-BAE=180-90=90,DAF+AEB=90,AGE=BGF=90.在 RtBGF 中,点 H 为 BF 的中点,GH= BF.12在 RtBFC 中,BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得 BF= =52+32,GH= .343429.答案 解析 四边形 ABCD 是平行四边形,AB=AD,四边形 ABCD 是菱形
22、,又ABAD,四边形 ABCD 是正方形,正确;四边形 ABCD 是平行四边形,AB=BD,ABBD,平行四边形 ABCD 不可能是正方形,错误;四边形 ABCD 是平行四边形,OB=OC,AC=BD,四边形 ABCD 是矩形,又 OBOC,即对角线互相垂直,平行四边形 ABCD 是正方形,正确;四边形 ABCD 是平行四边形,AB=AD,四边形 ABCD 是菱形,又AC=BD,四边形 ABCD 是矩形,平行四边形 ABCD 是正方形,正确;故答案为.三、解答题10.解析 (1)证明:BAF+DAE=90,ADE+DAE=90,BAF=ADE,在 RtDEA 和 RtAFB 中,=,=,=,
23、RtDEARtAFB,AE=BF.(2)设 AE=x(x0),则 BF=x,四边形 ABED 的面积为 24,DE=AF=2,S 四边形 ABED=SABE +SAED = x2+ 2x=24,12 12解得 x1=6,x2=-8(舍),EF=AE-AF=6-2=4,在 RtEFB 中,BE= =2 ,62+42 13sinEBF= = = .42132131311.解析 (1)证明:在AEB 和AEF 中,=,=,=,AEBAEF,EAB=EAF,ADBC,EAF=AEB=EAB,BE=AB=AF.AFBE,四边形 ABEF 是平行四边形,AB=BE,四边形 ABEF 是菱形.(2)如图,连
24、接 BF,交 AE 于点 G.菱形 ABEF 的周长为 16,AE=4 ,3AB=BE=EF=AF=4,AG= AE=2 ,12 3BAF=2BAE,AEBF.在 RtABG 中,AGB=90,cosBAG= = = ,234 32BAG=30,BAF=2BAE=60.四边形 ABCD 是平行四边形,C=BAF=60.B 组 提升题组一、选择题1.C 四边形 ABCD 是正方形,AD=BC,DAB=ABC=90,BP=CQ,AP=BQ,在DAP 与ABQ 中, =,=,=, DAPABQ,P=Q,Q+QAB=90,P+QAB=90,AOP=90,AQDP,故正确;DOA=AOP=90,ADO+
25、P=ADO+DAO=90,DAO=P,DAOAPO, = ,AO 2=ODOP.AEAB,AEAD,ODOE,OA 2OEOP,故错误;在CQF 与BPE 中,=,=,=, CQFBPE,CF=BE,DF=CE.在ADF 与DCE 中, =,=,=, ADFDCE,S ADF -SDOF =SDCE -SDOF ,即 SAOD =S 四边形 OECF,故正确;BP=1,AB=3,AP=4.EBPDAP, = = ,43BE= ,QE= .34 134QOEPAD, = = = ,1345QO= ,OE= .135 3920AQ= =5,2+2AO=AQ-QO=5-QO= ,125tanOAE=
26、 = ,故正确,1316故选 C.2.D 在正方形 ABCD 中,连接 CE、PC.点 A 与点 C 关于直线 BD 对称,AP=CP,AP+EP 的最小值为 EC.E,F 分别为 AD,BC 的中点,DE=BF= AD.12AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.故选 D.二、填空题3.答案 45解析 四边形 ABCD 是正方形,AB=AD,BAD=90.ADE 是等边三角形,AD=AE,DAE=AED=60.BAE=BAD+DAE=90+60=150,AB=AE,AEB=ABE=(180-BAE)2=15,BED=AED-AEB=60-15=45.4.答案 5解析 延长
27、 GE 交 AB 于点 O,作 PHOE 于点 H.则 PHAB.P 是 AE 的中点,PH 是AOE 的中位线,PH= OA= (3-1)=1.12 12在 RtAOE 中,OAE=45,AOE 是等腰直角三角形,即 OA=OE=2,同理PHE 中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在 RtPHG 中,PG= = = .2+2 12+22 5二、解答题5.证明 (1)四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形,AB=BC,BP=BF,AP=CF,在APE 和CFE 中, =,=,=,APECFE,EA=EC.(2)ACE 是直角三角形,理由如下:如题图 2,P 为 AB 的中
28、点,PA=PB,PB=PE,PA=PE,PAE=45,又BAC=45,CAE=90,即ACE 是直角三角形.(3)设 CE 交 AB 于点 G,EP 平分AEC,EPAG,AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a,PECF, = ,即 = ,-2-解得 a= b,2ab= 1.2作 GHAC 于点 H,CAB=45,HG= AG= (2 b-2b)=(2- )b,22 22 2 2又BG=2b-a=(2- )b,2GH=GB,又GHAC,GBBC,HCG=BCG,PECF,PEG=BCG,AEC=ACB=45.6.解析 (1)依据 1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比
29、例(或平行线分线段成比例).依据 2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).点 A 在线段 GF 的垂直平分线上.(2)证明:过点 G 作 GHBC 于点 H.四边形 ABCD 是矩形,点 E 在 AB 的延长线上,CBE=ABC=GHC=90.1+2=90.四边形 CEFG 为正方形,CG=CE,GCE=90.1+3=90,2=3.GHCCBE.HC=BE.四边形 ABCD 是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH.GH 垂直平分 BC.点 G 在 BC 的垂直平分线上.(3)点 F 在 BC 边的垂直平
30、分线上(或点 F 在 AD 边的垂直平分线上).证法一:过点 F 作 FMBC 于点 M,过点 E 作 ENFM 于点 N.BMN=ENM=ENF=90.四边形 ABCD 是矩形,点 E 在 AB 的延长线上,CBE=ABC=90.四边形 BENM 为矩形.BM=EN,BEN=90.1+2=90.四边形 CEFG 为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90.1=3.CBE=ENF=90,ENFEBC.NE=BE.BM=BE.四边形 ABCD 是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.BM=MC.FM 垂直平分 BC,点 F 在 BC 边的垂直平分线上.证法二:过 F 作
31、 FNBE 交 BE 的延长线于点 N,连接 FB,FC.四边形 ABCD 是矩形,点 E 在 AB 的延长线上,CBE=ABC=N=90.1+3=90.四边形 CEFG 为正方形,EC=EF,CEF=90.1+2=90,2=3.ENFCBE.NF=BE,NE=BC.四边形 ABCD 是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设 BE=a,则 BC=EN=2a,NF=a.BF= = = a,2+2 (3)2+2 10CE= = = a,2+2 (2)2+2 5CF= = CE= a.2+2 2 10BF=CF.点 F 在 BC 边的垂直平分线上.与四边形有关的证明与计算培优训练一、选择题1.B ABC=60,BAC=80,ACB=40,又四边形 ABCD 是平行四边形,且 E 为 DC 的中点,ADBCOE,1=ACB=40,故答案为 B.2.D ABF 是由ADE 旋转得到的,S ABF =SADE ,S 正方形 ABCD=S 四边形 AECF=25,AD=5.DE=2,且ADE 为直角三角形.AE= = ,故选 D.52+22 293.D AC=4 cm,ADC 的周长为 13 cm,AD+DC=13-4=9(cm).又四边形 ABCD 是平行四边形,AB=CD,AD=BC,
