1、第 11 讲 反比例函数A 组 基础题组一、选择题1.已知点 A(-1,1)是反比例函数 y= 的图象上一点,则 m 的值为( )+1A.-1 B.-2 C.0 D.12.(2017 四川自贡)一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2= (k1k20)的2图象如图所示,若 y1y2,则 x 的取值范围是( )A.-21 B.-21 D.xy20C.y2y106.若式子 有意义,则函数 y=kx+1 和 y= 的图象可能是( )1- 2-17.(2017 云南)如图,A,B 两点在反比例函数 y= 的图象上,C,D 两点1在反比例函数 y= 的图象上 ,ACy 轴于点 E,BDy 轴于点2
2、F,AC=2,BD=1,EF=3,则 k1-k2的值是( )A.6 B.4 C.3 D.28.(2017 广东)如图所示,在同一平面直角坐标系中,直线 y=k1x(k10)与双曲线 y= (k20)相交于点 A,B 两点,已知点 A 的坐标为(1,2),则2点 B 的坐标是( )A.(-1,-2) B.(-2,-1)C.(-1,-1) D.(-2,-2)二、填空题9.(2018 东营)如图,B(3,-3),C(5,0),以 OC,CB 为边作平行四边形OABC,则经过点 A 的反比例函数的解析式为 . 10.(2017 上海)如果反比例函数 y= (k 是常数 ,k0)的图象经过点(2,3),
3、那么这个函数图象在的每个象限内,y 的值随 x 的值的增大而 .(填“增大”或“减小”) 11.(2017 湖南长沙)如图,点 M 是函数 y= x 与 y= 的图象在第一象3限内的交点,OM=4,则 k 的值为 . 12.(2017 福建)已知矩形 ABCD 的四个顶点均在反比例函数 y= 的图1象上,且点 A 的横坐标是 2,则矩形 ABCD 的面积为 . 三、解答题13.(2018 菏泽)如图,已知点 D 在反比例函数 y= (a0)的图象上,过点 D 作 DBy 轴,垂足为 B(0,3),直线 y=kx+b(k0)经过点 A(5,0),与 y 轴交于点 C,且 BD=OC,OCOA=2
4、5.(1)求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx+b 的表达式 ;(2)直接写出关于 x 的不等式 kx+b 的解集 .14.(2017 湖北武汉)如图,直线 y=2x+4 与反比例函数 y= 的图象交于A(-3,a)和 B 两点.(1)求 k 的值;(2)直线 y=m(m0)与直线 AB 交于点 M,与反比例函数 y= 的图象交于点 N,若 MN=4,求 m 的值;(3)直接写出不等式 x 的解集.6-5B 组 提升题组一、选择题1.函数 y= 与 y=-kx2+k(k0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )2.(2018 临沂)如图,正比例函数 y1=k1x 与反比例函数 y2= 的
5、图象相2交于 A、B 两点,其中点 A 的横坐标为 1.当 y11 B.-11C.-10 时,函数图象的最低点的坐标是(2,4).其中正确结论的序号是 . 三、解答题5.(2018 聊城)如图,已知反比例函数 y= (x0)的图象与反比例函数1y= (x0)图象2 1上的两点,连接 AB,点 C(-2,n)是函数 y= (x2C.x-3 D.x0 D.k1=k23.如图,在直角坐标系中,直线 y1=2x-2 与坐标轴交于 A、B 两点,与双曲线 y2= (x0)交于点 C,过点 C 作 CDx 轴,垂足为 D,且 OA=AD,连接 BD,则以下结论: = ; 当 00 时,y 1随 x 的增大
6、而增大,y 2随 x 的增大而减小.其中正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.44.如图,双曲线 y= 与直线 y=kx+b 交于点 M、N,并且点 M 的坐标为(1,3),点 N 的纵坐标为-1.根据图象可得关于 x 的方程 =kx+b 的解为( )A.-3,1 B.-3,3 C.-1,1 D.-1,35.如图,正比例函数 y1的图象与反比例函数 y2的图象相交于点 E(-1,2),若 y1y20,则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )6.如图,RtABC 的顶点 A 在双曲线 y= 的图象上 ,直角边 BC 在 x 轴上,ABC=90,ACB=30,OC=4,连接 OA
7、,AOB=60,则 k 的值是( )A.4 B.-4 C.2 D.-23 3 3 37.如图,若点 M 是 x 轴正半轴上任意一点,过点 M 作 PQy 轴,分别交函数 y= (x0)和 y= (x0)的图象于点 P 和 Q,连接 OP 和 OQ.则下列1 2结论正确的是 ( )A.POQ 不可能等于 90B. =12C.这两个函数的图象一定关于 x 轴对称D.POQ 的面积是 (|k1|+|k2|)128.如图所示,已知 A ,B(2,y2)为反比例函数 y= 图象上的两点,(12,1) 1动点 P(x,0)在 x 轴正半轴上运动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是
8、 ( )A. B.(1,0)(12,0)C. D.(32,0) (52,0)9.如图,在直角坐标系中,有菱形 OABC,A 点的坐标为(10,0),对角线OB、AC 相交于 D 点,双曲线 y= (x0)经过 D 点,交 BC 的延长线于 E点,且 OBAC=160,有下列四个结论:双曲线的解析式为 y= (x0);20E 点的坐标是(4,8);sinCOA= ;AC+OB=12 .其中正确的结45 5论有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、填空题10.已知函数 y=ax 和 y= 的图象有两个交点,其中一个交点的横坐4-标为 1,则两个函数图象的交点坐标是 . 11.如图
9、,一次函数 y=kx+2 与反比例函数 y= (x0)的图象交于点 A,4与 y 轴交于点 M,与 x 轴交于点 N,且 AMMN=12, 则 k= . 三、解答题12.如图,直线 l1的方程为 y=-x+1,直线 l2的方程为 y=x+5,且两直线相交于点 P,过点 P 的双曲线 y= 与直线 l1的另一交点为 Q(3,a).(1)求双曲线的解析式;(2)根据图象直接写出不等式 -x+1 的解集 ;(3)若 l2与 x 轴的交点为 M,求PQM 的面积.13.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= (x0)的图象交于点 P(n,2),与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C
10、,PBx 轴于点 B,且AC=BC,SPBC =4.(1)求一次函数、反比例函数的解析式;(2)反比例函数图象上是否存在点 D,使四边形 BCPD 为菱形?如果存在,求出点 D 的坐标;如果不存在,说明理由.14.如图,反比例函数 y= 的图象与过两点 A(0,-2),B(-1,0)的一次函数的图象在第二象限内相交于点 M(m,4).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)在双曲线(x0)的图象上,将点 P 向左平移 1 个单位长度,向上平移 2 个单位长度得到点 Q,点Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上.(1)求 k 的值;(2)如图,该一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A,
11、B 两点,且与反比例函数 y= 的图象交于 C,D 两点(点 C 在第二象限内),过点 C 作-4CEx 轴于点 E,记 S1为四边形 CEOB 的面积,S 2为OAB 的面积,若 =12,求 b 的值 .7916.如图 1,OABC 的边 OC 在 y 轴的正半轴上,OC=3,A(2,1),反比例函数 y= (x0)的图象经过点 B.(1)求点 B 的坐标和反比例函数的关系式;(2)如图 2,将线段 OA 延长交 y= (x0)的图象于点 D,过 B,D 的直线分别交 x 轴、y 轴于 E,F 两点.求直线 BD 的解析式;求线段 ED 的长度.第 11 讲 反比例函数A 组 基础题组一、选
12、择题1.B 2.D 3.D 4.C 5.A6.B 因为式子 有意义,所以 k0,这个函数图象在的每个象限内,y 的值随 x 的值的增大而减小.11.答案 4 3解析 过点 M 作 MNx 轴于点 N,由已知设 M 的坐标为(x, x)(x0),则3ON=x,MN= x,在 RtOMN 中,ON 2+MN2=OM2,即 x2+( x)2=42,解得3 3x=2(舍负),故 M(2,2 ),将 M 的坐标代入 y= 中,可得 k=4 .3 312.答案 152解析 点 A 在反比例函数 y= 的图象上,且点 A 的横坐标是 2,1y= ,即点 A 的坐标为 .12 (2,12)如图,双曲线 y=
13、和矩形 ABCD 都是轴对称图形和中心对称图形,1点 A、B 关于直线 y=x 对称,B ,同理 ,C ,D .(12,2) (-2,-12) (-12,-2)AB= = .(2-12)2+(12-2)2322AD= = .(2+12)2+(12+2)2522S 矩形 ABCD=ABAD= .152三、解答题13.解析 (1)BD=OC,OCOA=25, 点 A(5,0),点 B(0,3),OA=5,OC=BD=2,OB=3,又点 C 在 y 轴的负半轴,点 D 在第二象限,点 C 的坐标为(0,-2),点 D 的坐标为(-2,3).点 D(-2,3)在反比例函数 y= 的图象上,a=-23=
14、-6,反比例函数的表达式为 y=- .6将 A(5,0)、C(0,-2)代入 y=kx+b,则 5+=0,=-2,解得 =25,=-2,一次函数的表达式为 y= x-2.25(2)xkx+b 的解集为 x0,m=2 或 m=6+4 .3(3)x0,则反比例函数的图象过第一、三象限,二次函数的图象的开口向下,与 y 轴相交于正半轴;若 k0 时,y=x+4= +2 ( -4)2 4= +4,( -4)2当 = ,即 x=2 时,y 取得最小值,y min=4.4函数图象的最低点的坐标是(2,4).故正确.三、解答题5.解析 (1)A(1,4),B(4,m)是函数 y= (x0)图象上的两点,14
15、= ,k1=4.11y= (x0),4m= =1.44y= (x0)的图象关于 y 轴对称,2 1点 A(1,4)关于 y 轴的对称点 A1(-1,4)在 y= (x0 时,y 1随 x 的增大而增大,y 2随 x 的增大而减小,故正确.故选 C.4.A M(1,3)在反比例函数图象上,m=13=3,反比例函数解析式为 y= ,3点 N 也在反比例函数图象上,点 N 的纵坐标为-1.x N=-3,N(-3,-1),关于 x 的方程 =kx+b 的解为 x=-3 或 x=1.故选 A.5.A 正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点 E(-1,2),根据图象可知当 y1y20 时 x 的取值范
16、围是 x0,k20)经过 D 点,4= ,即 k=32,8双曲线的解析式为 y= (x0),故错误;32易知直线 CB 的解析式为 y=8, 解得=32,=8, =4,=8,E 点坐标为(4,8),故正确;sinCOA= = = ,故正确;81045易知 AC= =4 ,(10-6)2+(0-8)2 5又OBAC=160,OB= = =8 ,16016045 5AC+OB=4 +8 =12 ,故正确.5 5 5故选 C.二、填空题10.答案 (1,2)和(-1,-2)解析 依题意有 y=a,y=4-a,解得 a=2.代入原函数有 =2,=2,解此方程组得 和1=1,1=2 2=-1,2=-2.
17、所以两函数图象的交点坐标为(1,2)和(-1,-2).11.答案 34解析 过点 A 作 ADx 轴,由题意可得 MOAD,则NOMNDA,AMMN=12, = = ,23一次函数 y=kx+2 与 y 轴的交点为(0,2),MO=2,AD=3,当 y=3 时,3= ,4解得 x= ,43A ,(43,3)将 A 点代入 y=kx+2 得 3= k+2,43解得 k= .34三、解答题12.解析 (1)解方程组 得 则 P(-2,3),=-+1,=+5, =-2,=3,把 P(-2,3)代入 y= 得 k=-23=-6,双曲线的解析式为 y=- .6(2)当 x=3 时,y=-3+1=-2,则
18、 Q(3,-2),所以不等式 -x+1 的解集为-23.(3)当 y=0 时,x+5=0,解得 x=-5,则 M(-5,0),设 l1与 x 轴的交点为 N,则 N(1,0).S PQM =SPMN +SQMN = (5+1)(3+2)=15.1213.解析 (1)AC=BC,COAB,O 为 AB 的中点,即 OA=OB, =4,即 OBPB=4, 12P(n,2),即 PB=2,OA=OB=4,P(4,2),B(4,0),A(-4,0).将 A(-4,0)与 P(4,2)代入 y=kx+b 得-4+=0,4+=2, 解得 =14,=1.一次函数的解析式为 y= x+1.14将 P(4,2)
19、代入反比例函数解析式得 2= ,解得 m=8,4反比例函数的解析式为 y= .8(2)假设存在这样的 D 点,使四边形 BCPD 为菱形.过点 C 作 x 轴的平行线与双曲线交于点 D,连接 PD、BD、CD,如图所示.令一次函数 y= x+1 中 x=0,则有 y=1,14点 C 的坐标为(0,1),CDx 轴,设点 D 的坐标为(x,1).将点 D(x,1)代入反比例函数解析式 y= 中,得 1= ,解得 x=8,8 8点 D 的坐标为(8,1),即 CD=8.P 点横坐标为 4,BP 与 CD 互相垂直平分,四边形 BCPD 为菱形.故反比例函数图象上存在点 D,使四边形 BCPD 为菱
20、形,此时点 D 的坐标为(8,1).14.解析 (1)设直线 AB 的表达式为 y=ax+b(a0),将点 A(0,-2),B(-1,0)代入 y=ax+b,得解得=-2,-+=0, =-2,=-2,一次函数的表达式为 y=-2x-2.当 y=-2x-2=4 时,x=-3,点 M 的坐标为(-3,4),将点 M(-3,4)代入 y= ,得 4= ,解得 k=-12, -3反比例函数的表达式为 y=- .12(2)假设存在这样的点 N.过点 M 作 MCx 轴于 C,过点 N 作 NDMC于 D,如图所示.MND+NMD=90,BMC+NMD=90,MND=BMC,又MDN=BCM=90,MDN
21、BCM, = .设 N ,(,-12)则有 = ,4+122 -3-4解得 n=-8 或 n=-3(不合题意,舍去),经检验,n=-8 是原分式方程的解且符合题意,点 N 的坐标为 ,(-8,32)在双曲线(x0)的图象经过点 B,4= .2k=8.反比例函数的关系式为 y= .8(2)设直线 BD 的解析式为 y=kx+b(k0),直线 OA 的解析式为y=k1x(k10),A(2,1),直线 OA 的解析式为 y= x.12点 D 是反比例函数 y= 的图象与直线 OA 的交点,8解方程组 =12,=8,得 或=4,=2 =-4,=-2.点 D 在第一象限内,D(4,2).将 B、D 两点代入 y=kx+b,直线 BD 的解析式为 y=-x+6.把 y=0 代入 y=-x+6,解得 x=6.E(6,0),过点 D 作 DHx 轴于 H,如图 2,图 2DH=2,OH=4,HE=6-4=2,由勾股定理可得 ED= =2 .2+2 2
