1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第07讲-反比例函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解反比例函数的定义，熟练利用待定系数法求解表达式； 熟练掌握反比例函数的图像与性质； 掌握反比例函数与一次函数的相关应用，学会利用函数图像解决问题； 掌握系数K的几何意义并解决问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）反比例与反比例函数 1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 （2）反比例
2、函数解析式的特征 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. 比例系数 自变量的取值为一切非零实数。 函数的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。 （二）反比例函数的图像与性质1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形
3、。（3）系数的几何意义：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。（三）反比例函数与直线相交问题1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；2、判断直线与双曲线有无公共点，可用=b2-4ac来确定；3、交点个数可以通过的正负判断：1）0，有两个交点； 2）=0，只有一个交点； 3）0，没有交点。（四）用反比例函数图解不等式 1、比较反比例函数的大小 1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小； 2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。 2、利用函数图像解不等式 模型建立：
4、如图，一次函数y=kx+b的图像与反比函数y=的图像相交于M,N两点。1） 利用图中图像求反比例和一次函数的解析式；2） 根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解；3） 根据图像写出关于x的不等式：kx+b的解集。3、求线段的最值1）给出x与y的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算；2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K值1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x轴、y轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为k、；2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反
5、比例函数上的点计算。考点一： 反比例函数的定义与表达式例1、下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个A1个 B2个 C3个 D4个【解析】A例2、函数是反比例函数，则m的值是（）Am=1 Bm=1 Cm= Dm=1【解析】D考点二： 反比例函数的图像及性质例1、对于反比例函数y=图象对称性的叙述错误的是（）A关于原点对称 B关于直线y=x对称C关于直线y=x对称 D关于x轴对称【解析】D例2、已知一次函数y1=ax+c和反比例函数y2=的图象如图所示，则二次函数y3=ax2+bx+c的大致图象是（） A B C D【解析】B例3、在同一直角坐标系中，
6、一次函数y=axa与反比例函数y=的图象可能是（） A B C D【解析】C考点三： 系数K的几何意义例1、如图，两个反比例函数y1=（其中k10）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EFx轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A1 B2 C21 D2914【解析】B、C反比例函数y2=的图象上，SODB=SOAC=3=， P在反比例函数y1=的图象上， S矩形PDOC=k1=6+=9， 图象C1的函数关系式为y=，E点在图象C1上，SEOF=9=， =3，ACx轴，EFx轴，ACEF，EOFA
7、OC，=，选：A例2、反比例函数y=（a0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MCx轴于点C，交y=的图象于点A；MDy轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：SODB=SOCA； 四边形OAMB的面积不变；当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3【解析】由于A、B在同一反比例函数y=图象上，则ODB与OCA的面积相等，都为2=1，正确；由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；连接OM，点A是MC的中点，则OAM和OAC的面积相等，ODM的面积
8、=OCM的面积=，ODB与OCA的面积相等，OBM与OAM的面积相等，OBD和OBM面积相等，点B一定是MD的中点正确；故选：D例3、如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂足为C若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（） A B C3 D4【解析】解：过点B作BEx轴于点E， D为OB的中点， CD是OBE的中位线，即CD=BE 设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=， ADO的面积为1， ADOC=1，（）x=1，解得k=，故选：B 考点四： 反比例函数与一次函数例1、正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的
9、横坐标为2，当y1y2时，x的取值范围是（）Ax2或x2 Bx2或0x2C2x0或0x2 D2x0或x2【解析】B例2、如图，直线y=x+5与双曲线y=（x0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，BOC的面积是若将直线y=x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y=（x0）的交点有（） A0个 B1个 C2个 D0个，或1个，或2个【解析】令直线y=x+5与y轴的交点为点D，过点B作BEx轴于点E，如图所示令直线y=x+5中y=0，则0=x+5，解得：x=5，即OC=5BOC的面积是，OCBE=5BE=，解得：BE=1结合题意可知点B的纵坐标为1，当y=1时，有1=x+5，解得：x=4，点B
10、的坐标为（4，1），k=41=4，即双曲线解析式为y=将直线y=x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y=x+51=x+4，将y=x+4代入到y=中，得：x+4=，整理得：x24x+4=0，=（4）244=0，平移后的直线与双曲线y=只有一个交点故选B例3、如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sinAOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则AOF的面积等于（）A60B80C30D40【解析】过点A作AMx轴于点M，如图所示设OA=a，在RtOAM中，AMO=90，OA=a，sinAOB=，AM=OAsinAOB=a，OM=a，点A的坐
11、标为（a，a）点A在反比例函数y=的图象上，aa=48，解得：a=10，或a=10（舍去）AM=8，OM=6，OB=OA=10四边形OACB是菱形，点F在边BC上，SAOF=S菱形OBCA=OBAM=40故选D例4、一次函数y=2x+10的图象与反比例函数y=（k0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当A（a，2a+10），B（b，2b+10）时，直线OA与此反比例函数
12、图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D若=，求ABC的面积解：（1）把A（4，2）代入y=，得k=42=8反比例函数的解析式为y= 解方程组，得或 点B的坐标为（1，8）（2）若BAP=90，过点A作AHOE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1， 对于y=2x+10， 当y=0时，2x+10=0，解得x=5 点E（5，0），OE=5 A（4，2），OH=4，AH=2 HE=54=1 AHOE，AHM=AHE=90 又BAP=90 AME+AEM=90，AME+MAH=90 MAH=AEM AHMEHA =，= MH=4，M（0，0） 可设直线AP的解析式为y=mx，则有4m=2，解得m
13、=，直线AP的解析式为y=x，解方程组，得或，点P的坐标为（4，2）若ABP=90，同理可得：点P的坐标为（16，）综上所述：符合条件的点P的坐标为（4，2）、（16，）；（3）过点B作BSy轴于S，过点C作CTy轴于T，连接OB，如图2，则有BSCT，CTDBSD，=A（a，2a+10），B（b，2b+10），C（a，2a10），CT=a，BS=b，=，即b=aA（a，2a+10），B（b，2b+10）都在反比例函数y=的图象上，a（2a+10）=b（2b+10），a（2a+10）=a（2a+10）a0，2a+10=（2a+10），解得：a=3A（3，4），B（2，6），C（3，4）设直线B
14、C的解析式为y=px+q，则有，解得：，直线BC的解析式为y=2x+2当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，SCOB=SODC+SODB=ODCT+ODBS=23+22=5OA=OC，SAOB=SCOB，SABC=2SCOB=10P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、当k0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A B C D【解析】C2、若点A（5，y1），B（3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y3y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3 【解析】D3、已知二次函数
15、y=（xa）2b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）ABCD【解析】B4、如图，在反比例函数y=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动若tanCAB=2，则k的值为（）A2B4C6D8【解析】连接OC，过点A作AEy轴于点E，过点C作CFx轴于点F，如图所示由直线AB与反比例函数y=的对称性可知A、B点关于O点对称，AO=BO又AC=BC，COABAOE+EOC=90，EOC+COF=90，AOE=COF，又AEO=90，CFO=90，AOECOF，tanCAB
16、=2，CF=2AE，OF=2OE又AEOE=|2|=2，CFOF=|k|，k=8点C在第一象限，k=8故选D5、如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作ABx轴，CDx轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当AEC的面积为时，k的值为（）A4 B6 C4 D6 【解析】C6、如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A1k9 B2k34 C1k16 D4k16【解析】C7、如图，反比例函数y=
17、的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ的大小，并说明理由【解析】（1）k=4，SPAB=15提示：过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y=，得k=4解方程组，得到点A
18、的坐标为（4，1），则点A与点B关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP，SPAB=2SAOP设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（4，1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，SAOP=SAOC+SPOC=OCAR+OCPS=34+31=，SPAB=2SAOP=15（2）过点P作PHx轴于H，如图2B（4，1），反比例函数解析式为y=，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y=x+1，联立，解得直线PB的方程为y=x+1，M（m4，0），N（m+4，0），H（m
19、，0），MH=m（m4）=4，NH=m+4m=4，MH=NH，PH垂直平分MN，PM=PN，PMN是等腰三角形；（3）PAQ=PBQ理由如下：过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，直线AQ的解析式为y=x+1当y=0时，x+1=0，解得：x=c4，D（c4，0）同理可得E（c+4，0），DT=c（c4）=4，ET=c+4c=4，DT=ET，QT垂直平分DE，QD=QE，QDE=QEDMDA=QDE，MDA=QEDPM=PN，PMN=PNMPAQ=PMNMDA，PBQ=NBE=PNMQED，PAQ=
20、PBQ 课后反击1、如图，在直角坐标系中，直线y1=2x2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x0）交于点C，过点C作CDx轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：SADB=SADC； 当0x3时，y1y2； 如图，当x=3时，EF=； 当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【解析】C2、如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接BO若SOBC=1，tanBOC=，则k2的值是（）A3 B1 C2 D3【解析】D3、如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴
21、的平行线，交直线y=x+6于A、B两点，若反比例函数y=（x0）的图象与ABC有公共点，则k的取值范围是（）A2k9B2k8C2k5D5k8【解析】A4、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC若四边形ODBE的面积为6，则k= 解：连接OB，如图所示：四边形OABC是矩形，OAD=OCE=DBE=90，OAB的面积=OBC的面积，D、E在反比例函数y=（x0）的图象上，OAD的面积=OCE的面积，OBD的面积=OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，BE=2EC，OCE的面积=OBE的面积=，k=3；故答案为：35、如
22、图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D（1）求反比例函数的解析式与点D的坐标；直接写出ODE的面积；（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式【解析】（1）连接OB，则O、E、B三点共线B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，E的坐标是（3，2），k=32=6，则函数的解析式是y=当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；SOBC=BCOC=64=12，SOCD=OCCD=41.5=3，SBDE=（61.5）2=4.5，则SO
23、DE=SOBCSOCDSBDE=12334.5=4.5；（2）作E关于OA轴的对称点E，则E的坐标是（3，2）连接ED，与x轴交点是P，此时PO+PE最小设y=mx+n，把E和D的坐标代入得：，解得：，则直线PE的解析式是y=4x+10直击中考1、【2009深圳】如图，反比例函数y=的图象与直线y=x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为（ ）A8 B6 C4 D2【解析】A2、【2016深圳】如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将ABCO绕点A逆时针旋转得到ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴
24、上，若点D在反比例函数y=（x0）的图象上，则k的值为 【解析】过点D作DMx轴于点M，由题意可得：BAO=OAF，AO=AF，ABOC，则BAO=AOF=AFO=OAF，故AOF=60=DOM，OD=ADOA=ABOA=62=4，MO=2，MD=2，D（2，2），k=2（2）=4故答案为：43、【2015深圳】如图，已知点A在反比例函数y=（x0）上，作RtABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E若BCE的面积为8，则k= 【解析】BCE的面积为8，BCOE=16，点D为斜边AC的中点，BD=DC，DBC=DCB=EBO，又EOB=ABC，EOBABC，ABOB=BCOEk=A
25、BBO=BCOE=16故答案为：164、【2014深圳】）如图，双曲线y=经过RtBOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，SBOD=21，求k= 【解析】过A作AEx轴于点ESOAE=SOCD，S四边形AECB=SBOD=21，AEBC，OAEOBC，=（）2=，SOAE=4，则k=8故答案是：8S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 反比例函数的定义与表达式2、 反比例函数的图像与性质3、 系数K的几何意义4、 反比例函数与一次函数5、 反比例函数的综合应用名师点拨 掌握好反比例函数的定义与图像性质是解决本节问题的前提；另外系数K的几何意义、反比例函数与一次函数结合是考试重点，务必多加练习总结规律。 学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是18
