1、第四章 平面向量与复数第 1 课时 平面向量的概念与线性运算一、 填空题1. 下列命题中正确的是_(填序号) 单位向量的模都相等； 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； 若 a， b 满足 |a| |b|且 a 与 b 同向，则 a b； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 对任意非零向量 a， b，必有 |a b|a| |b|.答案：解析：单位向量的模均为 1，故正确；共线包括同向和反向，故不正确；向量不能比较大小，故不正确；根据向量的表示，知正确；由向量加法的三角形法则知正确2. 若菱形 ABCD 的边长为 2，则| |_AB CB CD 答案：2解析：| | | |2
2、.AB CB CD AB BC CD AD 3. 已知 2 e1k e2， e1 3e2， 2 e1 e2.若 A，B，D 三点共线，则AB CB CD k_.答案：8解析：若 A，B，D 三点共线，则 ，设 .因为 e1 4e2，所AB BD AB BD BD CD CB 以 2e1k e2( e1 4e2) e14 e2，所以 2，k4，所以 k8.4. 在四边形 ABCD 中，ABCD，AB3DC，设 a， b，E 为 BC 的中点，则AB AD _(用 a， b 表示)AE 答案： a b23 12解析： ， BC BA AD DC 23AB AD AE AB BE AB 12BC A
3、B 12(AD 23AB ) 23AB a b.12AD 23 125. 如图，在正六边形 ABCDEF 中， _BA CD EF 答案： CF 解析：由题图知 .BA CD EF BA AF CB CB BF CF 6. (2017泰州模拟)设 D 为ABC 所在平面内一点， ，若AD 13AB 43AC (R)，则 _BC DC 答案：3解析：由 ，可得 3 4 ，即 4 4 ，则AD 13AB 43AC AD AB AC AD AC AD AB 4 ，即 4 ，可得 3 ，故 3 ，则 3.CD BD BD DC BD DC DC BC DC 7. 若两个非零向量 a， b 满足 |a
4、b| |a b| 2|a|，则向量 a b 与 a b 的夹角为_答案：23解析：由 |a b| |a b|可知 ab .设 b， a，作矩形 ABCD，可知 a b，AB AD AC a b.设 AC 与 BD 的交点为 O，结合题意可知 OAODAD， AOD ， DOCBD 3.又向量 a b 与 a b 的夹角为 与 的夹角，故所求夹角为 .23 AC BD 238. 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，且 ，则实数 _CD 13CA CB 答案：23解析：如图，过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F，则 .CD CE CF 因为
5、 ，所以 ， .由ADEABC，得 ，CD 13CA CB CE 13CA CF CB DEBC AEAC 23所以 ，故 .ED CF 23CB 239. 在ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 a， b，则 _(用 a， b 表示)AC BD AF 答案： a b23 13解析：如图， DEFBEA， DFBADEBE13，过点 F 作 FGBD 交 AC于点 G， FGDO23，CGCO23， b. a， GF 13 AG AO OG 23AC 23 a b.AF AG GF 23 1310. 向量 e1， e2不共
6、线， 3( e1 e2)， e2 e1， 2 e1 e2，给出下列结论：AB CB CD A，B，C 共线； A，B，D 共线； B，C，D 共线； A，C，D 共线其中所有正确的结论是_(填序号)答案：解析：由 4 e1 2e22 ， e1 e2不共线，得 与 不共线，A，C，D 共AC AB CB CD AB CB 线，且 B 不在此直线上11. 已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： OP ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的_(选填“外OA (AB |AB |AC |AC |)心” “内心” “重心”或“垂心”)答案：内心解析：作BAC 的
7、平分线 AD. ， OP OA (AB |AB |AC |AC |) (0，)， ，AP (AB |AB |AC |AC |)AD |AD | AP |AD | AD . P 的轨迹一定通过ABC 的内心AP AD 二、 解答题12. 如图，已知点 G 是ABC 的重心，过点 G 作直线 MN 与边 AB，AC 分别交于 M，N 两点，且 x ， y ，求 xy 的最小值AM AB AN AC 解：由点 G 是ABC 的重心，知 0，得 ( )( )0，GA GB GC AG AB AG AC AG 则 ( )又 M，N，G 三点共线(A 不在直线 MN 上)，于是存在 ，R，使得AG 13A
8、B AC (且 1)，则 x y ( )，AG AM AN AG AB AC 13AB AC 所以 于是得 3. 1， x y 13， ) 1x 1y又由题意 x0，y0，所以 xy (xy) (当且仅当 ，即13 (1x 1y) 13(2 yx xy) 43 yx xyxy 时，等号成立)，即 xy 的最小值为 .4313. 如图，已知OCB 中，点 C 是点 B 关于点 A 的对称点，D 是将 分为 21 的一个OB 内分点，DC 和 OA 交于点 E.设 a， b.OA OB (1) 用 a 和 b 表示向量 ， ；OC DC (2) 若 ，求实数 的值OE OA 解：(1) 由题意知，
9、A 是 BC 的中点，且 .OD 23OB 由平行四边形法则，得 2 .OB OC OA 2 2 a b，OC OA OB (2 a b) b 2a b.DC OC OD 23 53(2) 如题图， . (2 a b) a(2) a b， 2 a b，EC DC EC OC OE DC 53 ， .第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示2 2 1 53 45一、 填空题1. 已知在ABCD 中， (2，8)， (3，4)，则 _.AD AB AC 答案：(1，12)解析：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 (1，12)AC AB AD 2. 若 e1， e2是表示平面内所有向量的一组
10、基底，则下面的四组向量中不能看作基底的是_(填序号) e1 e2和 e1 e2； 3e1 2e2和 4e2 6e1； e1 3e2和 e2 3e1； e2和 e1 e2.答案：解析： 3 e12 e2 (4e2 6e1)，12 3e1 2e2与 4e2 6e1共线3. (2017苏北四市联考)已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与 同方向的单位向量是AB _答案： (35， 45)解析： (4，1)(1，3)(3，4)， 与 同方向的单位向量为AB OB OA AB .AB |AB | (35， 45)4. 已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的
11、坐标为_答案：(3，3)解析：(解法 1)由 O，P，B 三点共线，可设 (4，4)，则OP OB (44，4)又 (2，6)，由 与 共线，得(44)AP OP OA AC OC OA AP AC 64(2)0，解得 ，所以 (3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3)34 OP 34OB (解法 2)设点 P(x，y)，则 (x，y)，OP 因为 (4，4)，且 与 共线，所以 ，即 xy.又 (x4，y)，OB OP OB x4 y4 AP (2，6)，且 与 共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 PAC AP AC 的坐标为(3，3)5. 若三点 A(1，5)，B(a，2
12、)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_答案：54解析： (a1，3)， (3，4)，根据题意 ， 4(a1)3(3)AB AC AB AC 0，即 4a5， a .546. (2017衡水中学月考)在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 2 ， r s ，CD DB CD AB AC 则 rs_答案：0解析：因为 2 ，所以 ( ) ，则 rs 0.CD DB CD 23CB 23AB AC 23AB 23AC 23 ( 23)7. 设向量 a(1，3)， b(2，4)， c(1，2)若表示向量4a， 4b 2c， 2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d_答案：(
13、2，6)解析：设 d(x，y)，由题意知 4a(4，12)，4 b 2c(6，20)，2( a c)(4，2)，又 4a 4b 2c 2(a c) d0，解得 x2，y6，所以d(2，6)8. 如图，在ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H.记 ， 分别为AB BC a， b，则 _(用 a， b 表示)AH 答案： a b25 45解析：设 ， .而AH AF DH DE DH b b . .DA AH AF (b 12a)DH DE (a 12b)因此 b .(a12b) (b 12a)由于 a， b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得 解得 12 ，
14、12 1， ) 45， 25.)故 a b.AH AF (b 12a) 25 459. 若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则 的值为_1a 1b答案：12解析： (a2，2)， (2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即AB AC ab2a2b0，所以 .1a 1b 1210. 如图，| | |1， 与 的夹角为 120， 与 的夹角为 30.若 OA OB OA OB OC OA OC (，R)，则 _.OA OB 答案：2解析：过 C 作 OB 的平行线交 OA 的延长线于点 D.由题意可知，COD30，OCD90， OD2CD. ， ， | |2| |
15、，即 2，故 2.OD OA DC OB OA OB 11. 在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A，B，C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 ，使得 (1) 成立，此时称实数 为“向量 关于OC OA OB OC 和 的终点共线分解系数” 若已知 P1(3，1)，P 2(1，3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OA OB 与向量 a(1，1)共线，则“向量 关于 和 的终点共线分解系数”为OP3 OP3 OP1 OP2 _答案：1解析：设 P3(x，y)，由条件易得 (4，2)， (x1，y3)；由P1P2 P2P3 P1，P 2，P 3三点共线，得 124y2x2；
16、由 与向量 a(1，1)共线，得 xy0.OP3 联立方程组解得 x5，y5.由 (1) ，解得 1.OP3 OP1 OP2 12. (2017苏北四市期末)已知向量 a(1，2)， b(3，m)，mR，则“m6”是“ a (a b)”的_条件(选填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：由题意得 a b(2，2m)，由 a (a b)，得1(2m)22，所以m6，则“m6”是“ a (a b)”的充要条件二、 解答题13. 如图，已知ABC 的面积为 14，D，E 分别为边 AB，BC 上的点，且ADDBBEEC21，AE 与 CD 交于点 P.设存在
17、 和 使 ， ， a， b.AP AE PD CD AB BC (1) 求 及 ；(2) 用 a， b 表示 ；BP (3) 求PAC 的面积解：(1) 由于 a， b，则 a b， a b.AB BC AE 23 DC 13 ， ，AP AE (a 23b) DP DC (13a b) ，AP AD DP 23AB DP 即 a .23 (13a b) (a 23b)解得 23 13 ， 23 ， ) 67， 47.)(2) a a b.BP BA AP 67(a 23b) 17 47(3) S PAB ：S CAB | | | ， S PAB SABC 8.PD CD 47 47 S PB
18、C ：S ABC | | |1 ，S PBC SABC 2，PE AE 17 17 S PAC 4.第 3 课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例一、 填空题1. 已知向量 a( ，1)， b(0，1)， c(k， )若 a 2b 与 c 垂直，则3 3k_答案：3解析：由已知得 a 2b( ， 3)，故( a 2b)c( ，3)(k， )3 3 3 k 3 0 ，解得 k3.3 32. (2017南京、盐城模拟)已知向量 a， b，其中| a| ，| b|2，且( a b)a ，3则向量 a 和 b 的夹角是_答案： 6解析：因为( a b)a ，所以( a b)a |a|2 |a|b|
19、cos a， b32 cos 3 a， b0，解得 cos a， b .由 a， b0，则向量 a， b 的夹角为 .32 63. (2017南京模拟)设向量| a b| ， ab4，则| a b|_.20答案：2解析： |a b| 2.|a b|2 4ab 20 444. 在四边形 ABCD 中， (1，2)， (4，2)，则该四边形的面积为AC BD _答案：55. 在 RtABC 中，C ，AC3，取点 D 使 2 ，那么 _ 2 BD DA CD CA 答案：6解析：如图， . 2 ，CD CB BD BD DA ( )，CD CB 23BA CB 23CA CB 即 .CD 23CA
20、 13CB C ， 0， 2 CA CB 2 6.CD CA (23CA 13CB ) CA 23CA 13CB CA (本题还可建立平面直角坐标系利用向量的坐标求解)6. (2017扬州中学质检)设 O 是ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)若 AO 13AB 13，则BAC_AC 答案：60解析：取 BC 的中点 D，连结 AD，则 2 .由题意得 3 2 ， AD 为 BC 的AB AC AD AO AD 中线，且 O 为重心又 O 为外心， ABC 为正三角形， BAC60.7. (2017苏北四市模拟 )已知向量 a(cos ，sin )，向量 b( ，1)，则3|2a b|的最大值
21、与最小值的和为_答案：4解析：由题意可得 ab cos sin 2cos ，则|2 a b|3 ( 6) 0，4，所以|2 a b|的最大值（ 2a b） 2 4|a|2 |b|2 4ab8 8cos( 6)与最小值的和为 4.8. 如图，平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1，A60，点 M 在 AB 边上，且 AMAB，则 _13 DM DB 答案：1解析：因为 ， ，DM DA AM DA 13AB DB DA AB 所以 ( )DM DB (DA 13AB ) DA AB | |2 | |2 1 | | |cos 60 12DA 13AB 43DA AB 43 43AD AB 73
22、43AD AB 73 431.129. (2017第二次全国大联考江苏卷)A，B，C 为单位圆上三个不同的点，若ABC， m n (m，nR)，则 mn 的最小值为_ 4 OB OA OC 答案： 2解析：因为ABC ，所以AOC .不妨设 A(1，0)，C(0，1)，B(cos ，sin 4 2)， ，则 cos m，sin nmncos sin ( 2， 2 ) sin ，当且仅当 时取等号2 ( 4) 2 5410. (2017苏州调研)在梯形 ABCD 中， 2 ，| |6，P 为梯形 ABCD 所在平面AB DC BC 上一点，且满足 4 0， | | |，Q 为边 AD 上的一个动
23、点，则| |的AP BP DP DA CB DA DP PQ 最小值为_答案：423解析：设 AB 中点为 E，则四边形 BCDE 为平行四边形，且 2 ，所以AP BP EP 2 ，D，E，P 三点共线，| |6，| |2.PE DP DE DP 又 3 3| | |cosADE| | |，所以 cosADE ，sin DA CB DA DE DA DP DA DP DA DP 13ADE .23 2要使| |最小，即 PQAD.PQ 此时| | |sin ADE .PQ DP 423二、 解答题11. 已知 |a| 4， |b| 3，( 2a 3b)(2a b)61.(1) 求 a 与 b
24、 的夹角 ；(2) 求 |a b|；(3) 若 a， b，求ABC 的面积AB BC 解：(1) (2 a 3b)(2a b) 61， 4|a|2 4ab 3|b|261.又| a| 4， |b| 3， 64 4ab2761， ab6. cos .ab|a|b| 643 12又 0， .23(2) |a b|2( a b)2 |a|2 2ab |b|24 22( 6)3 213， |a b|.13(3) 与 的夹角 ， ABC .AB BC 23 23 3又| | a|4，| | b|3，AB BC S ABC | | |sin ABC 43 3 .12AB BC 12 32 312. 如图，
25、在平面直角坐标系 xOy 上，点 A(1，0)，点 B 在单位圆上，AOB(0)(1) 若点 B ，求 tan 的值；(35， 45) ( 4)(2) 若 ， ，求 cos .OA OB OC OB OC 1813 ( 3 )解：(1) 由于 B ，AOB，(35， 45)所以 cos ，sin ，35 45所以 tan ，43所以 tan .( 4) 1 tan 1 tan 17(2) 由于 (1，0)， (cos ，sin )，OA OB 所以 (1cos ，sin )，OC OA OB cos (1cos )sin 2 cos cos 2sin 2 .OC OB 1813所以 cos ，
26、所以 sin ，513 1213所以 cos cos cos sin sin .( 3 ) 3 3 5 1232613. (2017如皋中学调研)如图所示，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴正半轴(含坐标原点)上滑动，其中 AD4，AB2.(1) 若DAO ，求| |； 4 OC OD (2) 求 的最大值OB OC 解：(1) 由题意可知，点 A(2 ，0)，D(0，2 )，B(3 ， )，C( ，3 )，2 2 2 2 2 2所以| |( ，5 )|2 .OC OD 2 2 13(2) 过点 B 作 BMAO，垂足为 M，过点 C 作 CNOD，垂足为 N，设DAO，则
27、CDN，ABM，所以点 A(4cos ，0)，D(0，4sin )，B(4cos 2sin ，2cos )，C(2sin ，4sin 2cos )，则 (4cos 2sin ，2cos )(2sin ，4sin 2cos )16sin OB OC cos 4sin 24cos 248sin 2. ，( )max12.(0， 2) OB OC 第 4 课时 复 数一、 填空题1. (2017第二次全国大联考江苏卷)已知复数 z(12i)(2i)，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面上对应的点位于第_象限答案：四解析：因为 z(12i)(2i)43i，对应点为(4，3)，位于第四象限2. 已
28、知 abi(a，bR，i 为虚数单位)，则 ab_2 3ii答案：1解析：23iaib，则 a3，b2，ab1.3. (2016苏北三市二模)已知复数 z 满足(3i)z10i(其中 i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是_答案：13i解析：z 13i，z 的共轭复数是 13i.10i3 i4. 记复数 zabi(i 为虚数单位)的共轭复数为 z abi(a，bR)已知z2i，则 z2_答案：34i解析：z 234i，则 z234i.5. (2017镇江一模)已知复数 z 满足 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则|z|_答案：5 2解析：z(12i)(3i)|z| 5 .5 10
29、 26. 设复数 z1i(i 为虚数单位)，则 z 2_2z答案：1i解析： z1i， z 2 (1i) 21i2i1i.2z 21 i7. (2017第三次全国大联考江苏卷)已知复数 z12ai(a0)，z 23i，其中 i 为虚数单位若|z 1|z 2|，则 z1_答案：2 i6解析： ， a 26. a0， a ，z 12 i.4 a2 9 1 6 68. 已知复数 z (a0)，其中 i 为虚数单位，|z| ，则 a 的值为_ai1 2i 5答案：5解析：z i，|z| ，则 a5.2a5 a5 (2a5)2 (a5)2 59. (2017南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知复数 z
30、，其中 i 为虚数单位，3 i1 i则复数 z 的模是_答案： 5解析：因为 z 12i，所以|z| .（ 3 i） （ 1 i）（ 1 i） （ 1 i） 2 4i2 12 （ 2） 2 510. 若复数 z 满足 z1cos isin ，则|z|的最大值为_答案：2解析： z1cos isin ， z(1cos )isin ， |z| 2.（ 1 cos ） 2 sin2 2（ 1 cos ） 2211. 复数 z1，z 2满足 z1m(4m 2)i，z 22cos (3sin )i(m，R)，并且 z1z 2，则 的取值范围是_答案： 916， 7解析：由复数相等的充要条件可得 m 2c
31、os ，4 m2 3sin ， )化简得 44cos 23sin ，由此可得 4cos 23sin 44(1sin 2)3sin 44sin 23sin 4 2 .(sin 38) 916因为 sin 1，1，所以 4sin23sin .916， 7二、 解答题12. 设复数 z3cos 2isin .(1) 当 时，求|z|的值；43(2) 若复数 z 所对应的点在直线 x3y0 上，求 的值2cos2 2 12sin( 4)解：(1) ，43 z3cos 2isin i，43 43 32 3 |z| .(32)2 （ 3） 2 212(2) 由条件得3cos 32sin 0， tan .1
32、2原式 .cos sin cos 1tan 1 2313. 若 1 i 是关于 x 的实系数方程 x2bxc0 的一个复数根2(1) 试求 b，c 的值；(2) 1 i 是否是所给方程的根，试给出判断2解：(1) 由于 1 i 是关于 x 的实系数方程 x2bxc0 的一个根，则(1 i)2 22b(1 i)c0，整理得 (bc1)(2 b)i 0，则 解得2 2 2 22 2b 0，b c 1 0， )b 2，c 3， )即 b2，c3.(2) 由(1)得方程为 x22x30，把 1 i 代入方程左边得(1 i)22(1 i)2 2 2312 i2i 222 i312230，即 1 i 满足方程 x22x30，所2 2 2以 1 i 是所给方程的根2
