1、4.3 角4.3.3 余角和补角来源:学科网情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣图 4358情景导入 举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇，是一座由白色云石建成的古塔该塔发生倾斜但斜而不倒，比萨因此远近闻名比萨斜塔始建于 1173 年，从地面到塔顶高 55 米，自建成以后曾发生多次倾斜，常人只凭眼睛也能察觉意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，开创了实验物理的新时代，斜塔也因而更加闻名遐迩意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜，但到目前为止未能成功你知道斜塔的倾角是多少度吗？你能用什么方法测量呢？某位游客设计的测量斜塔倾角的方案是：将斜塔看成一条线段
2、OA 在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子 B，画出直线 OB，想办法测出了AOB 85 度，然后让学生思考：(1)斜塔 OA 倾斜了多少度？(2)斜塔 OA 与 OC 所成的角是多少度？(3)斜塔 OA 与 OB所成的另外一个角即AOD 是多少度？说明与建议 说明：从学生的兴趣着手，激发学生的探究欲望，给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，让学生注重观察生活，知道数学来源于生活，并服务于生活建议：让学生自由组合，相互讨论，活跃课堂气氛，从他们的兴趣入手，让学生无形中参与到课堂的活动中，在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质复习导入 (课件演示)计算：(1)4446_90_；(2)
3、302034593926_90_；(3)102555_90_；(4)9684_180_；(5)584512115_180_学生计算并回答，总结它们的特点说明与建议 说明：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫建议：教师应关注：计算的准确性，学生是否认真观察并思考命题角度 1 直接运余角与补角的概念求角的度数在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算注意互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一个是锐角，另一个是钝角；也可能两个角都是直角例 求 3542角的余角和补角的度数解：余角的度数为 9035425418；其补角的
4、度数为 180354214418.命题角度 2 根据余角、补角的性质说理的问题余角、补角的性质是：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等这个性质也为说明两个角相等提供了思路认真观察分析图形，挖掘出图形中隐含的数量关系是关键例 1 已知1 与2 互补，3 与4 互补，如果13，那么2 与4 有什么关系？说说理由解：由1 与2 互补，3 和4 互补，得12180，34180，又13，根据等角的补角相等，可知24.图 4359例 2 如图 4359，点 E，O，A 在同一直线上，AOBCOD90，那么图中与AOD 互补的角为_DOE ，BOC _解析 因为DOEAOD180，所以DOE 与AOD
5、 互为补角根据AOB COD90，可得出DOE BOC，所以 BOCAOD 180，所以BOC 与AOD 互为补角这样，AOD 的补角有两个分别是：DOE，BOC.命题角度 3 用角度表示方向方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的特殊的方位角如下：例 如图 4360，OA 表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的 射线(1)北偏西 60；(2) 南偏东 30；(3) 西南方向图 4360图 4361答案：OA 表示北偏东 30的射线 (1) 射线 OB (2)射线 OC (3) 射线 OD(如图4361 所示)P138 练习1图中给出的各角中，哪些互为余角？
6、哪些互为补角？答案 10与 80互为余角；30与 60互为余角；10与 170互为补角；30与150互为补角；60与 120互为补角；80与 100互为补角2一个角是 7039，求它的余角和补角答案 余角：9070391921，补角：180 703910921.3 的补角是它的 3 倍， 是多少度？答案 设这个角为 x，则它的补角为 180x .根据题意，得 3x180x，解这个方程，得 x45. 所以 45 .4一个角是钝角，它的一半是什么角？答案 锐角P139 习题 4.3复习巩固1如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？答案
7、 6 小时，12 小时2凭你的感觉画出 30，45，90，120，135的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？答案 略3计算：(1)48396731 ； (2)21175.答案 (1)11610；(2)10625.4如果12，23，则1_3；如果12，2 3，则1_3.答案 5如图，BD 和 CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，且DBCECB 31，求ABC 和ACB 的度数，它们相等吗？答案 ABC2DBC23162，ACB 2ECB23162.所以ABC ACB.6按图填空：(1)AOBBOC_；(2)AOCCOD _；(3)BODCOD_；来源:学科网(4)AOD_AOB.答案
8、(1)AOC；(2) AOD；(3)BOC；(4)BOD.7如图，要测量两堵围墙所形成的AOB 的度数，但人不能进入围墙，如何测量？答案 延长 AO 或 BO，先量出AOB 的补角的度数，再计算出AOB 的度数8按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：(1)北偏西 30；(2)南偏东 60；(3)北偏东 15；(4)西南方向(南偏西 45)答案 (1)如图所示，射线 OA 表示北偏西 30；(2)如图所示，射线 OB 表示南偏东 60；(3)如图所示，射线 OC 表示北偏东 15；(4)如图所示，射线 OD 表示西南方向综合运用9如图，OB 是A
9、OC 的平分线， OD 是COE 的平分线(1)如果AOB40，DOE30，那么BOD 是多少度？(2)如果AOE140，COD30，那么AOB 是多少度？答案 (1)BOD70；(2)AOB 40.10如图，一个齿轮有 15 个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是 22 个齿的齿轮，这个夹角又是多少度(精确到分 )?答案 3601524；360221622.来源:学科网 ZXXK答：齿轮有 15 个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为 24；有 22 个齿时，其夹角约为1622.来源:Z（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）A+B+C=90，则A、B、C 互余;（4）同
10、一个锐角的补角一定比它的余角大90;（5）钝角只有余角、没有补角.其中正确的有（ ）A一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个2. 小明站在小颖的北偏东，则小颖在小明的（ ）.东偏北 .东偏北.南偏西 .南偏西3. 如果=3931, 的余角 =_, 的补角=_.4. 如图所示， ，且AOC=BOD，则AOC 的余角是_.90A5. 一个角的余角比它的补角的 少 40,求这个角的 度数.21参考答案：1. 2. 3. 5029 129314. BOC 或AOD5. 40能力培优专题一 角的个数与表示1. 下列说法中正确的个数是（ ）由两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关，只与两条边张
11、开的角度有关，角的两边是两条射线，把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角度数也扩大 10 倍A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2.下图，在已知角内画射线，画 1 条射线，图中共有 个角；画 2 条射线，图中共有 个角；画 3 条射线，图中共有 个角，求画 n 条射线所得的角的个数专题二 钟面上的角度问题3. 4 点 10 分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）A55 B65 C70 D以上结论都不对4.如图，在地面上有一个钟，钟面的 12 个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分 5.周末莉莉跟妈妈去乡下的外
12、婆家，8 点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重合的，下午 2 点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？专题三 角的折叠与拼接6. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（ ）A75 B105 C120 D1257一副三角板按如图所示方式重叠，若图中DCE=35 025则ACB=_.8.如图，先找到长方形纸的宽 DC 的中点 E，将C 过 E 点折起任意一个角，折痕是 EF，再将D 过 E 点折起，使 DE 和 CE 重合，折痕是 GE，你得到的GEF 是直角吗？为什么？专题四
13、 角的和、差、倍、分9.已知 、 是两个钝角,计算 的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不16同的答案分别为 24、48、76、86,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（ ）A86 B76 C48 D2410.计算：11.已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和 OC，使AOB=6 0，BOC=20，求AOC 的度数.12. 已知AOB= BOC，COD=AOD=3AOB，求AOB 和COD 的度数.2113. 已知，O 是直线 AB 上的一点，COD 是直角，OE 平分BOC.（1）如图，若AOC=30，求DOE 的度数;（2）在如图中，若AOC= ，直接写出DOE 的
14、度数（用含 的代数式表示）;aa（3）将图中的DOC 绕顶点 O 顺时针旋转至图的位置.探究AO C 和DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在AOC 的内部有一条射线 OF,满足：AOC4AOF=2BOE+AOF,试确定AOF 与DOE 的度数之间的关系，说明理由.专题五 余角、补角、方位角14（2012孝感）已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则-的值等于（ ）A45 B60 C90 D18015. 如图，OA 的方向是北偏东 15，OB 的方向是西偏北 50 度（1）若AOC=AOB，则 OC 的方向是 ；（2）OD 是 OB 的反向延长线，OD 的方向是 ；（3）BOD
15、 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至 OD，作BOD 的平分线 OE，OE 的方向是 ；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，COE= 16.已知一个角的补角比这个角的余角的 3 倍大 10，求这个角的度数17.如图所示：点 O 是直线 AB 上的一点，OE 平分 ，OD 平分 。AOCBC求：(1) 的度数；DE（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来.（一定要仔细哦!）知识要点：1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.1 度=60 分，1 分=60 秒.1 周角=2 平角=4 直角=360.3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.4.如果两
16、个角的和等于 90（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于 180（平角），就说这两个角互为补角.5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.温馨提示：1.与角有关的注意事项：（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.（2）角的大小与边的长短粗细无关（3）放大镜不能改变角的度数.（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满 60 进一；（2）度分秒减法：度与度相减
17、，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减， 就向前一位借1，借 1就相当于 60，借 1就相当于 60；（3）度分秒乘法：计算结束后，满 60 进一；60就相当于 1, 60就相当于 1.（4）度分秒除法：余 1就相当于 60，余 1就相当于 603.余角与补角中的注意事项：（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角.（4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）”方法技巧：1.在已知角内画 n 条射线所得的角的个数为：1+2+3+（n+
18、1）= .(1)2n2.时钟上每格 30，时针速度 0.5 度/ 分钟，分针速度 6 度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具3.用一副三角板可以画 0180中 15的倍数的角，即 15、30、45、60、75、90 、105、120、135、150、165、180共 12 个角.4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.答案：1. B 解析:角是有公共端点的两条射线所构成的图形,故错误；角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故正确；角的两边是两条射线，故正确；把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角度数不变，
19、故错误2. 解：因为在已知角内画 1 条射线，图中共有 3 个角，即 1+2=3 个角；在已知角内画 2 条射线，图中共有 6 个角，即 1+2+3=6 个角；在已知角内画 3 条射线，图中共有 10 个角，即1+2+3+4=10 个角所以在已知角内画 n 条射线所得的角的个数为：1+2+3+（n+1）=.(1)2n3. B 解析：因为 4 点 10 分时，分针从 12 到 2 转动两个格转动角度为：302=60，时针转动 4 30=125，所以 4 点 10 分时，分针与时针的夹角是 12560=65.064. 9 时 12 分 解析：由图可知，时针过 1 个大格线，走过 60=12 分钟，
20、所以，分针15逆时针数 12 小格即为 12 点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是 9 时 12 分5. 解：设 8 点 x 分时针与分针重合，则：6x0.5x=180+60，解得：x= 7431所以约 8 点 43 分时莉莉出门去姥姥家设 2 点 y 分时，时针与分针方向相反则：6x0.5x=180+60 ，解得：y= 所以约 2 点 43 分时莉莉回家.所以共用了 6 个小时6. D 解：一副三角板的度数分别为：30 、60、45、45、90，因此可以拼出 75、105和 120，不能拼出 125的角7. 14435解析：因为ACD=BCE=90 ,故ACE=ACDDCE=90 35025
21、=54 035.所以ACB=ACE+BCE=90+54 035=14435.8. 解析：GEF 是直角.理由如下：由折纸实验，知3=1，4=2，而1+2+3+4=180 0，所以1+2=90 0，所以GEF 是直角9. C 解析: 因为 、 是两个钝角，所以 90180, 90180所以 180360，所以 30 60所以 C 选项符合要求1610.（4）176523=58+1723=58+57+603=585720.11. 解析 ：若 OC 在AOB 的内部，如图 1，则AOC=AOBBOC=6020=40;若OC 在AOB 的外部，如图 2，则AOC=AOB+BOC=60+20=80.所以
22、AOC 的度数为40或 80.图 1 图 212. 解析：设AOB=x，所以COD=AOD=3AOB=3x.因为AOB= BOC，所以BOC=2x.因为BOC+COD+AOD+ AOB=360，2所以 3x+3x+2x+x=360. 解得 x=40.所以AOB=40，COD=120 .13. 解析：（1）因为AOC=30，所以BOC=18030=150.因为 OE 平分BOC，所以EOC=EOB=1502=75.因为COD 是直角，所以DOE=CODEOC=9075=15.（2） .1（3）DOE = AOC .2设DOE=x,则COE=90x，AOC=1802COE=1802( 90x)=2
23、x.所以DOE = AOC.14DOE 5AOF=180，设DOE=x,AOF=y.则AOC=2x，BOE=90-x.因为AOC4AOF=2BOE+AOF,所以 2x4y=2(90x)+y，所以 4x5y=180.所以 4DOE 5AOF=180. 14. C 解析：由题意得，+=180，+=90，两式相减可得：-=90故选 C15. 解：（1）AOC=AOB=90-50+15=55，OC 的方向是北偏东 15+55=70；（2）OD 是 OB 的反向延长线，OD 的方向是南偏东 40；（3）OE 是BOD 的平分线，BOE=90；OE 的方向是南偏西 50；（4）COE=90+50+20=1
24、6016. 解：设这个角的度数是 x，则（180-x）-3（90-x）=10，解得 x=50答：这个角的度数为 50.17解析:（1） =90.DOE因为 O 是直线 AB 上的一点，所以 , AOC+B=180因为 OE 平分 ,所以AC因为 OD 平分 ，所以 ,BD2所以 ，即 .11E+D=+=902EOD=90（2）图中互余的角有 4 对. 例谈角在生活中的应用学过有关角的基本知识后,能用来解决许多现实生活中所遇到的问题.下面举例谈谈角在生活中的应用.EOC,AOE,C,A与 与 与 与一、钟表问题.例 1 如图,是一块手表,下午 2 点针的时针、分针位置如图所示,试求分针 OA 与
25、时针 OB 所成的角的度数.析解 若把钟表看成一个周角,其中共有 12 个大格,所以每大格度数为 ,又由图可知 包含了其中的 230126AOB份,所以 .AOB二、台球问题例 2 如图,1=2,若3= ,为了使白球反弹后能将黑球直03接撞入袋中,那么击打白球时必须保证1 为( )A B C D 0304506075析解:3= ,2= ,1=2,1= .故选 C06三、折纸问题例 3 如图，先找到长方形纸的宽 DC 的中点 E，将 C 过 E 点折起任意一个角，折痕是EF，再将D 过 E 点折起，使 DE 和 C E 重合，折痕是 GE，请探索下列问题：（1）FEC 和GEC 互为余角吗？为什
26、么？ （2）GEF 是直角吗？为什么？（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？解析：（1）由折纸实验，知3=1，4=2，而1+2+3+4=180 0所以1+2=90 0，即FEC +GEC =900，故FEC 和 GEC 互为余角（2）因为GEF=1+2=90 0，所以GEF 是直角（3）3 和4，1 和EFG 互为余角，AGF 和DGF、CEC 和DEC 互为补角等 四、方位角问题例 3 如图,在一张某地区的地图上,原标有学校、邮局、电影院三地,由于污损, 电影院的具体位置已看不清,根据记忆,电影院位置在学校的北偏东 的方向,在邮局的西北方30向.根据上述信息,你能在图上确定电影院的位置吗?如能,请画图说明.解析 根据题意,电影院位置在学校的北偏东 的方向30上,作图时,应以学校所在地为测点,往往在此处画上“十字型 ”,以正北方向的射线为始边,顺时针旋转 ,电影院就在所得的射线上;同理,在邮局的西北方向可作出另一条射线 ,这两30条射线的交点,即为电影院所在的位置.如图,分别从学校画北偏东 的射线和从邮局画西30北方向的射线,两射线的交点就是电影院的位置.OA B图1 23学校邮局电影院 3045学校 邮局
