1、湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一下期末联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）A.1B.2C.iD.2.某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有24个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查，若采用分层抽样的方式进行抽样，则下列说法：甲乙两人可能同时被抽取；高一、高二年级分别抽取100人和108人；乙被抽到的可能性比甲的大.其中正确的有（ ）A.B.C.D.3.已知，是两个不同的平面，为平面内的一条直线，下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则
2、D.若，则4.已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）A.2B.C.D.5.已知，是三个平面，则下列结论正确的是（ ）A.直线与直线可能是异面直线B.若，则直线与直线可能平行C.若，则直线与直线不可能相交于点D.若，则6.已知平面向量，满足，且对，有恒成立，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.7.在边长为2的正方形中，是的中点，点是的中点，将，分别沿，折起，使，三点重合于点，则到平面的距离为（ ）A.1B.C.D.28.已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）A
3、.10B.10.6C.12.6D.13.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（ ）A.平均来说乙班比甲班防守技术好B.乙班比甲班防守技术更稳定C.乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D.甲班很少不失球10.已知（全体复数集），关于的方程的两根分别为，若，则的可能取值为（ ）A.B.C.0D.411.已知函数的部分图
4、象如图所示，加入以下哪个选项作为已知条件，可以唯一确定的值（ ）A.，B.，C.D.12.已知棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，则下列说法正确的是（ ）A.当时，对任意，平面恒成立B.当，时，与平面所成的线面角的余弦值为C.当时，恒成立D.当时，的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知i是虚数单位，复数满足，则_.14.如图是水平放置的的直观图，其中，则的周长为_. 15.半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为，则球的半径等于_.16.已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，上，且，则的最小值为_.四、
5、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题10分）已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上.（1）求；（2）设，在复平面上对应的点分别为，求的面积.18.（本小题12分）记的内角，的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，是中线，求的长.19.（本小题12分）如图，在边长为2的正方体中，分别是棱，的中点（1）求证：点在平面内；（2）用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，求的值.20.（本小题12分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平
6、，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成，为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2，求这200人中分数在区间的学生成绩的方差.21
7、.（本小题12分）在三棱柱中，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.22.（本小题12分）记的内角，的对边分别为，且边上的高.（1）若，求；（2）已知中角和是锐角，求的最小值.2022-2023学年度下学期期末考试高一数学答案一.选择题题号123456789101112答案BCDCDABDACDACDABDABC【详解】1.解析：，选B.2.解析：因为总体是由差异明显的两部分组成的，所以应该采取分层随机抽样，故正确；高一共有人，高二共有人，从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查，高一应抽取人，高二应抽取人，故正确；甲被抽到的可能性为，乙被抽到的可能性为，甲和乙被抽
8、到的可能性相等，故不正确；所以正确的说法是：，选C.3.解析：由面面平行判定定理可知A不对；B选项缺少不在平面上；由面面垂直性质定理可知C错；由面面垂直判定定理D正确.4.解析：根据定义可知：在方向上的投影向量为，答案选C。5.解析：D，所以，A错因为，所以，因为，所以，所以直线，必然交于一点（即三线共点），B，C错误，D正确；6.解析：，且对，有恒成立，数形结合可知，所以，则与的夹角余弦值为，答案选A.7.解析：由折叠不变可知，三棱锥中，两两相互垂直，所以，的三边长分别为，所以，等体积法求出到平面的距离为.所以选B.8.解析：设增加的数为，原来的8个数分别为，则，所以，又因为，即，所以方差的
9、最小值为13.6（当时取到最小值）故选：D.9.解析：ACDA从平均数角度考虑是对的；B从标准差角度考虑是错的；C从标准差角度考虑是对的；D从平均数和标准差角度考虑是对的.10.解析：因为，当时，；当时，；选ACD11.解析：当，时得，A选项正确；当，时，函数得最小正周期，以及，B正确；由图像可以，又因为，所以C错，D对.答案：ABD12.解析：当时，点在线段上，包含于平面，又因为平面平面所以A对；当，时，是的中点，且，是垂足，所以为所求，所以B正确；当时，点在线段上，面，所以C对；当时，点在线段上，将平面和平面展开成平面图后，线段为所求，的最小值为，答案：ABC二.填空题13. 14.24
10、15.4 16.13.解析：，15.解析：设的中心为，三棱锥外接球的球心为，则当体积最大时，点，在同一直线上，且垂直于底面，如图，因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，所以，故，故三棱锥的高，所以，所以.16.解析：设，则中，由正弦定理得：，在中，同理可得因此可得，因为经检验，则的最小值为.三.解答题17.（1），；5分（2），.在复平面上对应的点分别为，由余弦定理可得，且，.10分18.（1）因为，由正弦定理可知：，又为三角形内角，所以；6分（2）由，得，又，在中由余弦定理得：，所以12分19.（1）连接，在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以、四点共面，即点
11、在平面内；5分（2）再连接，所以平面截正方体的截面是四边形，所以是几何体三棱台的体积，所以，因此：12分20.（1）成绩落在的频率为2分补全的频率分布直方图，如图样本的平均数（分） 4分设80%分位数为，则，解得：（分）；6分（2）由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取30人和20人8分分层抽样的平均值：（分）10分分层抽样的方差：所以这200人中分数在区间所有人的成绩的方差为55.412分21.（1）设的中点为，连接，因为，所以，又因为，且，所以，因为，平面，且，所以平面，因为平面，所以，在中，由余弦定理求得，则，因为，所以，解得，在和中，可知，在中，因此.由（1）知，且，平面，且，所以平面.因此平面平面得证6分（2）由第一问证明易得，且.取的中点，为二面角的平面角，且，所以二面角的平面角的余弦值为.12分22.因为边上的高，所以化简可得：.2分（1）所以或；6分（2）由所以，即且，所以当时，.12分
