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湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一下期末联考数学试卷(含答案)

1、湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一下期末联考数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1.已知i是虚数单位,复数,则的虚部为( )A.1B.2C.iD.2.某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有24个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查,若采用分层抽样的方式进行抽样,则下列说法:甲乙两人可能同时被抽取;高一、高二年级分别抽取100人和108人;乙被抽到的可能性比甲的大.其中正确的有( )A.B.C.D.3.已知,是两个不同的平面,为平面内的一条直线,下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则

2、D.若,则4.已知向量,满足,则在方向上的投影向量为( )A.2B.C.D.5.已知,是三个平面,则下列结论正确的是( )A.直线与直线可能是异面直线B.若,则直线与直线可能平行C.若,则直线与直线不可能相交于点D.若,则6.已知平面向量,满足,且对,有恒成立,则与的夹角为( )A.B.C.D.7.在边长为2的正方形中,是的中点,点是的中点,将,分别沿,折起,使,三点重合于点,则到平面的距离为( )A.1B.C.D.28.已知一组样本数据共有8个数,其平均数为8,方差为12,将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据,已知新的样本数据的平均数为9,则新的样本数据的方差最小值为( )A

3、.10B.10.6C.12.6D.13.6二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.学校“未来杯”足球比赛中,甲班每场比赛平均失球数是1.9,失球个数的标准差为0.3;乙班每场比赛平均失球数是1.3,失球个数的标准差为1.2,你认为下列说法中正确的是( )A.平均来说乙班比甲班防守技术好B.乙班比甲班防守技术更稳定C.乙班在防守中有时表现非常好,有时表现比较差D.甲班很少不失球10.已知(全体复数集),关于的方程的两根分别为,若,则的可能取值为( )A.B.C.0D.411.已知函数的部分图

4、象如图所示,加入以下哪个选项作为已知条件,可以唯一确定的值( )A.,B.,C.D.12.已知棱长为1的正方体中,为正方体内及表面上一点,且,其中,则下列说法正确的是( )A.当时,对任意,平面恒成立B.当,时,与平面所成的线面角的余弦值为C.当时,恒成立D.当时,的最小值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知i是虚数单位,复数满足,则_.14.如图是水平放置的的直观图,其中,则的周长为_. 15.半径为的球的球面上有四点,已知为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为,则球的半径等于_.16.已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边,上,且,则的最小值为_.四、

5、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)已知为三角形的一个内角,i为虚数单位,复数,且在复平面上对应的点在虚轴上.(1)求;(2)设,在复平面上对应的点分别为,求的面积.18.(本小题12分)记的内角,的对边分别为,满足.(1)求角;(2)若,是中线,求的长.19.(本小题12分)如图,在边长为2的正方体中,分别是棱,的中点(1)求证:点在平面内;(2)用平面截正方体,将正方体分成两个几何体,两个几何体的体积分别为,求的值.20.(本小题12分)2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆,航天员翟志刚,王亚平

6、,叶光富顺利出舱,神舟十三号载人飞行任务圆满完成,为纪念中国航天事业所取得的成就,发掘并传承中国航天精神,某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分(满分:100分),将学生的成绩整理后分成五组,从左到右依次记为,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数(求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人,若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为72分和1,第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为87分和2,求这200人中分数在区间的学生成绩的方差.21

7、.(本小题12分)在三棱柱中,.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.22.(本小题12分)记的内角,的对边分别为,且边上的高.(1)若,求;(2)已知中角和是锐角,求的最小值.2022-2023学年度下学期期末考试高一数学答案一.选择题题号123456789101112答案BCDCDABDACDACDABDABC【详解】1.解析:,选B.2.解析:因为总体是由差异明显的两部分组成的,所以应该采取分层随机抽样,故正确;高一共有人,高二共有人,从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查,高一应抽取人,高二应抽取人,故正确;甲被抽到的可能性为,乙被抽到的可能性为,甲和乙被抽

8、到的可能性相等,故不正确;所以正确的说法是:,选C.3.解析:由面面平行判定定理可知A不对;B选项缺少不在平面上;由面面垂直性质定理可知C错;由面面垂直判定定理D正确.4.解析:根据定义可知:在方向上的投影向量为,答案选C。5.解析:D,所以,A错因为,所以,因为,所以,所以直线,必然交于一点(即三线共点),B,C错误,D正确;6.解析:,且对,有恒成立,数形结合可知,所以,则与的夹角余弦值为,答案选A.7.解析:由折叠不变可知,三棱锥中,两两相互垂直,所以,的三边长分别为,所以,等体积法求出到平面的距离为.所以选B.8.解析:设增加的数为,原来的8个数分别为,则,所以,又因为,即,所以方差的

9、最小值为13.6(当时取到最小值)故选:D.9.解析:ACDA从平均数角度考虑是对的;B从标准差角度考虑是错的;C从标准差角度考虑是对的;D从平均数和标准差角度考虑是对的.10.解析:因为,当时,;当时,;选ACD11.解析:当,时得,A选项正确;当,时,函数得最小正周期,以及,B正确;由图像可以,又因为,所以C错,D对.答案:ABD12.解析:当时,点在线段上,包含于平面,又因为平面平面所以A对;当,时,是的中点,且,是垂足,所以为所求,所以B正确;当时,点在线段上,面,所以C对;当时,点在线段上,将平面和平面展开成平面图后,线段为所求,的最小值为,答案:ABC二.填空题13. 14.24

10、15.4 16.13.解析:,15.解析:设的中心为,三棱锥外接球的球心为,则当体积最大时,点,在同一直线上,且垂直于底面,如图,因为为等边三角形且其面积为,所以的边长满足,故,所以,故,故三棱锥的高,所以,所以.16.解析:设,则中,由正弦定理得:,在中,同理可得因此可得,因为经检验,则的最小值为.三.解答题17.(1),;5分(2),.在复平面上对应的点分别为,由余弦定理可得,且,.10分18.(1)因为,由正弦定理可知:,又为三角形内角,所以;6分(2)由,得,又,在中由余弦定理得:,所以12分19.(1)连接,在正方体中,且,所以四边形是平行四边形,所以,又,所以,所以、四点共面,即点

11、在平面内;5分(2)再连接,所以平面截正方体的截面是四边形,所以是几何体三棱台的体积,所以,因此:12分20.(1)成绩落在的频率为2分补全的频率分布直方图,如图样本的平均数(分) 4分设80%分位数为,则,解得:(分);6分(2)由分层抽样可知,第三组和第四组分别抽取30人和20人8分分层抽样的平均值:(分)10分分层抽样的方差:所以这200人中分数在区间所有人的成绩的方差为55.412分21.(1)设的中点为,连接,因为,所以,又因为,且,所以,因为,平面,且,所以平面,因为平面,所以,在中,由余弦定理求得,则,因为,所以,解得,在和中,可知,在中,因此.由(1)知,且,平面,且,所以平面.因此平面平面得证6分(2)由第一问证明易得,且.取的中点,为二面角的平面角,且,所以二面角的平面角的余弦值为.12分22.因为边上的高,所以化简可得:.2分(1)所以或;6分(2)由所以,即且,所以当时,.12分