1、2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）复数（2+i）2的实部是（）A2B3C4D52（5分）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|2a-b|=5，则ab=（）A2B4C5D103（5分）在ABC中，A=4，cosB=35，则sinC（）A210B-210C7210D-72104（5分）为了得到函数y=3sin(2x-5)的图象，只要把y=3sin(2x+5)图象上所有的点（）A向右平行移动5个单位长度B向左平行移动5个单位长度C向右平行移动25个单位长度D向左平行移动25个单位长度5（5分）从3名男生和3名
2、女生中任意抽取两人，设事件A“抽到的两人都是男生”，事件B“抽到1名男生与1名女生”，则（）A在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=12B在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=14C在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=13D在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）16（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A中位数为3，众数为3B平均数为3，中位数为3C中位数为2，极差为2D平均数为2，标准差为27（5分）三棱锥ABCD中，ABBD，ABCD，BDCD若AB3，AC5，则该三棱锥体积的最大值为（）A3
3、B4C6D128（5分）在四棱锥PABCD中，ADBC，AD2BC，则下列结论中不成立的是（）A平面PAB内任意一条直线都不与CD平行B平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行C平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行D平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异采用不放回方式从中任意摸球两次设事件A“第一次摸出球的标号为2”，事件B“第二次摸出球的标号为
4、3”，事件C“两次摸出球的标号之和为4”，事件D“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A事件A与B互斥B事件A与C相互独立C事件C与D互斥D事件B与D相互独立（多选）10（5分）已知函数f(x)=tan(12x-4)，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2Bf（x）的图象关于点(2，0)对称C|f（x）|的图象关于直线x=2对称Df（x）在区间(-2，2)上单调递增（多选）11（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A若z-z=0，则zRB若z（1+i）2，则z=2cos74+isin74C若|z1|z2|3，z1+z25+i，则|z1-z2|=10D若复数z满足1|z|2，则
5、复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为（多选）12（5分）在ABC中，ACBC，将ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（）ASa+Sb2ScBVa+Vb2VcC1Sa2+1Sb2=1Sc2D1Va2+1Vb2=1Vc2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量a=(1，-3)，b=(，5)，且(a+b)a，则b在a方向上的投影向量的坐标为 14（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，
6、测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2 15（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP1，圆心角POQ=3，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为 16（5分）已知四边形ABCD是正方形，将DAC沿AC翻折到D1AC的位置，点G为D1AC的重心，点E在线段BC上，GE平面D1AB，GED1A若CEEB，则 ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）我
7、国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图（1）求这100户居民生活月均用水量在区间1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由18（12分）如图是函数f（x）cos（x+）（0，0）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点
8、B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且ABAC=2（1）求f（x）的最小正周期T；（2）若f(2)-f(43)=1，求f（x）的解析式19（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X个球该局比赛结束（1）求事件“X2”的概率；（2）求事件“X4且乙获胜”的概率20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC（1）证明：平面ABC1平面BCC1；
9、（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为，二面角C1ABC的大小为，试判断与的大小关系，并说明理由21（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB+cosB=b+ca（1）求A；（2）若点D在边BC上，且ADBD3，CD2，求b22（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P（1）设平面BCC1B1l，求证：AD1l；（2）平面将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1V2）；（3）当A1P最小时，求三棱锥PAA1D
10、1的外接球的表面积2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）复数（2+i）2的实部是（）A2B3C4D5【解答】解：（2+i）23+2i，实部为3故选：B2（5分）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|2a-b|=5，则ab=（）A2B4C5D10【解答】解：|a|=2，|b|=1，|2a-b|=5，|2a-b|2=4a2-4ab+b2=44-4ab+1=17-4ab=25，ab=-2故选：A3（5分）在ABC中，A=4，cosB=35，则s
11、inC（）A210B-210C7210D-7210【解答】解：在ABC中，cosB=35，则sinB=1-cos2B=45，又A=4，则sinC=sin(-A-B)=sin(4+B)=22(sinB+cosB) =22(45+35)=7210故选：C4（5分）为了得到函数y=3sin(2x-5)的图象，只要把y=3sin(2x+5)图象上所有的点（）A向右平行移动5个单位长度B向左平行移动5个单位长度C向右平行移动25个单位长度D向左平行移动25个单位长度【解答】解：为了得到函数y=3sin(2x-5)=3sin(2(x-5)+5)的图象，只要把y=3sin(2x+5)图象上所有的点向右平行移
12、动5个单位长度，故选：A5（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A“抽到的两人都是男生”，事件B“抽到1名男生与1名女生”，则（）A在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=12B在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=14C在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=13D在按性别等比例分层抽样方式下，P（B）1【解答】解：记3名男生为1，2，3，3名女生为a，b，c对于A，有放回简单随机抽样的样本空间1为：123abc1（1，1）（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（1，c）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，a）（2，b）（2，c）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，a）（3，
13、b）（3，c）a（a，1）（a，2）（a，3）（a，a）（a，b）（a，c）b（b，1）（b，2）（b，3）（b，a）（b，b）（b，c）c（c，1）（c，2）（c，3）（c，a）（c，b）（c，c）共36个样本点，事件A（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个样本点，所以P(A)=936=14，故A错误；对于B，不放回简单随机抽样的样本空间2为：123abc1（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（1，c）2（2，1）（2，3）（2，a）（2，b）（2，c）3（3，1）（3，2）（3，a）（3，b）（3，c）a（a，
14、1）（a，2）（a，3）（a，b）（a，c）b（b，1）（b，2）（b，3）（b，a）（b，c）c（c，1）（c，2）（c，3）（c，a）（c，b）共30个样本点，事件B（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），有18个样本点，所以P(A)=1830=35，故B错误；对于C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以P（A）0，故C错误；对于D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，
15、再从女生中抽取一人，其样本空间3（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），共有9个样本点，事件B3，所以P(B)=99=1，故D正确故选：D6（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A中位数为3，众数为3B平均数为3，中位数为3C中位数为2，极差为2D平均数为2，标准差为2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6 时，满足中位数为3，众数为3，不能判断出一定没有出现点数6；对于B，当掷骰子出现的结
16、果为1，1，3，4，6 时，满足平均数为3，中位数为3，不能判断出一定没有出现点数6；对于C，若数据的中位数为2，极差为2，则数据的最小值小于2，又由极差为2，则数据的最大值小于4，可以判断出一定没有出现点数6；对于D，当掷骰子出现的结果为1，1，1，1，6 时，满足平均数为2，标准差为2，不能判断出一定没有出现点数6；故选：C7（5分）三棱锥ABCD中，ABBD，ABCD，BDCD若AB3，AC5，则该三棱锥体积的最大值为（）A3B4C6D12【解答】解：因为ABBD，ABCD，BDCDD，BD，CD平面BCD，所以AB平面BCD，BC平面BCD，所以ABBC，则AC2AB2+BC2，所以B
17、C4，又BDCD，所以SBCD=12BDDC，BC2=BD2+DC2=16，所以SBCD=12BDDC=142BDDC14(BD2+DC2)=4，当且仅当BD=DC=22时取等号，所以VA-BCD=13ABSBCD=SBCD4，当且仅当BD=DC=22时取等号故选：B8（5分）在四棱锥PABCD中，ADBC，AD2BC，则下列结论中不成立的是（）A平面PAB内任意一条直线都不与CD平行B平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行C平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行D平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行【解答】解：如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，AD2BC，AB与
18、DC相交，设交点为F，则CD与平面PAB相交于F，可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行，故A正确；ABDCF，平面PAB平面PDCPF，则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行，故B正确；平面PCD和平面PAB的交线为PF，与底面ABCD相交，不与底面ABCD平行，故C正确；ADBC，AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，又BC平面PBC，平面PAD平面PBCl，可得BCl，则l平面ABCD，故D错误故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）一个
19、袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异采用不放回方式从中任意摸球两次设事件A“第一次摸出球的标号为2”，事件B“第二次摸出球的标号为3”，事件C“两次摸出球的标号之和为4”，事件D“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A事件A与B互斥B事件A与C相互独立C事件C与D互斥D事件B与D相互独立【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，两次摸球中，第一次摸出球的标号为2二次摸出球的标号为3，即事件A、B可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误；对于B，若事件A发生，即第一次摸出球的标号为2，则事件C一定不会发生，则A、C不是相互独立事件，B错误；对于C，事件C、D不会
20、同时发生，是互斥事件，C正确；对于D，P（B）=14，P（D）=22A42=13，P（BD）=143=112，有P（B）P（D）P（BD），则B、D是相互独立事件，D正确故选：CD（多选）10（5分）已知函数f(x)=tan(12x-4)，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2Bf（x）的图象关于点(2，0)对称C|f（x）|的图象关于直线x=2对称Df（x）在区间(-2，2)上单调递增【解答】解：因为函数f(x)=tan(12x-4)，所以f（x）的最小正周期是T=12=2，选项A错误；x=2时，122-4=0，所以f（x）tan（12x-4）的图象关于点(2，0)对称，选项B正确
21、；因为|f（2-x）|tan（-12x）|tan12x|，|f（2+x）|tan12x|，所以|f（2-x）|f（2+x）|，|f（x）|的图象关于直线x=2对称，选项C正确；x（-2，2）时，12x-4（-2，0），所以f（x）tan（12x-4）在区间(-2，2)上单调递增，选项D正确故选：BCD（多选）11（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A若z-z=0，则zRB若z（1+i）2，则z=2cos74+isin74C若|z1|z2|3，z1+z25+i，则|z1-z2|=10D若复数z满足1|z|2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为【解答】解：对于A，z-z=0，
22、则z=z，故zR，故A正确；对于B，z（1+i）2，则z=21+i2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i，2cos74+isin74=2cos4-isin4=1-22i，故B错误；对于C，设z1，z2在复平面内对应的向量为a，b，则|a|=|b|=3，a+b=(5，1)，故|a+b|=52+12=26，(a+b)2=a2+2ab+b2=9+2ab+9，解得ab=4，故|a-b|=a2-2ab+b2=10，即|z1-z2|=10，故C正确；对于D，设zx+yi（x，yR），1|z|2，1x2+y24，复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为22123，故D错误故选：AC（多选）12（5分）在
23、ABC中，ACBC，将ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则（）ASa+Sb2ScBVa+Vb2VcC1Sa2+1Sb2=1Sc2D1Va2+1Vb2=1Vc2【解答】解：如图所示，过点C作CDAB，垂足为D，设CDh，则h=abc，c2a2+b2侧面积Sabc，Sbac，Sc=ab(a+b)cSa+Sb2Scbc+ac-2ab(a+b)c(a+b)(a2+b2)-2ab(a+b)a2+b20，因此A正确；由题意可得：Va=13b2a，Vb=13a2b，Vc=13(abc)2c=13a2b2a2+b2，Va
24、+Vb2Vc=3ab（a+b-2aba2+b2）3ab（2ab-2ab2ab）=3ab（2-2）ab0，因此B错误；1Sa2+1Sb2=12c2（1a2+1b2）=12a2b2，1Sc2=12a2b2(a+b)2（a2+b2），1Sa2+1Sb2-1Sc2=(a+b)2-(a2+b2)(ab)20，1Sa2+1Sb21Sc2，因此C错误；1Va2+1Vb2=92a2b2（1b2+1a2），1Vc2=92a2b2a2+b2a2b2=92a2b2（1b2+1a2），1Va2+1Vb2=1Vc2，因此D正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量a=(1，-3)
25、，b=(，5)，且(a+b)a，则b在a方向上的投影向量的坐标为 （1，3）【解答】解：向量a=(1，-3)，b=(，5)，a+b=（1+，2），又(a+b)a，1+60，解得5b=（5，5），ab=153510，|a|=12+(-3)2=10，b在a方向上的投影向量的坐标为ba|a|a|a|=-a=（1，3）故答案为：（1，3）14（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据，可计算出该校高中学
26、生身高的总样本方差s237.5【解答】解：已知在样本中，男生有100人，女生有60人，所以该校高中学生身高的平均数x=100160172+60160164169，则该校高中学生身高的总样本方差s2=10016018+（172169）2+6016030+（164169）237.5故答案为：37.515（5分）如图，在扇形OPO中，半径OP1，圆心角POQ=3，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为 2-3【解答】解：连接OB，OC，过BNOP于N，可得OBOC，可得OCBOBC，因为四边形ABCD为矩形，所以OCDOBA，由题意可得DCAB，可得O
27、DCOAB，可得ODOA，而AOD=3，所以OAD为等边三角形，所以ADOA，设BON，则BAN=2-3=6，在RtABN中，则ONOBcoscos，BNOBsinsin，AB=BNsin6=2sin，ANABcos6=3sin，ADOAONANcos-3sin，所以S矩形ABCDABAD2sin（cos-3sin）2sincos23sin2sin2-3（1cos2）2sin（2+3）-32-3，当且仅当2+3=2，即=12时取等号，所以矩形ABCD的面积的最大值为2-3故答案案为：2-316（5分）已知四边形ABCD是正方形，将DAC沿AC翻折到D1AC的位置，点G为D1AC的重心，点E在线
28、段BC上，GE平面D1AB，GED1A若CEEB，则2，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 3【解答】解：如图所示：空1：延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1中点，如下图所示，因为GE平面D1AB，GE平面CBF，平面CBF平面D1ABBF，所以GEBF，因为点G为D1AC 的重心，所以CG2GF，所以CE2EB，即2；空2：取CA中点O，连接OB，GB，GO，OD1，则 OBAC，设正方形ABCD边长为2，因为GEBF，GED1A，所以BFD1A，又F为AD1中点，所以ABD1B2，RtABC中，AC=22，OB=12AC=2，同理可得D1O=2，因为D1O2+OB2=D1B2
29、，所以OBD1O，又ACD1OO，所以OB平面 D1AC，则GO为GB在平面D1AC内的投影，所以OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角，RtOGB中，GO=13D1O=23，tanOGB=OBOG=3 故答案为：2；3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a（单位：t），使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均
30、用水量（单位：t）的数据，整理得到如下的频率分布直方图（1）求这100户居民生活月均用水量在区间1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at，试估计a的值，并说明理由【解答】解：（1）由频率分布直方图可知1.5，2）内的频率为1（0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04）0.50.21（2）因为0.210.50.42，又（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5）0.50.73，（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3）0.50.880.85，则a2.5，3），依题意可得0.73+（a2.5）0.30.85
31、，解得a2.9所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为2.9t18（12分）如图是函数f（x）cos（x+）（0，0）在一个周期上的图象，点A是函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C分别是函数f（x）图象的最低点与最高点，且ABAC=2（1）求f（x）的最小正周期T；（2）若f(2)-f(43)=1，求f（x）的解析式【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，依题意设A（a，0），则B(a+T4，-1)，C(a+3T4，1)，所以AB=(T4，-1)，AC=(3T4，1)，所以ABAC=3T216-1=2，即T216，解得T4或T4（舍去）；（2）由（1）可得T
32、=2=4，解得=2，所以f(x)=cos(2x+)，又f(2)-f(43)=cos(+)-cos(23+)=1，即-cos-cos23cos+sin23sin=1，即-12cos+32sin=1，所以sin(-6)=1，所以-6=2+2k，kZ，解得=23+2k，kZ，又0，所以=23，所以f(x)=cos(2x+23)19（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了
33、X个球该局比赛结束（1）求事件“X2”的概率；（2）求事件“X4且乙获胜”的概率【解答】解：（1）又打了2个球该局比赛结束，有两种情况，甲连赢2个球或乙连赢2个球，所以P（X2）0.40.6+（10.4）（10.6）0.48；（2）设事件A为“X4且乙获胜”，则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球，第3个球和第4个球都是乙赢，所以P（A）0.4（10.6）+（10.4）0.6（10.4）（10.6）0.124820（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC（1）证明：平面ABC1平面BCC1；（2）若直线AC与平面ABC1所成的角为，二面角C1ABC的大小为，试判断与的大小关系，
34、并说明理由【解答】 （1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知ABBB1，又ABBC，BB1BCB，且两直线在平面内，所以AB平面BCC1，又AB平面ABC1，所以平面ABC1平面BCC1（2）过C作CD垂直BC于D点，连接AD，由（1）可知平面ABC1平面BCC1，又平面ABC1平面BCC1BC1，所以CD平面ABC1，垂足为D，则CAD是直线AC与平面ABC1所成的角，即CAD，由（1）可知AB平面BCC1，所以ABBC1，又ABBC，所以CBC1是二面角C1ABC的平面角，即CBC1，在RtADC中，sin=CDAC，在RtCDB中，sin=CDBC，又BCAC，得sinsin，又
35、（0，2），（0，2），所以21（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB+cosB=b+ca（1）求A；（2）若点D在边BC上，且ADBD3，CD2，求b【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得3sinB+cosB=sinB+sinCsinA，即3sinBsinA+cosBsinAsinB+sinCsinB+sin（B+A），即3sinBsinA+cosBsinAsinB+sinBcosA+cosBsinA，整理可得3sinBsinAsinB+sinBcosA，在ABC中，sinB0，所以3sinAcosA1，即sin（A-6）=12，因为A（0，），可得A-6=
36、6，解得A=3；（2）在ABC，A=3，ADBD3，CD2，BCBD+CD3+25，由余弦定理可得BC2AB2+AC22ABACcosBAC，即25AB2+AC2ABAC，因为cosADCcosADB，在ABD中，AB2BD2+AD22ADBDcosADB9+9233cosADB1818cosADB，在ACD中，AC2CD2+AD22ADCDcosADC4+9+232cosADB13+12cosADB，2+3可得2AB2+3AC275，由可得AC=577即b=57722（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面，点P是侧面
37、BCC1B1内的动点，且A1P（1）设平面BCC1B1l，求证：AD1l；（2）平面将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1V2）；（3）当A1P最小时，求三棱锥PAA1D1的外接球的表面积【解答】证明：（1）连接BC1，因为ABD1C1且ABD1C1，所以ABC1D1为平行四边形，所以AD1BC1，AD1平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，所以AD1平面BCC1B1，又平面BCC1B1l，AD1平面，所以AD1l；解：（2）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1EDCF，连接AF，设BCAFG，连接GE，由E为CC1的中点，得
38、G为BC的中点，EGAD1，所以平面AGED1即为平面，因为E为CC1的中点，所以C为DF的中点，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGEDAD1，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，所以V1=V棱台CGE-DAD1=VF-DAD1-VF-CGE=78VF-DAD1=7813SDAD1FD=781312448=563，另一部分几何体的体积V2=43-563=1363，两部分的体积V1V2=717；（3）取B1C1的中点N，BB1的中点M，连接MN、ME、A1M、A1N，显然MNBC1，EGBC1，所以MNEG，MN平面AGED1，EG平面AGED1，所以MN平面AGED1
39、，又E为CC1的中点，所以MEB1C1且MEB1C1，又A1D1B1C1且A1D1B1C1，所以A1D1ME且A1D1ME，所以A1D1EM为平行四边形，所以A1MD1E，A1M平面AGED1，D1E平面AGED1，所以A1M平面AGED1，又A1MMEM，A1M，ME平面A1MN，所以平面A1MN平面AGED1，又点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P，所以P在线段MN上，又A1N=A1M=42+22=25，即A1MN为等腰三角形，所以当P为MN的中点时A1P最小，因为AA1D1为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点，设为Q，令MEBC1H，则H为BC1的中点，连接QH，则QHAB，所以QH平面AA1D1，所以球心在QH上，设球心为O，连接OD1、OP、PH，设外接球的半径为R，OQh，则OD1OPR，又D1Q=12AD1=22，PH=2，所以R2=h2+(22)2，R2=(4-h)2+(2)2，解得h=54，则R2=15316，所以外接球的表面积S=4R2=1534第22页（共22页）
