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2022-2023学年广东省广州市越秀区高一下期末数学试卷(含答案解析)

1、2022-2023学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1(5分)复数(2+i)2的实部是()A2B3C4D52(5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|2a-b|=5,则ab=()A2B4C5D103(5分)在ABC中,A=4,cosB=35,则sinC()A210B-210C7210D-72104(5分)为了得到函数y=3sin(2x-5)的图象,只要把y=3sin(2x+5)图象上所有的点()A向右平行移动5个单位长度B向左平行移动5个单位长度C向右平行移动25个单位长度D向左平行移动25个单位长度5(5分)从3名男生和3名

2、女生中任意抽取两人,设事件A“抽到的两人都是男生”,事件B“抽到1名男生与1名女生”,则()A在有放回简单随机抽样方式下,P(A)=12B在不放回简单随机抽样方式下,P(B)=14C在按性别等比例分层抽样方式下,P(A)=13D在按性别等比例分层抽样方式下,P(B)16(5分)四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学各自的统计结果的数字特征,可以判断出一定没有出现点数6的是()A中位数为3,众数为3B平均数为3,中位数为3C中位数为2,极差为2D平均数为2,标准差为27(5分)三棱锥ABCD中,ABBD,ABCD,BDCD若AB3,AC5,则该三棱锥体积的最大值为()A3

3、B4C6D128(5分)在四棱锥PABCD中,ADBC,AD2BC,则下列结论中不成立的是()A平面PAB内任意一条直线都不与CD平行B平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行C平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行D平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.(多选)9(5分)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个小球,除标号外没有其他差异采用不放回方式从中任意摸球两次设事件A“第一次摸出球的标号为2”,事件B“第二次摸出球的标号为

4、3”,事件C“两次摸出球的标号之和为4”,事件D“两次摸出球的标号之和为5”,则()A事件A与B互斥B事件A与C相互独立C事件C与D互斥D事件B与D相互独立(多选)10(5分)已知函数f(x)=tan(12x-4),则下列结论正确的是()Af(x)的最小正周期是2Bf(x)的图象关于点(2,0)对称C|f(x)|的图象关于直线x=2对称Df(x)在区间(-2,2)上单调递增(多选)11(5分)已知i为虚数单位,则下列结论正确的是()A若z-z=0,则zRB若z(1+i)2,则z=2cos74+isin74C若|z1|z2|3,z1+z25+i,则|z1-z2|=10D若复数z满足1|z|2,则

5、复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为(多选)12(5分)在ABC中,ACBC,将ABC分别绕边BC,AC,AB所在直线旋转一周,形成的几何体的侧面积分别记为Sa,Sb,Sc,体积分别记为Va,Vb,Vc,则()ASa+Sb2ScBVa+Vb2VcC1Sa2+1Sb2=1Sc2D1Va2+1Vb2=1Vc2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)已知向量a=(1,-3),b=(,5),且(a+b)a,则b在a方向上的投影向量的坐标为 14(5分)某校为了解高中学生的身高情况,根据男、女学生所占的比例,采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名,

6、测量他们的身高所得数据(单位:cm)如下:性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据,可计算出该校高中学生身高的总样本方差s2 15(5分)如图,在扇形OPO中,半径OP1,圆心角POQ=3,矩形ABCD内接于扇形OPQ,其中点B,C都在弧PQ上,则矩形ABCD的面积的最大值为 16(5分)已知四边形ABCD是正方形,将DAC沿AC翻折到D1AC的位置,点G为D1AC的重心,点E在线段BC上,GE平面D1AB,GED1A若CEEB,则 ,直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)我

7、国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出某市政府为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度,即确定一个合理的居民生活用水量标准a(单位:t),使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费,超过a的部分按议价收费通过随机抽样,获得了该市100户居民生活月均用水量(单位:t)的数据,整理得到如下的频率分布直方图(1)求这100户居民生活月均用水量在区间1.5,2)内的频率;(2)若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at,试估计a的值,并说明理由18(12分)如图是函数f(x)cos(x+)(0,0)在一个周期上的图象,点A是函数f(x)图象与x轴的交点,点

8、B,C分别是函数f(x)图象的最低点与最高点,且ABAC=2(1)求f(x)的最小正周期T;(2)若f(2)-f(43)=1,求f(x)的解析式19(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束甲、乙两人进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.6,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立在某局双方10:10平后,乙先发球,两人又打了X个球该局比赛结束(1)求事件“X2”的概率;(2)求事件“X4且乙获胜”的概率20(12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC(1)证明:平面ABC1平面BCC1;

9、(2)若直线AC与平面ABC1所成的角为,二面角C1ABC的大小为,试判断与的大小关系,并说明理由21(12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sinB+cosB=b+ca(1)求A;(2)若点D在边BC上,且ADBD3,CD2,求b22(12分)如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为CC1的中点,经过A,D1,E三点的平面记为平面,点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P(1)设平面BCC1B1l,求证:AD1l;(2)平面将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分,求这两部分的体积之比V1V2(其中V1V2);(3)当A1P最小时,求三棱锥PAA1D

10、1的外接球的表面积2022-2023学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5分)复数(2+i)2的实部是()A2B3C4D5【解答】解:(2+i)23+2i,实部为3故选:B2(5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|2a-b|=5,则ab=()A2B4C5D10【解答】解:|a|=2,|b|=1,|2a-b|=5,|2a-b|2=4a2-4ab+b2=44-4ab+1=17-4ab=25,ab=-2故选:A3(5分)在ABC中,A=4,cosB=35,则s

11、inC()A210B-210C7210D-7210【解答】解:在ABC中,cosB=35,则sinB=1-cos2B=45,又A=4,则sinC=sin(-A-B)=sin(4+B)=22(sinB+cosB) =22(45+35)=7210故选:C4(5分)为了得到函数y=3sin(2x-5)的图象,只要把y=3sin(2x+5)图象上所有的点()A向右平行移动5个单位长度B向左平行移动5个单位长度C向右平行移动25个单位长度D向左平行移动25个单位长度【解答】解:为了得到函数y=3sin(2x-5)=3sin(2(x-5)+5)的图象,只要把y=3sin(2x+5)图象上所有的点向右平行移

12、动5个单位长度,故选:A5(5分)从3名男生和3名女生中任意抽取两人,设事件A“抽到的两人都是男生”,事件B“抽到1名男生与1名女生”,则()A在有放回简单随机抽样方式下,P(A)=12B在不放回简单随机抽样方式下,P(B)=14C在按性别等比例分层抽样方式下,P(A)=13D在按性别等比例分层抽样方式下,P(B)1【解答】解:记3名男生为1,2,3,3名女生为a,b,c对于A,有放回简单随机抽样的样本空间1为:123abc1(1,1)(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,a)(3,

13、b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)(a,a)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,b)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)(c,c)共36个样本点,事件A(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),有9个样本点,所以P(A)=936=14,故A错误;对于B,不放回简单随机抽样的样本空间2为:123abc1(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,a)(3,b)(3,c)a(a,

14、1)(a,2)(a,3)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)共30个样本点,事件B(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),有18个样本点,所以P(A)=1830=35,故B错误;对于C,在按性别等比例分层抽样方式下,从男生中抽取一人,从女生中抽取一人,所以P(A)0,故C错误;对于D,在按性别等比例分层抽样方式下,先从男生中抽取一人,

15、再从女生中抽取一人,其样本空间3(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),共有9个样本点,事件B3,所以P(B)=99=1,故D正确故选:D6(5分)四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学各自的统计结果的数字特征,可以判断出一定没有出现点数6的是()A中位数为3,众数为3B平均数为3,中位数为3C中位数为2,极差为2D平均数为2,标准差为2【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6 时,满足中位数为3,众数为3,不能判断出一定没有出现点数6;对于B,当掷骰子出现的结

16、果为1,1,3,4,6 时,满足平均数为3,中位数为3,不能判断出一定没有出现点数6;对于C,若数据的中位数为2,极差为2,则数据的最小值小于2,又由极差为2,则数据的最大值小于4,可以判断出一定没有出现点数6;对于D,当掷骰子出现的结果为1,1,1,1,6 时,满足平均数为2,标准差为2,不能判断出一定没有出现点数6;故选:C7(5分)三棱锥ABCD中,ABBD,ABCD,BDCD若AB3,AC5,则该三棱锥体积的最大值为()A3B4C6D12【解答】解:因为ABBD,ABCD,BDCDD,BD,CD平面BCD,所以AB平面BCD,BC平面BCD,所以ABBC,则AC2AB2+BC2,所以B

17、C4,又BDCD,所以SBCD=12BDDC,BC2=BD2+DC2=16,所以SBCD=12BDDC=142BDDC14(BD2+DC2)=4,当且仅当BD=DC=22时取等号,所以VA-BCD=13ABSBCD=SBCD4,当且仅当BD=DC=22时取等号故选:B8(5分)在四棱锥PABCD中,ADBC,AD2BC,则下列结论中不成立的是()A平面PAB内任意一条直线都不与CD平行B平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行C平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行D平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行【解答】解:如图,在四棱锥PABCD中,ADBC,AD2BC,AB与

18、DC相交,设交点为F,则CD与平面PAB相交于F,可知平面PAB内任意一条直线都不与CD平行,故A正确;ABDCF,平面PAB平面PDCPF,则平面PCD内与PF平行的直线都与平面PAB平行,故B正确;平面PCD和平面PAB的交线为PF,与底面ABCD相交,不与底面ABCD平行,故C正确;ADBC,AD平面PAD,BC平面PAD,BC平面PAD,又BC平面PBC,平面PAD平面PBCl,可得BCl,则l平面ABCD,故D错误故选:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.(多选)9(5分)一个

19、袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个小球,除标号外没有其他差异采用不放回方式从中任意摸球两次设事件A“第一次摸出球的标号为2”,事件B“第二次摸出球的标号为3”,事件C“两次摸出球的标号之和为4”,事件D“两次摸出球的标号之和为5”,则()A事件A与B互斥B事件A与C相互独立C事件C与D互斥D事件B与D相互独立【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,两次摸球中,第一次摸出球的标号为2二次摸出球的标号为3,即事件A、B可以同时发生,则事件A、B不是互斥事件,A错误;对于B,若事件A发生,即第一次摸出球的标号为2,则事件C一定不会发生,则A、C不是相互独立事件,B错误;对于C,事件C、D不会

20、同时发生,是互斥事件,C正确;对于D,P(B)=14,P(D)=22A42=13,P(BD)=143=112,有P(B)P(D)P(BD),则B、D是相互独立事件,D正确故选:CD(多选)10(5分)已知函数f(x)=tan(12x-4),则下列结论正确的是()Af(x)的最小正周期是2Bf(x)的图象关于点(2,0)对称C|f(x)|的图象关于直线x=2对称Df(x)在区间(-2,2)上单调递增【解答】解:因为函数f(x)=tan(12x-4),所以f(x)的最小正周期是T=12=2,选项A错误;x=2时,122-4=0,所以f(x)tan(12x-4)的图象关于点(2,0)对称,选项B正确

21、;因为|f(2-x)|tan(-12x)|tan12x|,|f(2+x)|tan12x|,所以|f(2-x)|f(2+x)|,|f(x)|的图象关于直线x=2对称,选项C正确;x(-2,2)时,12x-4(-2,0),所以f(x)tan(12x-4)在区间(-2,2)上单调递增,选项D正确故选:BCD(多选)11(5分)已知i为虚数单位,则下列结论正确的是()A若z-z=0,则zRB若z(1+i)2,则z=2cos74+isin74C若|z1|z2|3,z1+z25+i,则|z1-z2|=10D若复数z满足1|z|2,则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为【解答】解:对于A,z-z=0,

22、则z=z,故zR,故A正确;对于B,z(1+i)2,则z=21+i2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,2cos74+isin74=2cos4-isin4=1-22i,故B错误;对于C,设z1,z2在复平面内对应的向量为a,b,则|a|=|b|=3,a+b=(5,1),故|a+b|=52+12=26,(a+b)2=a2+2ab+b2=9+2ab+9,解得ab=4,故|a-b|=a2-2ab+b2=10,即|z1-z2|=10,故C正确;对于D,设zx+yi(x,yR),1|z|2,1x2+y24,复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为22123,故D错误故选:AC(多选)12(5分)在

23、ABC中,ACBC,将ABC分别绕边BC,AC,AB所在直线旋转一周,形成的几何体的侧面积分别记为Sa,Sb,Sc,体积分别记为Va,Vb,Vc,则()ASa+Sb2ScBVa+Vb2VcC1Sa2+1Sb2=1Sc2D1Va2+1Vb2=1Vc2【解答】解:如图所示,过点C作CDAB,垂足为D,设CDh,则h=abc,c2a2+b2侧面积Sabc,Sbac,Sc=ab(a+b)cSa+Sb2Scbc+ac-2ab(a+b)c(a+b)(a2+b2)-2ab(a+b)a2+b20,因此A正确;由题意可得:Va=13b2a,Vb=13a2b,Vc=13(abc)2c=13a2b2a2+b2,Va

24、+Vb2Vc=3ab(a+b-2aba2+b2)3ab(2ab-2ab2ab)=3ab(2-2)ab0,因此B错误;1Sa2+1Sb2=12c2(1a2+1b2)=12a2b2,1Sc2=12a2b2(a+b)2(a2+b2),1Sa2+1Sb2-1Sc2=(a+b)2-(a2+b2)(ab)20,1Sa2+1Sb21Sc2,因此C错误;1Va2+1Vb2=92a2b2(1b2+1a2),1Vc2=92a2b2a2+b2a2b2=92a2b2(1b2+1a2),1Va2+1Vb2=1Vc2,因此D正确故选:AD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)已知向量a=(1,-3)

25、,b=(,5),且(a+b)a,则b在a方向上的投影向量的坐标为 (1,3)【解答】解:向量a=(1,-3),b=(,5),a+b=(1+,2),又(a+b)a,1+60,解得5b=(5,5),ab=153510,|a|=12+(-3)2=10,b在a方向上的投影向量的坐标为ba|a|a|a|=-a=(1,3)故答案为:(1,3)14(5分)某校为了解高中学生的身高情况,根据男、女学生所占的比例,采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名,测量他们的身高所得数据(单位:cm)如下:性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据,可计算出该校高中学

26、生身高的总样本方差s237.5【解答】解:已知在样本中,男生有100人,女生有60人,所以该校高中学生身高的平均数x=100160172+60160164169,则该校高中学生身高的总样本方差s2=10016018+(172169)2+6016030+(164169)237.5故答案为:37.515(5分)如图,在扇形OPO中,半径OP1,圆心角POQ=3,矩形ABCD内接于扇形OPQ,其中点B,C都在弧PQ上,则矩形ABCD的面积的最大值为 2-3【解答】解:连接OB,OC,过BNOP于N,可得OBOC,可得OCBOBC,因为四边形ABCD为矩形,所以OCDOBA,由题意可得DCAB,可得O

27、DCOAB,可得ODOA,而AOD=3,所以OAD为等边三角形,所以ADOA,设BON,则BAN=2-3=6,在RtABN中,则ONOBcoscos,BNOBsinsin,AB=BNsin6=2sin,ANABcos6=3sin,ADOAONANcos-3sin,所以S矩形ABCDABAD2sin(cos-3sin)2sincos23sin2sin2-3(1cos2)2sin(2+3)-32-3,当且仅当2+3=2,即=12时取等号,所以矩形ABCD的面积的最大值为2-3故答案案为:2-316(5分)已知四边形ABCD是正方形,将DAC沿AC翻折到D1AC的位置,点G为D1AC的重心,点E在线

28、段BC上,GE平面D1AB,GED1A若CEEB,则2,直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 3【解答】解:如图所示:空1:延长CG交AD1于点F,连接BF,则F为AD1中点,如下图所示,因为GE平面D1AB,GE平面CBF,平面CBF平面D1ABBF,所以GEBF,因为点G为D1AC 的重心,所以CG2GF,所以CE2EB,即2;空2:取CA中点O,连接OB,GB,GO,OD1,则 OBAC,设正方形ABCD边长为2,因为GEBF,GED1A,所以BFD1A,又F为AD1中点,所以ABD1B2,RtABC中,AC=22,OB=12AC=2,同理可得D1O=2,因为D1O2+OB2=D1B2

29、,所以OBD1O,又ACD1OO,所以OB平面 D1AC,则GO为GB在平面D1AC内的投影,所以OGB或其补角为直线GB与平面D1AC所成角,RtOGB中,GO=13D1O=23,tanOGB=OBOG=3 故答案为:2;3四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出某市政府为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度,即确定一个合理的居民生活用水量标准a(单位:t),使得用户月均用水量不超过a的部分按平价收费,超过a的部分按议价收费通过随机抽样,获得了该市100户居民生活月均

30、用水量(单位:t)的数据,整理得到如下的频率分布直方图(1)求这100户居民生活月均用水量在区间1.5,2)内的频率;(2)若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at,试估计a的值,并说明理由【解答】解:(1)由频率分布直方图可知1.5,2)内的频率为1(0.08+0.16+0.3+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04)0.50.21(2)因为0.210.50.42,又(0.08+0.16+0.3+0.42+0.5)0.50.73,(0.08+0.16+0.3+0.42+0.5+0.3)0.50.880.85,则a2.5,3),依题意可得0.73+(a2.5)0.30.85

31、,解得a2.9所以要使85%的居民生活月均用水量不超过标准,则居民生活用水量标准为2.9t18(12分)如图是函数f(x)cos(x+)(0,0)在一个周期上的图象,点A是函数f(x)图象与x轴的交点,点B,C分别是函数f(x)图象的最低点与最高点,且ABAC=2(1)求f(x)的最小正周期T;(2)若f(2)-f(43)=1,求f(x)的解析式【解答】解:(1)设f(x)的最小正周期为T,依题意设A(a,0),则B(a+T4,-1),C(a+3T4,1),所以AB=(T4,-1),AC=(3T4,1),所以ABAC=3T216-1=2,即T216,解得T4或T4(舍去);(2)由(1)可得T

32、=2=4,解得=2,所以f(x)=cos(2x+),又f(2)-f(43)=cos(+)-cos(23+)=1,即-cos-cos23cos+sin23sin=1,即-12cos+32sin=1,所以sin(-6)=1,所以-6=2+2k,kZ,解得=23+2k,kZ,又0,所以=23,所以f(x)=cos(2x+23)19(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束甲、乙两人进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.6,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立在某局双方10:10平后,乙先发球,两人又打了

33、X个球该局比赛结束(1)求事件“X2”的概率;(2)求事件“X4且乙获胜”的概率【解答】解:(1)又打了2个球该局比赛结束,有两种情况,甲连赢2个球或乙连赢2个球,所以P(X2)0.40.6+(10.4)(10.6)0.48;(2)设事件A为“X4且乙获胜”,则事件A发生表示前2个球甲乙各赢1个球,第3个球和第4个球都是乙赢,所以P(A)0.4(10.6)+(10.4)0.6(10.4)(10.6)0.124820(12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC(1)证明:平面ABC1平面BCC1;(2)若直线AC与平面ABC1所成的角为,二面角C1ABC的大小为,试判断与的大小关系,

34、并说明理由【解答】 (1)证明:在直三棱柱ABCA1B1C1中,易知ABBB1,又ABBC,BB1BCB,且两直线在平面内,所以AB平面BCC1,又AB平面ABC1,所以平面ABC1平面BCC1(2)过C作CD垂直BC于D点,连接AD,由(1)可知平面ABC1平面BCC1,又平面ABC1平面BCC1BC1,所以CD平面ABC1,垂足为D,则CAD是直线AC与平面ABC1所成的角,即CAD,由(1)可知AB平面BCC1,所以ABBC1,又ABBC,所以CBC1是二面角C1ABC的平面角,即CBC1,在RtADC中,sin=CDAC,在RtCDB中,sin=CDBC,又BCAC,得sinsin,又

35、(0,2),(0,2),所以21(12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sinB+cosB=b+ca(1)求A;(2)若点D在边BC上,且ADBD3,CD2,求b【解答】解:(1)由题意及正弦定理可得3sinB+cosB=sinB+sinCsinA,即3sinBsinA+cosBsinAsinB+sinCsinB+sin(B+A),即3sinBsinA+cosBsinAsinB+sinBcosA+cosBsinA,整理可得3sinBsinAsinB+sinBcosA,在ABC中,sinB0,所以3sinAcosA1,即sin(A-6)=12,因为A(0,),可得A-6=

36、6,解得A=3;(2)在ABC,A=3,ADBD3,CD2,BCBD+CD3+25,由余弦定理可得BC2AB2+AC22ABACcosBAC,即25AB2+AC2ABAC,因为cosADCcosADB,在ABD中,AB2BD2+AD22ADBDcosADB9+9233cosADB1818cosADB,在ACD中,AC2CD2+AD22ADCDcosADC4+9+232cosADB13+12cosADB,2+3可得2AB2+3AC275,由可得AC=577即b=57722(12分)如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为CC1的中点,经过A,D1,E三点的平面记为平面,点P是侧面

37、BCC1B1内的动点,且A1P(1)设平面BCC1B1l,求证:AD1l;(2)平面将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分,求这两部分的体积之比V1V2(其中V1V2);(3)当A1P最小时,求三棱锥PAA1D1的外接球的表面积【解答】证明:(1)连接BC1,因为ABD1C1且ABD1C1,所以ABC1D1为平行四边形,所以AD1BC1,AD1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以AD1平面BCC1B1,又平面BCC1B1l,AD1平面,所以AD1l;解:(2)在正方形DCC1D1中,直线D1E与直线DC相交,设D1EDCF,连接AF,设BCAFG,连接GE,由E为CC1的中点,得

38、G为BC的中点,EGAD1,所以平面AGED1即为平面,因为E为CC1的中点,所以C为DF的中点,所以平面将正方体分成两部分,其中一部分是三棱台CGEDAD1,因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,所以V1=V棱台CGE-DAD1=VF-DAD1-VF-CGE=78VF-DAD1=7813SDAD1FD=781312448=563,另一部分几何体的体积V2=43-563=1363,两部分的体积V1V2=717;(3)取B1C1的中点N,BB1的中点M,连接MN、ME、A1M、A1N,显然MNBC1,EGBC1,所以MNEG,MN平面AGED1,EG平面AGED1,所以MN平面AGED1

39、,又E为CC1的中点,所以MEB1C1且MEB1C1,又A1D1B1C1且A1D1B1C1,所以A1D1ME且A1D1ME,所以A1D1EM为平行四边形,所以A1MD1E,A1M平面AGED1,D1E平面AGED1,所以A1M平面AGED1,又A1MMEM,A1M,ME平面A1MN,所以平面A1MN平面AGED1,又点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P,所以P在线段MN上,又A1N=A1M=42+22=25,即A1MN为等腰三角形,所以当P为MN的中点时A1P最小,因为AA1D1为等腰直角三角形,所以其外接圆的圆心为斜边AD1的中点,设为Q,令MEBC1H,则H为BC1的中点,连接QH,则QHAB,所以QH平面AA1D1,所以球心在QH上,设球心为O,连接OD1、OP、PH,设外接球的半径为R,OQh,则OD1OPR,又D1Q=12AD1=22,PH=2,所以R2=h2+(22)2,R2=(4-h)2+(2)2,解得h=54,则R2=15316,所以外接球的表面积S=4R2=1534第22页(共22页)