1、 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度第二学期高一年级期末联考学年度第二学期高一年级期末联考 数学数学 考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分本试卷分选择题和非选择题两部分.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题
2、请用直径应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：三角函数及恒等变形，平面向量，复数，立体几何本卷命题范围：三角函数及恒等变形，平面向量，复数，立体几何.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若向量,a b是
3、两个单位向量，则（）A.22|ab=B.22ab C.0ab=D.1a b=2.已知直线a与平面没有公共点，直线b，则a与b的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 3.计算：sin20 sin80cos20 cos80+=（）A.12 B.12 C.32 D.32 4.若向量()()2,3,1,1ab=，则b在a上的投影向量的坐标是（）A.23,1313 B.23,13 13 C.23,13 13 D.23,1313 5.将函数4sin2yx=的图象向左平移16个单位长度后得到函数()yg x=的图象，再把函数()yg x=的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保
4、持不变），得到函数()yh x=的图象，则函数()yh x=的图象的一条对称轴的方程为（）A.332x=B.764x=C.964x=D.932x=学科网（北京）股份有限公司 6.若10sin45+=，则sin2=（）A.15 B.15 C.15或15 D.55 7.已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+在区间()0,上有且仅有 3 个零点，则（）A.()f x在区间0,上有且仅有 4 条对称轴 B.()f x的最小正周期可能是2 C.的取值范围是11 15,44 D.()f x在区间0,15上单调递增 三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
5、15 分分.12.已知ABCD中，E是线段CD上靠近D的三等分点，若BEABAD=+，则+=_.13.在正方体1111ABCDABC D中，直线AC与1AB所成角的大小为_.（用角度表示）14.已知O为ABC所在平面内一点，且满足OA OBOB OCOA OC=，则O是ABC的_心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）已知O为坐标原点，()()()4,0,1,0,3ABmC.（1）若,A B C三点共线，求实数m的值；（2）
6、若点M满足()2OMxOAx OC=+，求OM 的最小值.16.（本小题满分 15 分）已知角的终边经过点()4,3,为第一象限角，2 5cos5=.（1）求()sin的值；（2）求()tan 2的值.17.（本小题满分 15 分）如图，四棱柱1111ABCDABC D的底面ABCD是正方形，11A ABA AD=.学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面1ABD平面11CD B；（2）证明：平面1ABD 平面11ACC A.18.（本小题满分 17 分）已知函数()2sin3cos sin1f xxxx=+.（1）求()f x的单调递增区间；（2）在锐角ABC中，角,A B C所对的边分
7、别为,2a b c b=，且()12fA=，求ABC面积的取值范围.19.（本小题满分 17 分）若,A B C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：ABAC=；存在异于点A的点G使得：AG与ABAC+同向且32AG ABAGAB=，则称点,A B C为可交换点组.已知点,A B C是可交换点组.（1）求BAC；（2）若()()()1,0,2,3,(0)ABC x yy，求C的坐标；（3）记,a b c中的最小值为min,a b c，若()12 3,3ABAGABAC=+，点P满足1PG=，求min,PA PB PB PC PC PA 的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 20232
8、024 学年度第二学期高一年级期末联考数学学年度第二学期高一年级期末联考数学 参考答案参考答案提示及评分细则提示及评分细则 1.A 由单位向量的定义可知，1ab=，即22|ab=，且2222|,|aabb=，故 A 正确，B 错误；因为,a b方向和夹角不确定，故 CD 错误.故选 A.2.D 依题意可知a，而b，所以,a b没有公共点，a与b可能异面或平行，所以 D 选项正确.故选 D.3.B ()1sin20 sin80cos20 cos80cos 80202+=.故选 B.4.C b在a上的投影向量为()()2213 1232,3,13 13(13)a baaa+=.故选 C.5.A 将
9、函数4sin2yx=的图象向左平移16个单位长度后得到函数()4sin24sin 2168g xxx=+=+，再把函数()yg x=的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()4sin 48h xx=+，令4,82xkk+=+Z，解得3,324kxk=+Z，所以函数()yh x=的图象的一条对称轴的方程为332x=.故选 A.6.A 因为()210sinsincos425+=+=，所以2 5sincos5+=，则24(sincos)12sin cos5+=+=，所以1sin22sin cos5=.故选 A.7.D 由图知，T=，则22=.由图可得，()f x在6x=处
10、取得最大值，又因为图象经过,012，故()sin0,126fAf x=+=在,012上单调递增，所以2,6kk+=Z，故2 6k=+，kZ，又因为2，令,4xkk+=Z，则()41,4kxk=Z，函数 学科网（北京）股份有限公司()f x在区间()0,上有且仅有 3 个零点，即()41 04k有且仅有 3 个整数k符合，由()41 04k，得0414k，则1,2,3k=，即11154 3 144 4 1,44 ，故 C正确；对于 A，(0,3,44444xx+.当73,42+时，()f x在区间0,上有且仅有 3 条对称轴；当7,442+时，()f x在区间0,上有且仅有 4 条对称轴，故 A
11、 错误；对于 B，周期2T=，由111544，则41488,15111511T，又8 8,215 11，所以()f x的最小正周期不可能是2，故 B 错误；对于 D，0,1544 154xx+，又11 15,44，13,154302+，所以()f x在区间0,15上单调递增，故 D 正确.故选 CD.12.13 2233BEBCCEADCDABAD=+=+=+，所以21133+=+=.13.60 连接11,CD AD，易知1AB1DC，所以1ACD即为AC与1AB所成的角或其补角，易知1ACD为等边三角形，故所求角为60.14.垂 因为()00OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCA
12、=，同理,OACB OCAB，故O为ABC的垂心.15.解：（1）由题意得()()3,1,3ABmBCm=，若,A B C三点共线，则()()3 310mm=，解得94m=.（2）由题意得()()4,0,0,3OAOC=，()()24,63OMxOAx OCxx=+=，学科网（北京）股份有限公司 则222221857657616(63)25363625252525OMxxxxx=+=+=+，所以245OM，当且仅当1825x=时等号成立，即OM 的最小值为245.16.解：（1）角的终边经过点()4,3,为第一象限角，2 5cos5=，2224435cos,sin,sin1 cos555(4)
13、3=+()32 5452 5sinsin coscos sin55555=（2）由（1）得，sin3sin1tan,tancos4cos2=，232tan242tan291tan7116=，()241tan2tan1172tan 22411tan2 tan2172=+.17.证明：（1）由题设知1BB111,DD BBDD=，所以四边形11BB D D是平行四边形，所以BD11B D.又BD 平面1111,CD B B D 平面11CD B，所以BD平面11CD B.因为11AD11,BC ADBC=，所以四边形11ABCD是平行四边形，所以1AB1DC.又1AB 平面111,CD B DC
14、平面11CD B，所以1AB平面11CD B.学科网（北京）股份有限公司 又因为11,BDABB BD AB=平面1ABD，所以平面1ABD平面11CD B.（2）因为四边形ABCD为正方形，所以,ACBD ABAD=.因为11A ABA AD=，所以可得11A ABA AD，则11ABAD=.设ACBDO=，连接1AO.易知O为BD中点，则1AOBD，因为11,ACAOO AC AO=平面11ACC A，所以BD 平面11ACC A，又BD 平面1ABD，所以平面1ABD 平面11ACC A.18.解：（1）()23111sin3sin cos1sin2cos2sin 222262f xxx
15、xxxx=+=，由2 22,262kxkk+Z，得,63kxkk+Z，故()f x的单调递增区间为,63kkk+Z.（2）()1,sin 2126fAA=，又0,2A，得262A=，即3A=.2sin,sinsinsincbCcCBB=，ABC的面积3sin13sin333sin2sinsin22tanABCBCSbcABBB+=+，0,20,32BB解得62B，学科网（北京）股份有限公司 故3332 3222tanB+，则()2cosABACABABAB ACGABAG ABAG AB+=，()2cosABACACACAB ACGACAG ACAG AC+=，又,0,GABGAC，因为ABA
16、C=，所以coscosGABGAC=，所以GABGAC=，由32AG ABAGAB=，得3cos2GAB=，又0,GAB，所以,63GABBACGABGAC=+=.（2）由（1）知,3ABACBAC=.所以ABBC=，因为()()()1,0,2,3,0ABC x yy，所以()()()3,3,1,2,3ABACxyBCxy=+=，则2222(1)12,(2)(3)12,xyxy+=+=解得1,2 3,xy=所以C的坐标为()1,2 3.（3）设BC的中点为D，则()12ADABAC=+，又()13AGABAC=+，所以23AGAD=，即G为ABC的重心，又ABC是正三角形，点G是ABC的中心，
17、学科网（北京）股份有限公司 所以2,2,03AGBBGCCGAGAGBGCGAGBGC=+=，由对称性，不妨设GC与GP 的夹角为,0,3，如图所示，()()()2PA PBGAGPGBGPGA GBGAGBGPGP=+22 2 cos112cos3GC GP=+=+，由图可知，GB 与,GP GA 与GP 的夹角分别为22,33+，所以,PB PC PC PA 的值分别为2212cos,12cos33+，当0,3时，22coscoscos33+，所以2min,12cos3PA BP BP PC PC PA=+，其取值范围是3,2，所以min,PA PB PB PC PC PA 的取值范围是3,2.
