1、 第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司【新结构】【新结构】2023-2024 学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是()A.通过圆台侧面一点，有无数条母线 B.棱柱的底面一定是平行四边形 C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形 D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2.的值是()A.B.C.D.3.设复数 z满足，z在复平面内对应的点为，则()A.B.C.D.4.已知，则(
2、)A.1 B.C.2 D.或 2 5.已知 m，n 为异面直线，平面，平面，直线 l满足，则()A.且 B.且 C.与相交，且交线垂直于 l D.与相交，且交线平行于 l 6.已知函数图象为 C，为了得到函数的图象，只要把 C 上所有点()A.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 第 2 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知，则向量在向量上的投影向量的坐标
3、为()A.B.C.D.8.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知集合，其中 i为虚数单位，则下列元素属于集合 M 的是()A.B.C.D.10.已知，满足：对任意，恒有，则()A.B.C.D.11.如图，在棱长均相等的正四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N 分别为侧棱 PA，PB的中点，则下列结论中正确的是()A.平面 OMN B.平面平面 OMN C.D.直线 PD 与直线 MN 所成的角的大
4、小为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知 i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 a的值为_.第 3 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 13.如图所示为水平放置的正方形 ABCO，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到轴的距离为_.14.已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数 c的取值范围是_.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题 13分 已知复数，为虚数单位 求复数 若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数 m的取值范围.16.本小题 1
5、5分 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P为 DO上一点，证明：平面平面 设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积.17.本小题 15分 第 4 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 平面内有向量，点 Q为直线 OP上的一个动点.当取最小值时，求的坐标;当点 Q满足的条件和结论时，求的值.18.本小题 17分 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A 为单位圆与 x轴正半轴的交点，点 M为单位圆上的一点，且，点 M 沿单位圆按逆时针方向旋转 角后到点 当时，求的值;设，求的取值范围.19.本小题 17分 已知三棱锥的棱 AP、AB、AC 两两互相垂直，且 若点
6、M、N 分别在线段 AB、AC上，且，求二面角的余弦值;若以顶点 P为球心，8 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少?第 5 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，考查了柱锥台的基本概念，难度不大，属于基础题 根据柱锥台的相关概念逐一分析四个答案结论的真假，可得答案【解答】解：对于 A，经过圆台侧面上一点只有一条母线，A 错误；对于 B，棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，B 错误；对于 C，圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，因为是轴截面，所以都是全等的 等腰三角形，三角形
7、的底边是圆锥的底面圆的直径，三角形的两腰是圆锥的母线，正确；对于 D，用一个平面平行于棱锥底面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，D错误；故选：2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果【解答】解：故选：3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查复数的模及复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题 由 z 在复平面内对应的点为，可得，然后根据即可得解【解答】第 6 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 解：由已知，x，则由，可得，即，可得 故选 4.【答案】C 【
8、解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积运算，向量的模，属于基础题.利用代入计算即可.【解答】解：故选 5.【答案】D 【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，属于中档题.由题意可得，再利用反证法证明与相交即可.【解答】解：由平面，直线 l满足，且，所以 又平面，所以 由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若，则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于 故选 6.【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换，熟练掌握平移与伸缩变换的法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 根据三角函数图象的平移与伸缩变换
9、的法则，分先平移再伸缩和先伸缩再平移两种情况，求解即可 第 7 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，或：先将函数图象向右平移个单位长度得到，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，故选 7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查向量的投影向量，掌握向量的投影向量的定义是解题关键 求出，再根据投影向量的定义求得答案.【解答】解：，则向量在向量上的投影向量为，故选 8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查由正弦型函数的最值求参，属于中档题 分两种情况研究的取值，
10、当时，可得，求出的值；时，得到，构造两个函数，利用两个函数图象的交点进行分析判断，即可得到答案【解答】解：函数在区间上的最大值为，解得：，第 8 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司，若，即时，在单调递增，令，在同一坐标系内作，的图象，由图象观察，内两个函数图象有且仅一个交点，则此交点的横坐标 m即为唯一符合条件的值；若，即时，满足要求.综上知满足条件的共有两个.故选 9.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查复数的乘除运算，属中档题.【解答】解：根据题意，当时，当时，当时，当时，选项 A中，第 9 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 选项 B中，选项 C中，选项 D中，10
11、.【答案】BC 【解析】【分析】本题考查向量的模和向量的数量积，属于中档题.根据已知条件得到恒成立，转化为，即，化简计算即可得解.【解答】解：对任意，恒有，恒成立，即恒成立，即，即，即，即，所以 B正确，D 错误；，正确，A 错误.11.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成角，属于中档题.利用相关知识逐项去判断即可.【解答】解：连接 AC，则 O为 AC中点，第 10 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 因为 M 为 PA 中点，所以，因为，则平面 OMN，故 A正确；由已知，则平面 OMN，又因为，所以平面平面
12、OMN，故 B正确；设棱长为 a，因为底面为正方形，则，则，所以，因为，所以，故 C正确；由于 M，N 分别为侧棱 PA，PB 的中点，又四边形 ABCD 为正方形，直线 PD 与直线 MN 所成的角即为直线 PD 与直线 CD 所成的角，即，又为等边三角形，故 D错误.故选 12.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的运算和复数的概念，是基础题.先由复数的运算化简，再由纯虚数的定义可得 a的值.【解答】解：由是纯虚数，得且，解得 13.【答案】第 11 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查了斜二测画法，是基础题.根据斜二测画法可得结果.【解答】解：在直观图中
13、，故点到轴的距离为 14.【答案】【解析】【分析】本题考查了三角恒等变换和三角函数性质，是中档题.先得出，由三角恒等变换得，再结合三角函数性质对 c 进行分类讨论可得实数 c的取值范围.【解答】解：由，知，当时，当时，只需，得，又，当时，成立，适合;当时，要使，只需，综上知 15.【答案】解：，在复平面内所对应的点在第四象限，第 12 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司，解得，故实数 m 的取值范围是 【解析】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，是基础题.根据复数的四则运算法则直接计算即可.根据复数的运算和复数的几何意义求解即可.16.【答案】解：由题设可知，由于是正三角形，
14、故可得，又，故，从而，又，平面 PAC，故平面 PAC，平面 PAB，所以平面平面 设圆锥的底面半径为 r，母线长为由题设可得，解得，从而 由可得，故 所以三棱锥的体积为 【解析】本题考查面面垂直的判定，棱锥的体积，圆锥的结构特征，属于中档题.17.【答案】解：设，点 Q 在直线 OP上，向量与共线 又，第 13 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司，即 又，同样 于是 当时，有最小值，此时 当，即时，有，【解析】本题考查平面向量的数量积，向量的坐标运算，二次函数的最值.因为点 Q 在直线 OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据的最小值，求得的坐标；是与夹角的余弦，利
15、用数量积的知识易解决 18.【答案】解：由三角函数的定义可得，当时，即，；，第 14 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司，则，即的取值范围为 【解析】本题考查任意角三角函数的定义和三角函数的恒等变换，以及三角函数的求值，考查运算能力，属于基础题 根据三角函数的定义结合两角和差的正弦公式、诱导公式化简可得的值；逆用两角差的正弦公式可得，结合角 的取值范围可求得的取值范围.19.【答案】、AB、AC两两垂直，面 ABC，过 A 作于 D，连 PD，则即为的平面角，在中，以 P 为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧，平面 ABC 与球面相交所成弧是以 A为圆心，4 为半径的圆弧，平面 PAB 与球面相交，得到的弧是以 P为圆心，8 为半径，圆心角的弧 平面 PAC 与球面相交所得到弧长与情况相同，长度为 平面 PBC 与球面相交得到弧长，第 15 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 交线长 【解析】本题考查了二面角和空间几何体的截面问题，是中档题.过 A 作于 D，连 PD，则即为的平面角，计算即可；以 P 为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧，分别研究与各面相交弧长，相加即可.
