1、2023年山东省泰安市高新区中考一模数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得4分）1. 比较实数，2，的大小，其中最小的实数为（ ）A. 0B. C. 2D. 1.72. 下列计算正确的是（ ）A B. C. D. 3. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 为了了解学生学科作业量，某中学对部分周末学科作业的时间进行抽样调查，
2、结果如下表：时间（小时）1234学生人数（人）31296关于“周末做学科作业时间”这组数据说法错误是（ ）A. 众数是12B. 平均数是2.6C. 中位数是2.5D. 方差是0.847. 如图，在ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AHBC于H，FD=12，则HE等于( )A. 24B. 12C. 6D. 88. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著九章算术第八卷方程中一道名题原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换
3、位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ）A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点，在上，交于点若则的度数为（ ）A. B. C. D. 10. 某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，请求出点到的距离（ ）（参考数据，）A. 140B. 340C. 360D. 48011. 如图，在平行四边形中，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连接、，则下列结论：，四边形为平行四边形其中正确的有（ ）A.
4、B. C. D. 12. 如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，点，则长度的最小值是（ ）A. B. C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，满分24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13. 人体红细胞的直径约为，用科学记数法表示为_14. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形若O90，OA2，则阴影部分的面积为_15. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则EBG的周长是_cm.16. 如图，是半圆O直径，弦相交于点P，且是一元二次方程的两根，则是_17
5、. 已知二次函数的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x013255下列结论：点B的坐标是；这个函数的最大值大于5；有一个根在4与5之间；当，时，其中正确的为_（将所有正确结论的序号都填入）18. 观察下列等式：；已知按一定规律排列的一组数：，若，则_（结果用含m、n的代数式表示）三、解答题（共7小题，满分78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19. 计算：先化简，再求值：，其中x是满足条件的非负整数20. 五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查
6、。该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：A去淄博吃烧烤；B去济南南部山区：C去登泰山；D泰安周边游；E宅在家里已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，回答下列问题：（1）本次接受调查的学生共有_人； _； _；（2）补全条形统计图；（3）若该校学生有640人，试估计只选C去登泰山的学生有多少人？（4）该社团计划从5人中（A去淄博吃烧烤的2人，D泰安周边游3人）随机抽取2人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选2人既有A去淄博吃烧烤的同学又有D泰安周边游同学的概率21. 已知直线与双曲线交于点A
7、、B，过点B作直线的平行线，并与x轴交于点C，且点A的横坐标是a，点B的横坐标是（1）求k的值；（2）连接，求的面积22. 夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月份该型号空调的销售总额将增加25%该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：A型号B型号进货价格（元/台）11001400销售价格（元/台）今年的销售价格2400（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且
8、B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？23. 矩形ABCD中，DE平分ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PEPD），PMPD，PM交AD边于点M（1）若点F是边CD上一点，满足PFPN，且点N位于AD边上，如图1所示求证：PN=PF；DF+DN=DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PFPN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线如
9、图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C且（1）求抛物线的解析式；（2）若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D求的最大值；连接，当与相似时，求点P坐标25. 【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDFBAD，AE2，DF5，求菱形ABCD边长 2023年山东省泰安市高新区中考一模数学试题一
10、、选择题（本大题共12小题，每小题选对得4分）1. 比较实数，2，的大小，其中最小的实数为（ ）A. 0B. C. 2D. 1.7【答案】B【解析】【分析】先计算零指数幂和8的立方根，再比较各数的大小【详解】解：，最小的实数为，故选：B【点睛】本题考查了实数的大小比较，还涉及了零指数幂和立方根，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、平方差公式、算术平方根的定义逐项判断即可【详解】解：A，故该选项计算错误，不合题意；B，故该选项计算正确，符合题意；C，故该选项计算错误，不合题意；D，故
11、该选项计算错误，不合题意；故选B【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、平方差公式、算术平方根等知识点，属于基础题，熟练掌握运算法则并正确计算是解题的关键3. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析【详解】解：A原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；B原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；D原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意故选：C【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定
12、义在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形4. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小立方块数目分别为2，2，3，从而可以确定答案【详解】解：从左面看，最左面一列能看到2个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到3个小立方块即左视图为：故选：C【点睛】本题考查几何体的三视图，掌握左视
13、图是从左面看到的图形是关键5. 如图，的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作，由平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由平行线的性质得出即可【详解】解：作，如图， ，为等腰三角形，故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键6. 为了了解学生学科作业量，某中学对部分周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如下表：时间（小时）1234学生人数（人）31296关于“周末做学科作业时间”这组数据说法错误的是（ ）A. 众数是12B. 平均数是2.6C. 中位数是2.5D.
14、 方差是0.84【答案】A【解析】【分析】根据众数，平均数，中位数，方差的定义求值判断即可；【详解】解：调查数据中，作业时间为2小时的人数最多，众数是2；一共调查了31296=30（人），中位数应该是第15人（2小时）和16人（3小时）的平均作业时间，中位数=2.5；平均数=（132123946）=2.6；方差=3（12.6）212（22.6）29（32.6）26（42.6）2=0.84；综上所述，选项A说法错误，符合题意，故选：A；【点睛】本题考查数据的分析；众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据；中位数就是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
15、置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；当一组数据中有数据重复出现时，如在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（f1f2fk=n），那么这n个数据的平均数可表示为，这个平均数也叫做加权平均数，其中f1，f2，fk分别叫做x1，x2，xk的权；在一组数据x1，x2，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用s2表示，即；掌握其概念是解题关键7. 如图，在ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AHBC于H，FD=12，则HE等于( )A. 24B. 12C. 6D. 8【答案】B
16、【解析】【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【详解】解：D、F是BC、AB的中点，AC=2FD=212=24，E是AC的中点，AHBC于点H，EH=AC=12故选B【点睛】本题考查的知识点：三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识较简单8. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著九章算术第八卷方程中一道名题原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，
17、重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得【详解】解：由题意，可列方程为，故选：C【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键9. 如图，是的直径，点，在上，交于点若则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据圆周角定理得到，再根据等弧所对的弦相等，得到，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到CAD=，BAG=，即可求解【详解】解：是的直径故
18、选：B【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键10. 某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，请求出点到的距离（ ）（参考数据，）A. 140B. 340C. 360D. 480【答案】D【解析】【分析】作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形，设，则，在中，则，在中，由题意得，解得，即点到的距离约为480，故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三
19、角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键11. 如图，在平行四边形中，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连接、，则下列结论：，四边形为平行四边形其中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出即可得出，进而得出即可判断出正确；进而判断出正确，同的方法判断出，进而得出，即可求出，即可得出错误；利用平行四边形的面积公式求出平行四边形的面积，再判断出即可【详解】解：四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线的交点，在和中，所以正确；，四边形为平行四边形，所以正确；四边形是平行四边形，在和中，所以正确；过点作于，在中， ，又，
20、所以正确；即：正确的有，故选：A【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出和12. 如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，点，则长度的最小值是（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的长度，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值【详解】解：以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小 当时，点的坐标为；当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为又点的坐标为，故
21、选：D【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离半径该点到圆心的距离是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，满分24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13. 人体红细胞的直径约为，用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，据此进行表示即可【详解】；故答案为：【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键14. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到O
22、B的中点处，得到扇形若O90，OA2，则阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图是OB的中点, OA2，90，将扇形AOB沿OB方向平移，阴影部分的面积为故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键15. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则EBG的周长是_cm.【答案】16.【解析】【分析】首先根据勾股定理求出EF的长度，然后证明AEFBGE,则，即EBG的周长为EG+B
23、G+4.【详解】设EF=xEF=DFDF=x则AF=8x；而AE=4由勾股定理得：x=5AF=85=3由题意得：GEF=D=90,A=B=90AEF+AFE=AEF+BEGAFE=BEGAEFBGEEG=,BG=EBG周长=+4=16.故答案为16.【点睛】本题考查勾股定理及相似三角形的性质，求出三边的长度即可解决问题16. 如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，且是一元二次方程的两根，则是_【答案】【解析】【分析】连接，解方程求出的长，证，根据相似三角形的性质得到DP与的关系，即可求解.【详解】如图，连接，解方程，得，即，.，.为半圆O的直径，.【点睛】本题是一道一元二次方程、圆、相似三角形、
24、三角函数综合题，掌握解一元二次方程的方法，及圆的性质，相似三角形的性质及判定及三角函数的求法是关键.17. 已知二次函数的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x013255下列结论：点B的坐标是；这个函数的最大值大于5；有一个根在4与5之间；当，时，其中正确的为_（将所有正确结论的序号都填入）【答案】【解析】【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解【详解】解：将，代入得，解得，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，这个函
25、数的最大值大于5，正确当时，点坐标为，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，点坐标为，错误对于，当时，当时，与x轴有一个交点在4与5之间，方程有一个根在4与5之间，故正确；，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，故正确故答案为：【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系18. 观察下列等式：；已知按一定规律排列的一组数：，若，则_（结果用含m、n的代数式表示）【答案】【解析】【分析】根据规律将所求式子变形为，再变形代入即可【详解】解：由题意可得：，故答案为：【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应
26、用发现的规律解决问题解决本题的难点在于得出规律：三、解答题（共7小题，满分78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19 计算：先化简，再求值：，其中x是满足条件的非负整数【答案】，1【解析】【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法进行化简，求出不等式的非负整数解，代入求出即可【详解】解：，解得：，x不能取1和2，代入，原式【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，解一元一次不等式，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键20. 五一将至，学校某社团对学生“最想去的地方”进行问卷调查。该社团在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查：A去淄博吃烧烤；B去济南南部山区：C去登泰山；D
27、泰安周边游；E宅在家里已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，回答下列问题：（1）本次接受调查的学生共有_人； _； _；（2）补全条形统计图；（3）若该校学生有640人，试估计只选C去登泰山的学生有多少人？（4）该社团计划从5人中（A去淄博吃烧烤的2人，D泰安周边游3人）随机抽取2人为同学们分享游玩趣事，请用列表法或画树状图的方法所选2人既有A去淄博吃烧烤的同学又有D泰安周边游同学的概率【答案】（1）200，144，20 （2）见解析 （3）128 （4）【解析】【分析】（1）用选择A，B，C，E的总人数除以对应百
28、分比可得调查的人数，再用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可求得；用本次调查中选择的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得，即可得出答案（2）用本次调查的学生人数分别减去选择，的学生人数，可求出选择的学生人数，补全条形统计图即可（3）用640乘以“去登泰山”所占的百分比即可；（4）画树状图得出所有等可能的结果数和所选2人既有A去淄博吃烧烤的同学又有D泰安周边游同学的结果数，再利用概率公式可得出答案【小问1详解】解：本次接受调查的学生共有（人），即；，即；【小问2详解】（人）补全条形统计图如图所示【小问3详解】（人），估计只选C去登泰山的学生有128人；【小问4详解】设去淄博吃烧烤的
29、2人分别为A，B，去泰安周边游的3人分别为C，D，E，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中既有去淄博吃烧烤的同学又有泰安周边游的结果有：12种，所选2人中既有去淄博吃烧烤的同学又有泰安周边游的概率为【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、样本估计总体、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键21. 已知直线与双曲线交于点A、B，过点B作直线的平行线，并与x轴交于点C，且点A的横坐标是a，点B的横坐标是（1）求k的值；（2）连接，求的面积【答案】（1）12 （2）9【解析】【分析】（1）设点的坐标为，得到点B坐标，根据A，B都在反比例函数图象上
30、，可得，求出a值，可得点A，点B坐标，即可求出k值；（2）求出的表达式，再根据，设，根据点B坐标，求出b值，再求出点C坐标，利用三角形面积公式计算结果【小问1详解】解：设点的坐标为，则，点，都在反比例函数的图象上，解得：（舍）或，；【小问2详解】设，将代入，则，设，将代入，得：，令，则，【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，求三角形的面积，正确理解题意，弄清数量关系是解题的关键22. 夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年7月份销售某品牌A型号空调总额为32万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了400元若今年7月份与去年7月份该型号空调销售量相同，则今年7月
31、份该型号空调的销售总额将增加25%该品牌A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：A型号B型号进货价格（元/台）11001400销售价格（元/台）今年的销售价格2400（1）求今年7月份该品牌A型号空调的销售单价；（2）商行准备购入该品牌A型号空调和B型号空调共400台，且B型号空调进货数量不超过A型号空调数量的2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？【答案】（1）2000元 （2）A型号空调134台，B型号空调266台【解析】【分析】（1）设去年7月份A型空调每台销售价x元，那么今年7月份A型空调每台销售（x400）元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题；（2）设今年7月份进A型
32、空调m台，则B型空调（400m）台，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题【小问1详解】解：设去年7月份该品牌A型号空调销售价为每台x元，那么今年7月份A型号空调每台销售（元），根据题意得，解得：，经检验，是原方程的解，当时，答：今年7月份该品质A型号空调销售价为每台2000元；【小问2详解】解：设进该品质A型号空调m台，则B型号空调台，获得的总利润为y元，根据题意得，解得：，的系数，y随m的增大而减小，当时，可以获得最大利润，答：进货方案是A型号空调134台，B型号空调266台.【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是
33、：（1）根据单价总价数量，列出关于x的分式方程；（2）根据总利润单辆利润购进数量，找出w关于m的函数关系式23. 矩形ABCD中，DE平分ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PEPD），PMPD，PM交AD边于点M（1）若点F是边CD上一点，满足PFPN，且点N位于AD边上，如图1所示求证：PN=PF；DF+DN=DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PFPN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，结合已知条件可证PMNPD
34、F，则可证得结论；由勾股定理可求得DM=DP，利用可求得MN=DF，则可证得结论；（2）过点P作PM1PD，PM1交AD边于点M1，则可证得PM1NPDF，则可证得M1N=DF，同（1）的方法可证得结论【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，ADC=90又DE平分ADC，ADE=EDC=45；PMPD，DMP=45，DP=MPPMPD，PFPN，MPN+NPD=NPD+DPF=90，MPN=DPF在PMN和PDF中， ，PMNPDF（ASA），PN=PF，MN=DF；PMPD，DP=MP，DM2=DP2+MP2=2DP2，DM=DP又DM=DN+MN，且由可得MN=DF，DM=DN+DF，DF
35、+DN=DP；（2）理由如下： 过点P作PM1PD，PM1交AD边于点M1，如图，四边形ABCD是矩形，ADC=90又DE平分ADC，ADE=EDC=45；PM1PD，DM1P=45，DP=M1P，PDF=PM1N=135，同（1）可知M1PN=DPF在PM1N和PDF中，PM1NPDF（ASA），M1N=DF，由勾股定理可得：=DP2+M1P2=2DP2，DM1DPDM1=DNM1N，M1N=DF，DM1=DNDF，DNDF=DP【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识在每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的
36、应用本题考查了知识点较多，综合性较强，难度适中24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C且（1）求抛物线的解析式；（2）若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D求的最大值；连接，当与相似时，求点P的坐标【答案】（1） （2）PD最大值为；P坐标为或【解析】【分析】(1)先求出OC=2，设OB=x(x0)，则OA=4OB=4x，由“黄金”抛物线定义得到，进而得到4=4x，求出OB=1，OA=4，代入B(1,
37、0)，A(-4，0)到求出a和b即可；(2)过P点作PHx轴于H点，交AC于E点，得到，进一步得到，由此将PD最大值转化为PE最大值；再设，则，进一步得到即可求解；分当时和当时两种情况讨论即可【小问1详解】解：令中x=0，则y=2，故OC=2，设OB=x(x0)，则OA=4OB=4x，为“黄金”抛物线，代入数据：4=4x，解得x=1(负值舍去)，OB=1，OA=4，B(1,0)，A(-4，0)代入中，解得，抛物线解析式为【小问2详解】解：过P点作PHx轴于H点，交AC于E点，如下图所示：则PDE=DHA=90，PED=AEH，P=CAO，即故要使得最大，只要PE最大即可，接下来求PE的最大值，
38、设直线AC的解析式为：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，解得：，直线AC解析式为：，设，则，P为上方抛物线上的动点，当时，有最大值为2，此时PD有最大值为，故PD的最大值为分类讨论：情况一：当时，此时，如下图所示：此时轴，P点与C点纵坐标相等为2，将代入中：，解得，(舍去)，此时坐标为；情况二：当时，如下图所示：此时AC为PCO的角平分线，将ACO沿AC翻折，使得点O落在点G处，此时G、P、C三点共线，设G(x，y)，则GO的中点I坐标为在直线AC：上，将I点坐标代入AC解析中得到：，整理得到：，由折叠得到GC=OC，联立、两式解得或(舍去)，设直线GC解析式为：，代入和，解得，
39、直线GC解析式为：，与二次函数联立得：，解得或，又P在第二象限，故舍去，此时P坐标为，综上所述，P坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像及性质，三角函数求值，相似三角形的性质等，熟练掌握二次函数的图像性质及相似三角形的性质是解题的关键25. 【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDFBAD，AE2，DF5，
40、求菱形ABCD边长 【答案】（1）见解析；（2）AD；（3）52【解析】【分析】（1）根据题意证明ADCACB，即可得到结论；（2）根据现有条件推出BFEBCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证EDFEGD，可得，根据EGAC2EF，可得DEEF，再根据，可推出DGDF=5，即可求出答案【详解】解：（1）证明：ACDB，AA，ADCACB，AC2ADAB；（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBECBF，BFEBCF，BF2BEBC，BC=，AD；（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，四边形ABCD是菱形，ABDC，BACBAD，ACEF，四边形AEGC为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDFBAD，EDFBAC，EDFG，又DEFGED，EDFEGD，DE2EFEG，又EGAC2EF，DE22EF2，DEEF，又，DGDF=5，DCDGCG52【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键
