1、2020 年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷 一、 选择题 （每小题一、 选择题 （每小题 4 分， 满分分， 满分 48 分以下每小题均给出了代号为分以下每小题均给出了代号为 A， B， C， D 的四个选项，的四个选项， 其中有且只有一个选项是正确的）其中有且只有一个选项是正确的） 1 （4 分）下列各组数中，相等的是（ ） A9 和 B|9|和（9） C9 和|9| D9 和|9| 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） A （a2b）2a2b2 Ba6a2a3 C （3xy2）26x2y4 D （m）7（m）2m5 3 （4 分）某种冠状病毒的平均直
2、径是 125nm，而 1nm10 9m，则 125nm 用科学记数法表 示是（ ） A1.2510 9m B12.510 8m C1.2510 7m D0.12510 6m 4 （4 分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 （4 分）某校一九年级毕业班为了了解学生 100 米跑的训练情况，对全班学生进行了一次 测试，测试结果如条形统计图所示，则测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A85 分，90 分 B90 分，90 分 C90 分，95 分 D95 分，95 分 6 （4 分）如图，直线 ab，CDAB 于点 D，若140，则2 为（ ） A140 B1
3、30 C120 D50 7 （4 分）关于 x 的分式方程+1 的解为非负数，则二次函数 ya212a+39 的最 小值是（ ） A4 B3 C4 D3 8 （4 分）如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最大值是（ ） A3 B C D4 9 （4 分）如图，函数 yax22x+1 和 yaxa（a 是常数，且 a0）在同一平面直角坐 标系的图象可能是（ ） A B C D 10 （4 分）如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OAOB OC2，
4、则这朵三叶花的面积为（ ） A33 B36 C63 D66 11 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OGAB，垂足为 G，延长 GB至点E， 使得GEBC， 连接OE交BC于点F 若 AB12， BC8， 则 BF 的长为 （ ） A1 B C D2 12（4 分） 将抛物线 yx2x+2 （x0） 沿 y 轴对折， 得到如图所示的 “双峰” 图象 若 直线 yx+b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值为（ ） A2， B2 C D0 二、填空题（只要求填写最后结果二、填空题（只要求填写最后结果.每小题每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4
5、 分）关于 x 的不等式组的所有整数解之和为 14 （4 分）水务人员为考察水情，乘快艇以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的航线 AB 由西 向东行驶如图所示，在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30方向上，继续行驶 40 秒到达点 B 处，测得建筑物 P 在北偏西 60方向上，则建筑物 P 到航线 AB 的距离为 米 15 （4 分）已知直线 ykx（k0）经过点（12，5） ，将其向上平移 m（m0）个单位， 平移后得到的直线与半径为 6 的O 相交（点 O 为坐标原点） 若点（a22，p） ， （ a21，q） （其中 a，p，q 是常数）在反比例函数 y的图象上，则 p 与 q
6、的大小 关系是 p q 16 （4 分）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与 DC 相切于点 E，与 AD 相交于 点 F，已知 AB12，C60，则的长为 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上的点，EFBE，交边 CD 于点 F，联 结 CE、BF，如果 tanABE，那么 CE：BF 18 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3都是 菱形，点 A1，A2，A3，都在 x 轴上，点 C1，C2，C3，都在直线 yx+上， OA11，则点 C2020的纵坐标是 三、解答题（要求写出必要的计算过程、
7、证明过程或推理步骤共三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值，其中 a，b 20 （10 分） 某校为了解九年级学生 1 分钟跳绳的成绩情况 （等次： A.200 个及以上， B.180 199 个，C.160179 个，D.159 个及以下） ，从该校九年级学生中随机抽取部分学生进行 调查，并根据调查结果制作了如图的统计图表（部分信息未给出） （1）求本次共调查的学生人数和表中 m，n 的值： 等次 频数 频率 A 5 0.1 B m 0.4 C 15 n D 10 0.2 合计 1 （2）补全频数分
8、布直方图： （3）若等次 A 中有 2 名女生，3 名男生，从等次 A 中选取两名同学参加市中学生运动会 跳绳项目的比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率 21 （10 分）如图，一次函数 ykx+b，与反比例函数 y （x0）的图象交于 A（m，6） ， B （3，n）两点，与坐标轴交于 C，D 两点 （1）求一次函数的表达式； （2）若 CE 平分OCD，交 x 轴于点 E，求 tanDCE 的值 22 （10 分）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送若两车合作，各运 12 趟才能完 成，需支付运费共 4800 元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的 2 倍；且乙车每
9、趟运费比甲车少 100 元 （1）分别求出甲、乙两车每趟的运费； （2）若单独租用一辆车运送货物，甲、乙两车还需分别支付每趟 40 元、20 元的车损失 费，则单独租用哪一辆车运完此批货物，支出的总费用较少？总费用是多少？（总费用 运费+损失费） 23 （10 分） 已知ABC 和ADE 均为等腰三角形， 且BACDAE， ABAC， ADAE （1）如图 1，点 E 在 BC 上，求证：BCBD+BE； （2）如图 2，点 E 在 CB 的延长线上， （1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不 成立，写出成立的式子并证明 24 （14 分）已知矩形 ABCD 和矩形 CEFG 中，AB6，
10、BC8，CE4，EF3 （1）当点 E 在 CD 上时，如图 1，求的值； （2）当矩形 CEFG 绕点 C 旋转至图 2 时，求的值； （3）当矩形 CEFG 绕点 C 旋转至 A，E，F 三点共线时，直接写出 BE 的长 25 （14 分）如图，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，C，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为 B点 D 是 AC 上方抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 BC，CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，如图 1，CDE，BCE 的面积分 别为 S1，S2，求的最大值； （3）过点 D 作 DFAC
11、 于 F，连接 CD，如图 2，是否存在点 D，使得CDF 中的某个 角等于BAC 的两倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，说明理由 2020 年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （每小题一、 选择题 （每小题 4 分， 满分分， 满分 48 分以下每小题均给出了代号为分以下每小题均给出了代号为 A， B， C， D 的四个选项，的四个选项， 其中有且只有一个选项是正确的）其中有且只有一个选项是正确的） 1 （4 分）下列各组数中，相等的是（ ） A9 和 B|9|和（9） C9 和|9| D9 和
12、|9| 【分析】根据相反数的定义，绝对值的性质对各选项分别进行计算，然后利用排除法求 解 【解答】解：A、9，故本选项不符合题意； B、|9|9，（9）9，99，故本选项不符合题意； C、|9|9，故本选项符合题意； D、|9|9，99，故本选项不符合题意 故选：C 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） A （a2b）2a2b2 Ba6a2a3 C （3xy2）26x2y4 D （m）7（m）2m5 【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案 【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故 A 错误； B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 B 错误； C、积的乘方等
13、于乘方的积，故 C 错误； D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 D 正确； 故选：D 3 （4 分）某种冠状病毒的平均直径是 125nm，而 1nm10 9m，则 125nm 用科学记数法表 示是（ ） A1.2510 9m B12.510 8m C1.2510 7m D0.12510 6m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：125nm12510 9m1.25107m 故选：C 4 （4 分）下列图案中，既是轴对称图形又
14、是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 5 （4 分）某校一九年级毕业班为了了解学生 100 米跑的训练情况，对全班学生进行了一次 测试，测试结果如条形统计图所示，则测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A85 分，90 分 B90 分，90 分 C90 分，95 分 D95 分，95 分 【分析
15、】根据中位数、众数的意义和计算方法，找出出现次数最多的数据为众数，处在 中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数 【解答】解：调查人数为：4+8+14+8+638（人） ， 将 38 人的成绩从小到大排列后处在第 19、 20 的两个数都是 90 分， 因此中位数是 90 分， 成绩出现次数最多的是 90，因此众数是 90 分， 故选：B 6 （4 分）如图，直线 ab，CDAB 于点 D，若140，则2 为（ ） A140 B130 C120 D50 【分析】首先计算出ABC 的度数，再利用平行线的性质可得2 的度数 【解答】解：140， DCB40， CDAB 于点 D， BDC90， A
16、BC50， ab， 2180DBC18050130， 故选：B 7 （4 分）关于 x 的分式方程+1 的解为非负数，则二次函数 ya212a+39 的最 小值是（ ） A4 B3 C4 D3 【分析】据题意确定 a 的取值范围，然后根据二次函数的性质即可求得 【解答】解：关于 x 的分式方程+1 的解为非负数， x5a0，且 5a2， 解得：a5 且 a3， 二次函数 ya212a+39（a6）2+3， 当 a6 时，y 随 a 的增大而减小， a5 且 a3， a5 时，二次函数 ya212a+394 最小， 故选：A 8 （4 分）如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点，P
17、 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最大值是（ ） A3 B C D4 【分析】连接 BP，如图，先解方程x240 得 A（4，0） ，B（4，0） ，再判断 OQ 为ABP 的中位线得到 OQBP， 利用点与圆的位置关系， BP 过圆心 C 时， PB 最大， 如图， 点 P 运动到 P位置时， BP 最大， 然后计算出 BP即可得到线段 OQ 的最大值 【解答】解：连接 BP，如图， 当 y0 时，x240，解得 x14，x24，则 A（4，0） ，B（4，0） ， Q 是线段 PA 的中点， OQ 为ABP 的中位线，
18、 OQBP， 当 BP 最大时，OQ 最大， 而 BP 过圆心 C 时，PB 最大，如图，点 P 运动到 P位置时，BP 最大， BC5， BP5+27， 线段 OQ 的最大值是 故选：C 9 （4 分）如图，函数 yax22x+1 和 yaxa（a 是常数，且 a0）在同一平面直角坐 标系的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 可先根据一次函数的图象判断 a 的符号， 再判断二次函数图象与实际是否相符， 判断正误即可 【解答】解：A、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时
19、二次函数 yax22x+1 的图象应该开 口向上，对称轴 x0，故选项正确； C、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开 口向上，对称轴 x0，和 x 轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数 yaxa 的图象可得：a0，此时二次函数 yax22x+1 的图象应该开 口向上，故选项错误 故选：B 10 （4 分）如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OAOB OC2，则这朵三叶花的面积为（ ） A33 B36 C63 D66 【分析】先算出三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积一个小弓形的面积 扇形面积三角形的面积
20、【解答】解：如图所示：弧 OA 是M 上满足条件的一段弧，连接 AM、MO， 由题意知：AMO90，AMOM AO2，AM S扇形AMOMA2 SAMOAMMO1， S弓形AO1， S三叶花6（1） 36 故选：B 11 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OGAB，垂足为 G，延长 GB至点E， 使得GEBC， 连接OE交BC于点F 若 AB12， BC8， 则 BF 的长为 （ ） A1 B C D2 【分析】 由矩形的性质得OAOC， 得 OG为ABC的中位线， 进而证明BEFGEO， 由相似三角形的比例线段求得结果 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形
21、， OAOC，ABCCBE90， OGAB， OGBC， AGBG6， OGBC4， GEBC8， BEGEBG862， BFOG， BEFGEO， ， 故选：A 12（4 分） 将抛物线 yx2x+2 （x0） 沿 y 轴对折， 得到如图所示的 “双峰” 图象 若 直线 yx+b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值为（ ） A2， B2 C D0 【分析】由抛物线 yx2x+2（x0）可知抛物线与 y 轴的交点为（0，2） ，把点 （0，2）代入 yx+b 求得 b2，由x2+x+2x+b 整理得 x2+2x+3b60，当 0 时，直线 yx+b 与该“双峰”图象有三个交点，解得 b 的
22、值，然后根据图象即可求得 b 的取值 【解答】解：将抛物线 yx2x+2（x0）沿 y 轴对折，得到抛物线为 yx2+ x+2（x0） ， 由抛物线 yx2x+2（x0）可知抛物线与 y 轴的交点为（0，2） ， 把点（0，2）代入 yx+b 求得 b2， 由x2+x+2x+b 整理得 x2+2x+3b60， 当44（3b6）0，即 b时，直线 yx+b 与该“双峰”图象有三个交点， 由图象可知若直线 yx+b 与该“双峰”图象有三个交点时，b 的值是 2 和， 故选：A 二、填空题（只要求填写最后结果二、填空题（只要求填写最后结果.每小题每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4
23、分）关于 x 的不等式组的所有整数解之和为 3 【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解即可 【解答】解： 由得 x3； 由得 x1 不等式组的解集为 1x3， 所有整数解有：1，2， 1+23， 故答案为 3 14 （4 分）水务人员为考察水情，乘快艇以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的航线 AB 由西 向东行驶如图所示，在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30方向上，继续行驶 40 秒到达点B处， 测得建筑物P在北偏西60方向上， 则建筑物P到航线AB的距离为 100 米 【分析】作 PCAB 于 C，构造出 RtPAC 与 RtPBC，求出 AB 的长度，利用特
24、殊角 的三角函数值求出 PC 即可 【解答】解：过 P 点作 PCAB 于 C，由题意可知：PAC60，PBC30， 在 RtPAC 中，tanPACtan60， ACPC， 在 RtPBC 中，tanPBCtan30， BCPC， ABAC+BCPC1040400， PC100（米） ， 故答案为：100 15 （4 分）已知直线 ykx（k0）经过点（12，5） ，将其向上平移 m（m0）个单位， 平移后得到的直线与半径为 6 的O 相交（点 O 为坐标原点） 若点（a22，p） ， （ a21，q） （其中 a，p，q 是常数）在反比例函数 y的图象上，则 p 与 q 的大小 关系是 p
25、 q 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点 的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的得到 m 的取值范围， 根据 m 的取值，判定双曲线所处的象限，根据反比例函数的性质即可求得 【解答】解：把点（12，5）代入直线 ykx 得， 512k， k； 由 yx 平移 m（m0）个单位后得到的直线所对应的函数关系式为 yx+m （m0） ， 设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， （如下图所示） 当 x0 时，ym；当 y0 时，xm， A（m，0） ，B（0，m） ， 即 OAm，OBm； 在 RtOAB 中， ABm， 过点
26、O 作 ODAB 于 D， SABOODABOAOB， ODmmm， m0，解得 ODm 由直线与圆的位置关系可知m6，解得 0m， 725m0， 反比例函数 y的图象在一三象限， a22a210， pq， 故答案为 16 （4 分）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与 DC 相切于点 E，与 AD 相交于 点 F，已知 AB12，C60，则的长为 【分析】先连接 OE、OF，再求出圆心角EOF 的度数，然后根据弧长公式即可求出 的长 【解答】解：如图连接 OE、OF， CD 是O 的切线， OECD， OED90， 四边形 ABCD 是平行四边形，C60， AC60，D120，
27、OAOF， AOFA60， DFO120， EOF360DDFODEO30， 的长 故答案为： 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上的点，EFBE，交边 CD 于点 F，联 结 CE、BF，如果 tanABE，那么 CE：BF 4：5 【分析】首先证明 B，C，F，E 四点共圆，推出EBFECF，推出BEFCDE， 可得，再证明DEFABE，推出 tanABEtanDEF，设 DF 3k，DE4k，可得 EF5k，由此即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADBCD90， EFBE， BEF90， BEF+BCF180， B，C，F，E 四点共圆，
28、 EBFECF，BEFD90， BEFCDE， ， ABE+AEB90，AEB+DEF90， DEFABE， tanABEtanDEF， 设 DF3k，DE4k， EF5k， ， 故答案为：4：5 18 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3都是 菱形，点 A1，A2，A3，都在 x 轴上，点 C1，C2，C3，都在直线 yx+上， OA11，则点 C2020的纵坐标是 22018 【分析】根据菱形的边长求得 A1、A2、A3的坐标然后分别表示出 C1、C2、C3的坐标 找出规律进而求得 C2020的坐标 【解答】解：OA11， OC11
29、， C1OA1C2A1A2C3A2A360， 设 C1（m，m+） ， 1， m，m1（不合题意舍去） ， C1（，） ， 四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，都是菱形， A1C22，A2C34，A3C48， 同理得到 C2（2，） ， C3（5，2） ， C4（11，4） ， C5（23，8） ， C6（47，16） ； ， n（32n 21，2n2 ） ， 点 C2020的纵坐标是 22018， 故答案为 22018 三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤共三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤共 7 小题，满分小题，满分 78 分）
30、分） 19 （10 分）先化简，再求值，其中 a，b 【分析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简根式后，把 a、b 的值代入进行计算 即可 【解答】解：原式 ， 当 a+1，b1 时，原式 20 （10 分） 某校为了解九年级学生 1 分钟跳绳的成绩情况 （等次： A.200 个及以上， B.180 199 个，C.160179 个，D.159 个及以下） ，从该校九年级学生中随机抽取部分学生进行 调查，并根据调查结果制作了如图的统计图表（部分信息未给出） （1）求本次共调查的学生人数和表中 m，n 的值： 等次 频数 频率 A 5 0.1 B m 0.4 C 15 n D 10 0.2
31、合计 1 （2）补全频数分布直方图： （3）若等次 A 中有 2 名女生，3 名男生，从等次 A 中选取两名同学参加市中学生运动会 跳绳项目的比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）由表中频数和频率即可求出 m 和 n 的值； （2）根据（1）求出 m 的值，即可补全频数分布直方图： ； （3）先画出树状图得出所有等情况数和选取一名男生和一名女生的情况数，然后根据概 率公式即可得出答案 【解答】解： （1）50.150（人） ， m505151020， n10.10.40.20.3； （2）补全频数分布直方图如图： （3）画树状图如下： 共有 20 种等可能情况，恰好选取一名
32、男生和一名女生的情况有 12 种， 恰好选取一名男生和一名女生的概率为 21 （10 分）如图，一次函数 ykx+b，与反比例函数 y （x0）的图象交于 A（m，6） ， B （3，n）两点，与坐标轴交于 C，D 两点 （1）求一次函数的表达式； （2）若 CE 平分OCD，交 x 轴于点 E，求 tanDCE 的值 【分析】 （1） 将点 A、 B 的坐标分别代入反比例函数表达式求出点 A、 B 的坐标， 将点 A、 B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2） 因为 CE 平分OCD， 故 OEFE， 在 RtEFD 中， sinCDO， 解得： a，即可求解 【解答】解： （1）将
33、点 A、B 的坐标分别代入反比例函数表达式得：m1，n 2， 故点 A、B 的坐标分别为： （1，6） 、 （3，2） ， 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式得，解得：， 故直线 AB 的表达式为：y2x+8； （2）直线 AB 的表达式为：y2x+8， 令 x0，则 y8， 令 y0，则 x4， 过点 E 作 EFAB 于点 F， CE 平分OCD， OEFE， 设 OEaEF，则 DE4a， 由直线 AB 的表达式知，tanCDO2，则 sinCDO， 在 RtEFD 中，sinCDO，解得：a， tanDCEtanOCE2 22 （10 分）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送若两
34、车合作，各运 12 趟才能完 成，需支付运费共 4800 元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的 2 倍；且乙车每趟运费比甲车少 100 元 （1）分别求出甲、乙两车每趟的运费； （2）若单独租用一辆车运送货物，甲、乙两车还需分别支付每趟 40 元、20 元的车损失 费，则单独租用哪一辆车运完此批货物，支出的总费用较少？总费用是多少？（总费用 运费+损失费） 【分析】 （1）设乙车每趟的运费为 x 元，则甲车每趟的运费为（x+100）元，根据甲、乙 两车各运 12 趟需要支付运费 4800 元，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 结论； （2）设单独租用甲车需 y
35、 趟才能运完，则单独租用乙车需要 2y 趟才能运完，根据甲、 乙两车各运 12 趟才能运完，即可得出关于 y 的分式方程，解之经检验后可得出单独租用 甲、乙两车所需运货趟数，再求出分别租用两车的总运费，比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设乙车每趟的运费为 x 元，则甲车每趟的运费为（x+100）元， 依题意，得：12x+12（x+100）4800， 解得：x150， x+100250 答：甲车每趟的运费为 250 元，乙车每趟的运费为 150 元 （2）设单独租用甲车需 y 趟才能运完，则单独租用乙车需要 2y 趟才能运完， 依题意，得：+1， 解得：y18， 经检验，y18 是原方程的
36、解，且符合题意， 2y36 单独租用甲车所需总费用为（250+40）185220（元） ， 单独租用乙车所需总费用为（150+20）366120（元） 52206120， 单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是 5220 元 23 （10 分） 已知ABC 和ADE 均为等腰三角形， 且BACDAE， ABAC， ADAE （1）如图 1，点 E 在 BC 上，求证：BCBD+BE； （2）如图 2，点 E 在 CB 的延长线上， （1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不 成立，写出成立的式子并证明 【分析】 （1）证得DABEAC，证明DABEAC（SAS） ，由全等三角形
37、的性质 得出 BDCE，则可得出结论； （2）证明DABEAC（SAS） ，得出 BDCE，则成立的结论是 BCBDBE 【解答】 （1）证明：BACDAE， BACBAEDAEBAE， 即DABEAC， 又ABAC，ADAE， DABEAC（SAS） ， BDCE， BCBE+CEBD+BE； （2）解： （1）的结论不成立，成立的结论是 BCBDBE 证明：BACDAE， BAC+EABDAE+EAB， 即DABEAC， 又ABAC，ADAE， DABEAC（SAS） ， BDCE， BCCEBEBDBE 24 （14 分）已知矩形 ABCD 和矩形 CEFG 中，AB6，BC8，CE4，
38、EF3 （1）当点 E 在 CD 上时，如图 1，求的值； （2）当矩形 CEFG 绕点 C 旋转至图 2 时，求的值； （3）当矩形 CEFG 绕点 C 旋转至 A，E，F 三点共线时，直接写出 BE 的长 【分析】 （1）根据勾股定理分别计算 AF 和 BE 的长可解答； （2）如图 2，连接 AC，证明CEFCBA，得，再证明ACFBCE，可 解答； （3）当CEF 旋转至 A，E，F 三点共线时，存在两种情况：连接 AC，CF，先计算 AF 的长，证明ACFBCE，列比例式可得 BE 的长 【解答】解： （1）如图 1，过 F 作 FHAD，交 AD 的延长线于 H， 四边形 ABCD
39、 是矩形， ADCBCE90，ADBC8，ABCD6， HEDHDEF90， 四边形 DEFH 是矩形， DHEF3， AH8+311， CE4，CD6， FHDE642， RtAHF 中，由勾股定理得：AF5， RtBEC 中，由勾股定理得：BE4， ； （2）如图 2，连接 AC，CF， AB6，BC8，EF3，CE4， ， ， CEFABC90， CEFCBA， ，ECFACB， ， ACFBCE， ACFBCE， ； （3）当CEF 旋转至 A，E，F 三点共线时，存在两种情况： 如图 3，连接 AC，CF， RtABC 中，由勾股定理得：AC10， RtCEF 中，CE4，EF3，
40、CF5， ， ， FECABC， ABCFEC， ACBECF， BCEACF， ， ACFBCE， ， RtAEC 中，AE2， AFAE+EF2+3， BEAF； 如图 4，连接 AC，CF， 同理得：AFCBEC， ， AFAEEF23， BEAF， 综上，BE或 BE 25 （14 分）如图，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，C，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为 B点 D 是 AC 上方抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 BC，CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，如图 1，CDE，BCE 的面积分 别为 S
41、1，S2，求的最大值； （3）过点 D 作 DFAC 于 F，连接 CD，如图 2，是否存在点 D，使得CDF 中的某个 角等于BAC 的两倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据题意得到 A（4，0） ，C（0，2）代入 yx2+bx+c，于是得到结 论； （2）如图，令 y0，解方程得到 x14，x21，求得 B（1，0） ，过 D 作 DMx 轴于 M，过 B 作 BNx 轴交于 AC 于 N，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据勾股定理的逆定理得到ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P，求得 P（，0） ，得到 PAPCP
42、B，过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延线于 G，情况一：如图，DCF2BACDGC+CDG，情况二，FDC2 BAC，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）根据题意得 A（4，0） ，C（0，2） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过 A、C 两点， ， ， yx2x+2； （2）如图 1，令 y0， x2x+20， x14，x21， B（1，0） ， 过 D 作 DMx 轴交 AC 于点 M，过 B 作 BNx 轴交于 AC 于 N， DMBN， DMEBNE， ， 设 D（a，a2a+2） ， M（a，a+2） ， B（1，0） ， N（1，） ， （a+2）
43、2+； 当 a2 时，的最大值是； （3）A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2） ， AC2，BC，AB5， AC2+BC2AB2， ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P， P（，0） ， PAPCPB， CPO2BAC， tanCPOtan（2BAC）， 过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延长线于 G， 情况一：如图 2，DCF2BACDGC+CDG， CDGBAC， tanCDGtanBAC， 即， 令 D（a，a2a+2） ， DRa，RCa2a， ， a10（舍去） ，a22， xD2， 情况二，FDC2BAC， tanFDC， 设 FC4k， DF3k，DC5k， tanDGC， FG6k， CG2k，DG3k， RCk，RGk， DR3kkk， ， a10（舍去） ，a2， 点 D 的横坐标为2 或
