1、2023年中考数学高频考点突破二次函数与相似三角形1已知抛物线经过点，两点，与轴交于点（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）若为抛物线在第三象限上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）连接，若点的坐标为，过点的直线交线段于点，当与相似时，求点的坐标2抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设点是位于直线下方的抛物线上一动点如图1，过点作，垂足为，求垂线段的最大值并求出此时点的坐标；如图2，抛物线的对称轴与直线交于点，过点作轴的平行线，与直线交于点，问是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由3如图，顶点为
2、C（-1，1）的抛物线经过点D（-5，-3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在点Q，使得SOAQ=，求点Q的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且MNA=OCD，是否存在点M，使得AMN与OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由4如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接，试证明为直角三角形；（3）若点在抛物线上，轴于点，以、为顶点的三角形与相似，试求出所有满足条件的点的坐标5如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C
3、，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由6（2013年广东梅州10分）如图，已知抛物线y=2x22与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物
4、线上的任一点P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）7如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）（1）求直线BD和抛物线的解析式（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标（3）在抛物线上是否存在点P，使SPBD=6？若存在，
5、求出点P的坐标；若不存在，说明理由8如图，已知直线y2x12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的M与直线AB相切于点D，连接MD.(1)求证：ADMAOB.(2)如果M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以点为顶点，且过点M的抛物线的函数表达式(3)在(2)的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使以P，A，M三点为顶点的三角形与AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由9抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过点A（1，0），B（，0），且与y轴相交于点C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限
6、上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DEAC，当DCE与AOC相似时，求点D的坐标10如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当0t8时，求 APC面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由11我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，则我们称与互为
7、“旋补比例三角形”（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，_，_；（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；（3）如图3，在中，点在轴的正半轴上，点在第二象限，抛物线经过点，与轴交点为， (点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标12如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标1
8、3如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点点P、Q是抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标14如图，以D为顶点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=x+3（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由15如图已知抛物线经过三点，点P为直线上方抛物线上一点(1)求抛物线的解析式；
9、(2)当时，求点P的坐标；(3)连接，交直线于点E，交y轴于点F；是否存在点P使与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；若点P的坐标为，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标16如图，已知点，以为圆心作与轴切于原点，与轴的另一个交点为，过作的切线（1）以直线为对称轴的抛物线过点及点，求次抛物线的解析式；（2）第（1）问中的抛物线与轴的另一个交点为，过作的切线，为切点，求此切线长；（3）点是切线DE上的一个动点，当与相似时，求出点的坐标17如图1，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为C(1，4)
10、，交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为(3，0)（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若，请求出点P的坐标（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MNBD，交线段AD于点N，连接MD，若DNMBMD，请求出点M的坐标18如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作P与y轴的负半轴交于点C（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论；（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶
11、点的三角形与OBC相似若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由 参考答案1（1）；（2）；（3），或，【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，然后配方成顶点式得到抛物线的顶点坐标；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，如图，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）先利用待定系数法求出直线的解析式为，当时，利用三角形判定方法可判断，利用两直线垂直问题可得直线的解析式为，然后解方程组得此时点坐标；当时，可判断，然后计算时，函数对应的自变量可得到此时点坐标【解析】解：（1）抛物线解析式为，即；，抛物线的顶点D的坐标为；（2）当时，则，设直线
12、的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为，作轴交于，如图，设，则，当时，的面积最大，此时点的坐标为；（3）设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为，当时，则直线的解析式为，解方程组，解得，此时点坐标为，；当时，则直线为，当时，解得，此时点坐标为，综上所述，点坐标为，或，【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答2（1）；（2）垂线段的最大值为，；存在，或【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；（2）过点P作PEy轴，交BC于点E，连接PC、PB，由（1）易得点B坐标，进而可求
13、直线BC的解析式，设点，然后点E坐标可求，最后根据铅垂法进行求PCB的面积最大值，进而问题可求解；由直线BC的解析式可知OBC=OCB=45，又由题意知QPM=COB=90，所以只有一种相似情况【解析】解：（1）抛物线的顶点为，设该函数解析式为：，由抛物线与轴交于点，可得：，解得：，抛物线的解析式为即为；（2）过点P作PEy轴，交BC于点E，连接PC、PB，如图所示：由（1）可得：，令y=0可得：，解得，设直线BC的解析式为，则有：，解得，直线BC的解析式为，设，则有，由铅垂法可得：水平宽为点B与点C的横坐标之差，水平宽为，当时，PCB面积为最大，即为，则PD的最大值为，此时点；存在，点P坐标
14、为或，理由如下：由可得：直线BC的解析式为，OBC=OCB=45，由抛物线的对称轴与直线交于点，且对称轴为直线x=2，ABM为等腰直角三角形，AMB=90，若QPM=90时，过M作MPx轴交抛物线于点P，过点P作PQy轴交BC于点Q，则QPMCOB，如图所示：此时点P的纵坐标与M相同，为1，将纵坐标代入抛物线解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），；若PMQ=90时，此时点P与点A重合，如图3所示，即点P的坐标为，综上所述：满足条件的点P坐标为或【点评】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形，关键是根据题意得到函数解析式，然后根据铅垂法及相似三角形的存在性进行求解问题即可3（1）；（2）或；（
15、3）存在，或或或【分析】（1）根据顶点C的坐标设该抛物线的解析式为，然后利用待定系数法即可求出结论；（2）先求出点A的坐标，即可求出OA，然后设点Q的坐标为（x，），根据三角形的面积公式列出方程即可求出x的值，从而求出点Q的坐标；（3）利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理可得OCD是直角三角形，然后设，则，再根据相似三角形的对应情况分类讨论，根据相似三角形的性质列出方程即可求出n的值，从而求出结论【解析】解：（1）抛物线的顶点为C（-1，1）设该抛物线的解析式为将点D（-5，-3）代入，得解得：该抛物线的解析式为；（2）将y=0代入抛物线解析式中，得解得：点B在点A的右
16、侧点A的坐标为（-3,0）OA=3设点Q的坐标为（x，）SOAQ=整理，得当时解得：此时点Q的坐标为；当解得：此时点Q的坐标为或综上：点Q的坐标为或；（3）存在，点M的坐标为、，OCD是直角三角形，点M在抛物线上，点N在x轴上，轴，设，则，以A，M，N为顶点的三角形与相似，分两种情况：或，当时，（舍）或或，代入，得或；当时，（舍）或或，代入，得或，综上所述，满足条件的点M的坐标为或或或【点评】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、解一元二次方程、勾股定理的逆定理和相似三角形的性质是解决此题的关键4（1）；（2）详见解析；（3）所有满足条件的点的坐标为或或【分
17、析】（1）根据二次函数顶点坐标公式得到关于b，c的方程组，然后求解方程组即可；（2）先求得A点坐标，再利用两点的距离公式求得ACD的边长，然后根据勾股定理的逆定理即可得证；（3）设，分两种情况讨论：若，则；若，则；分别代入求得符合题意的x的值即可得解.【解析】解：（1）由题意得，解得：，抛物线的解析式为：；（2）令，解得或，由题意点，为直角三角形；（3）设，分两种情况讨论：若，如图1，则，即，整理，得，解得，（与点重合，舍去），当时，此时，点的坐标为；若，如图2，则，即，整理，得，解得，当时，；当时，此时，点的坐标为或；综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或.【点评】本题主要考查二次函数的综合
18、，相似三角形的性质等，解此题关键在于准确求得二次函数的解析式，然后分情况讨论进行解答.5（1），点D坐标为（3，2）（2）P1（0，2）；P2（，2）；P3（，2）（3）存在，（），（）【解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点，解得：抛物线解析式为当y=2时，解得：x1=3，x2=0（舍去）点D坐标为（3，2）（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2）当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2代入抛物线的解析式：，解得：P点的坐标为（
19、，2），（，2）综上所述：P1（0，2）；P2（，2）；P3（，2）（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（），当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=又CQO+FQP=90，COQ=QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP，即，解得F Q=a3OQ=OFF Q=a（a3）=3， 此时a=，点P的坐标为（）当P点在y轴左侧时（如图2）此时a0，0，CQ=a，（无图）PQ=又CQO+FQP=90，CQO+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=QFP=90COQQFP，即，解得F Q=3aOQ=3，此时a=，点P的坐标为（）综上所述，满足条件的点
20、P坐标为（），（）（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标（2）分两种情况进行讨论，当AE为一边时，AEPD，当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（），分情况讨论，当P点在y轴右侧时，当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可6解：（1）y=2x22，当y=0时，2x22=0，x=1点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2又当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2），OC=2SABC=ABOC=22=2（2）将y=6代入y=2x22，得2
21、x22=6，x=2，点M的坐标为（2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4平行四边形的面积为8，MN边上的高为：84=2P点纵坐标为62当P点纵坐标为6+2=8时，2x22=8，x=点P的坐标为（，8）或（，8）当P点纵坐标为62=4时，2x22=4，x=，点P的坐标为（，4）或（，4）综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P的坐标为（，8）或（，8）或（，4）或（，4）（3）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），OB=1，OC=2QDB=BOC=90，以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：OB与BD边是对应边时，OBCDBQ，则，即，解得DQ=
22、2（m1）=2m2OB与QD边是对应边时，OBCDQB，则，即，解得综上所述，线段QD的长为2m2或【解析】（1）在二次函数的解析式y=2x22中，令y=0，求出x=1，得到AB=2，令x=0时，求出y=2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出ABC的面积（2）先将y=6代入y=2x22，求出x=2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4分两种情况讨论：当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x22，求出x的值，得到点P的坐标；当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x22，求出x的值，得到点P的坐标（3）由于QDB=BOC=
23、90，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OB与BD边是对应边，OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积公式，平行四边形的判定，相似三角形的判定，分类思想的应用7（1）直线BD的解析式为：y=x+3抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）存在，理由见解析【分析】（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式（2）首先确定MCD为等腰直角三角形，因为BND与MCD相似，
24、所以BND也是等腰直角三角形如答图1所示，符合条件的点N有3个（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据SPBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解【解析】解：（1）直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（1，0），B（0，3）把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，C（1，0）设直线BD的解析式为：y=kx+b，点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，解得直线BD的解析式为：y=x+3设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x3），点B（0，3）在抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）抛物线的解
25、析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）直线BD：y=x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，M（2，1）设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，MCD为等腰直角三角形以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，BND为等腰直角三角形如答图1所示：（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，N1（0，0）（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0）（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点N坐标为：（
26、0，0），（3，0）或（0，3）（3）存在，假设存在点P，使SPBD=6，设点P坐标为（m，n），（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示，过点P作PEx轴于点E，则PE=n，DE=m3，SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=（3+n）m33（m3）n=6，化简得：P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1n1=3，n2=8P1（4，3），P2（1，8）（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示，过点P作PEy轴于点E，则PE=m，OE=n，BE=3n，SPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=（3+m）（n）+33（3n）m
27、=6，化简得：P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3代入式整理得：m23m+4=0，此方程无解此时点P不存在综上所述，在抛物线上存在点P，使SPBD=6，点P的坐标为（4，3）或（1，8）【点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，三角形面积的求解，解题的关键是掌握二次函数性质、相似三角形的判定与性质，学会利用分类讨论的思想求解问题8（1）见解析；（2）y2；（3）点P的坐标为(5，2)，(4，10)【分析】（1）依题意得出MDAB继而推出MDAAOB，MADBAO，然后可证明；（2）设A（0，m），由直线y2x12可知，OA12，OB6，则AM1
28、2m，DM2，利用勾股定理得AB6，由ADMAOB，利用相似比求m的值即可，设抛物线顶点式，将M点坐标代入，可求抛物线解析式；（3）存在，AOB中，OA：OB12：62：1，则所求直角三角形两直角边的比为2：1，根据PAM中，顶点P，A，M分别为直角顶点，根据抛物线解析式分别求符合条件的点P的坐标【解析】(1)AB是M的切线，D是切点，MDAB，MDA90AOB.又MADBAO，ADMAOB.(2)设M(0，m)，由直线y2x12得OA12，OB6，则AM12m，而DM2，在RtAOB中，AB.，ADMAOB，即，解得m2，M(0，2)设顶点坐标为的抛物线的函数表达式为ya2，将点M的坐标代入
29、，得a22，解得a2，抛物线的函数表达式为y22；(3)存在当顶点M为直角顶点时，M，P两点关于抛物线的对称轴直线x对称，此时MP5，AM12210，AMMP2：1，符合题意，此时点P的坐标为(5，2)；当顶点A为直角顶点时，点P的纵坐标为12，代入抛物线表达式，得2212，解得x，此时AP，AM10，不符合题意；当顶点P为直角顶点时，则由相似三角形的性质可设P的坐标为(n，2n2)或(2m，m2)若P(n，2n2)，则2nn10，解得n4；当x4时，y210，2n210，符合题意；若P(2m，m2)，则4m+m10，解得m2，当x2m4时，y210，m24，不符合题意综上所述
30、，符合条件的点P的坐标为(5，2)，(4，10)【点评】本题综合考查的是二次函数的有关知识以及利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是学会分类讨论，要注意的是分析问题要全面，难度较大，属于中考压轴题9（1）y=2x2+x+3；（2）ACB=45；（3）D（，）【解析】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.作BHAC于点H，求出的长度，即可求出ACB的度数.延长CD交x轴于点G，DCEAOC，只可能CAO=DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.试题解析：（1）由题意，得解得 这条抛物线的表达式为（2）作BHAC于点H，A点坐标是（1，0），C点坐标是（0，3
31、），B点坐标是（，0），AC=，AB=，OC=3，BC= ，即BAD=， Rt BCH中，BC=，BHC=90，又ACB是锐角， （3）延长CD交x轴于点G，Rt AOC中，AO=1，AC=， DCEAOC，只可能CAO=DCEAG = CG AG=5G点坐标是（4，0）点C坐标是（0，3）， 解得，（舍）.点D坐标是 10（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14【分析】（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）分0t6时和6t8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）分2t6时和t6时两种情况进行讨论，再根据三角形
32、相似的条件，即可得解【解析】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx28mx+4m+2=0的两根，x1+x2=8，由解得：B（2，0）、C（6，0）则4m16m+4m+2=0，解得：m= 该抛物线解析式为：y=；（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，直线AC的解析式为：y= x+3，要构成 APC，显然t6，分两种情况讨论：当0t6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，），P（t，），PF=，SAPC=SAPF+SCPF=，此时最大值为：，当6t8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，），P（t，），PM=，SAPC=SAPFSCPF=，当t=8时，取最大值，最大值为：
33、12，综上可知，当0t8时， APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则AOB中，AOB=90，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），当2t6时，AQ=t，PQ=，若：，则：，即：，t=0（舍），或t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或t=2（舍），当t6时， =t，若：AOBAQP，则：，即：，t=0（舍），或t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或t=14，t=或t=或t=14【点评】本题是二次函数综合题目，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，利用分类讨论的思想和方程思想求解是解决本题的关键11（1）；（2）见解析（3
34、），【分析】（1）根据题意直接可得出结论；（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论【解析】（1）由题意可知：，（2），和互为旋补比例三角形，与互为旋补比例三角形（3），过作轴于点， 经过与，对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，如图，过点作于点，即点与点重合，即为等腰直角三角形，为以点为顶点的等腰三角形，在轴上方，如图：易证：，在轴下方，如图：易证：，综上，【点评】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查
35、了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的12（1）；（2）（3），【分析】（1）根据，得出，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；（3）由题意得tanABD=，tanADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，分当PBQABD时，当PQBABD时，当PQBDAB时，当PQBABD时四种情况讨论即可【解析】解：（1），将A，B代入得，解得，；（2）二次
36、函数是，的横坐标为，代入抛物线解析式得，设得解析式为：将B，D代入得，解得，直线的解析式为；（3）由题意得tanABD=，tanADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，当PBQABD时，tanPBQ=tanABD即=，解得n=，tanPQB=tanADB即，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；当PQBABD时，tanPBQ=tanADB即=1，解得n=-2，tanQPB=tanABD即=，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；当PQBDAB时，tanPBQ=tanABD即=，解得n=，tanPQB=tanDAB即
37、，解得x=-1，此时Q的坐标为（-1，0）；当PQBABD时，tanPBQ=tanABD即=1，解得n=-2，tanPQB=tanDAB即，解得x=5-，Q的坐标为（5-，0）；综上：Q的坐标可能为，【点评】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键13(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分ACB=BOQ、BAC=BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直
38、线OQ倾斜角，进而求解【解析】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，故有最大值，当时，其最大值为；(3)，故与相似时，分为两种情况：当时，过点A作AHBC与点H，解得：，CH则，则直线OQ的表达式为：，联立并解得：，故点或；时，则直线OQ的表达式为：，联立并解得：，故点或；综上，点或或或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏14（1）y=x2+2x+3；（2）P (
39、,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O，则O（3，3），则OP+AP的最小值为AO的长，然后求得AO的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明BCD为直角三角形，然后分为AQCDCB和ACQDCB两种情况求解即可【解析】（1）把x=0代入y=x+3，得：y=3，C（0，3）把y=0代入y=x+3得：x=3，B（3，0），A（1，
40、0）.将C（0，3）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O，则O（3，3）O与O关于BC对称，PO=POOP+AP=OP+APAOOP+AP的最小值=OA=5OA的方程为y=P点满足解得：所以P ( ,)（3）y=x2+2x+3=（x1）2+4，D（1，4）又C（0，3，B（3，0），CD=，BC=3，DB=2CD2+CB2=BD2，DCB=90A（1，0），C（0，3），OA=1，CO=3又AOC=DCB=90，AOCDCB当Q的坐标为（0，0）时，AQCDCB如图所示：连接AC，过点C作CQA
41、C，交x轴与点QACQ为直角三角形，COAQ，ACQAOC又AOCDCB，ACQDCB，即，解得：AQ=10Q（9，0）综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想15(1)；(2)存在，；(3)存在点P，P坐标是（2，3）使与相似，理由见解析；点Q的坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2）【分析】（1）把代入，求解三元一次方程组即可；（2）如图：过B作轴交射线于D，由可得，易证，从而，进而解得，确定点D的坐标，进而求得直线解析式为，然后与抛物线解析式联立并结合点P的位置即可解答；（3）如图：过C作轴交抛物线于P，连接交直线于点E，交y轴于点F， 进而确定点，从而直线解析式为，再说明，再证明即可求解；由直线解析式为，可得，即知，即，由B知直线解析式是，可得，分两种情况讨论：当时，H点在上，K点在上，即知或，当时，可得，此时与y轴重合，不符合与y轴平行；当时，有，可得；同理求解当时即可【解析】（1）解：把代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：如图：过B作轴交射线于D， 轴，
