1、2023年中考数学高频考点突破二次函数与相似三角形1在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线下方抛物线上的一点，过点作的平行线交抛物线于点（点在点右侧），连结、，当的面积为面积的一半时，求点的坐标；（3）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的右侧交点为，当与相似，求出点的横坐标2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，已知，两点的坐标分别为，（1）求抛物线的表达式；（2）一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿线段以每秒
2、1个单位长度的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动设运动时间为秒，当为何值时以、为顶点的三角形与相似？（3）若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在以点，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由3如图1，已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且相交于点和点抛物线与轴正半轴交于点为抛物线上两点间一动点，过点作直线轴，与交于点（1）求抛物线与抛物线的解析式;（2）四边形的面积为，求的最大值，并写出此时点的坐标;（3）如图2，的对称轴为直线，与交于点，在(2)的条件下，直线上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；
3、如果不存在，说明理由.4如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（1，0），且直线BC的解析式为y=x-2，作垂直于x轴的直线，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）若CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与ABC相似，求P点的坐标5如图，抛物线交轴于两点，交轴于点直线经过点（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点交直线于点设点的横坐标为若求的值；（3）是第一象限对称轴右侧抛物线上的一点，连接抛
4、物线的对称轴上是否存在点使得与相似，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由6如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，等腰的直角顶点D恰好为抛物线的顶点，斜边（1）求抛物线的解析式；（2）点Q是线段上一点，在线段上是否存在一点M，使得为等腰三角形，且以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿轴对折，点落到点处，过点、的抛物线与直线交于点、（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在直
5、线上方的抛物线上求一点，使面积最大，求出点坐标；（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，作垂直于轴，垂足为点，使得以、为项点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由8如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为（1）求抛物线的解析式（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由9如图，在平面直角坐标系中，抛物线行经过点和点，交轴正半轴于点，连接，点是线段上动点(不与点重合)，以为边在轴上方作正方形，接，将线段绕点逆时针旋转90，得到线段，过点作轴，交抛物
6、线于点，设点（1）求抛物线的解析式；（2）若与相似求的值；（3）当时，求点的坐标10如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，为顶点的三角形与相似，求点的坐标11如图1所示，直线y=x+c与x轴交于A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A，C（1）求抛物线的解析式 ;（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛
7、物线分别交于点P、N若以C，P，N为顶点的三角形与APM相似，则CPN的面积为_；若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由12如图，已知抛物线经过A（3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当AD平分CAB时求直线AD所对应的函数表达式；设P是x轴上的一个动点，若PAD与CAD相似，求点P的坐标13如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，
8、连接，已知，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由14已知：如图1，二次函数y=ax22ax+c（a0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B两点，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P（t，0）是线段OB上一动点（不与O、B重合），点E是线段BC上的点，以点B、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，连结CP，求CPE的面积S与t的函数关系式；（3）如图2，
9、若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点Q，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），则存在这样的直线，使得ODF为等腰三角形，请直接写出点Q坐标15如图，在平面直角坐标系中，把抛物线 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 .所得抛物线与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点为 .（1）写出的值；（2）判断的形状，并说明理由；（3）在线段上是否存在点 ，使 与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.16如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标（2）试判断BCD
10、的形状，并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由17如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，求当BEF与BAO相似时，E点坐标；记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则SEFG与SACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标18如图，抛物线yax2+bx+2与x轴相交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于
11、点C（1）求抛物线的解析式；（2）将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：1（1）；（2）；（3）【分析】（1）由对称性求得点，待定系数即可求得二次函数解析式；（2）由题可知，设出直线的方程，联立二次函数的解析式，由韦达定理即可容易求得.（3）由平移的性质，结合，求得的方程组，求解即可.【解析】解：（1）由对称性可知，设抛物线解析式为，代入，得，；（2）由平行线间距离处处相等可知，当的面积为面积的一半时，即，直线
12、的解析式为，设直线的解析式为，则，联立，得，则，点（3）由，得直线的解析式为，设点坐标为，由平移的性质可知：，平移距离为，当与相似，只有，过点作的平行线，交原抛物线于点，连结，四边形为平行四边形，点的纵坐标为，设点的横坐标为，则点坐标，将点代入，得：，联立方程，解得：，（舍去负值），【点评】本题考查二次函数解析式的求解，抛物线中动点问题的处理，以及由三角形相似的性质，属综合困难题.2（1）；（2）或；（3）存在，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）由题意得，由勾股定理得，再根据相似三角形的性质求解即可；（3）存在，设，分情况进行求解即可：当对角线为CM；当对角线为CN【解析】解：（1）
13、抛物线经过，两点，解得抛物线的函数表达式为（2）根据题意得，当时，在中，由勾股定理得，当时，解得；，当时，解得；答：当为或时，与相似（3）存在，设，如图，当对角线为CM解得；如图，当对角线为CN根据平行四边形对角线的性质得，解得或综上所述，【点评】本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质、待定系数法、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理、平行四边形的性质是解题的关键3（1）； ；（2）16；（-1,4）； （3）存在点的坐标或（使得为顶点的三角形与相似，理由见解析【分析】（1）分别利用待定系数法求两个二次函数的解析式；（2）设点P横坐标为t，则P（t，t2t6），Q（t，t25t），表示
14、PQ的长，根据两三角形面积和可得S与t的关系式，配方后可得S的最大值；（3）先确定AQB135，然后分两种情况讨论可得结论【解析】解：（1）将代入得：，与形状相同，开口相反，将代入得，解得：，；（2）设点横坐标为t，则，当时，此时的坐标为；（3）存在点，由得直线为：，由（2）知点的坐标为点的坐标为，且为,令得：为，如图，设与轴交于点，直线与轴交于点，作的延长线，垂足为点，易知，点在的上方， ，,，若，则，即此时的坐标为；若，则，即，此时的坐标为，综上可知存在点的坐标或（使得为顶点的三角形与相似【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质和判定，解题的关键是
15、：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；（2）利用四边形的面积公式计算即可；（3）利用相似三角形的判定分情况讨论4（1）；（2）或；（3）符合条件的点P为P1（-1，0）或【分析】（1）将y=0代入y=x-2中，即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先分别用m表示出点E和点F的坐标，然后根据勾股定理分别求出CE2、CF2和EF2，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别求出对应的m值即可；（3）根据勾股定理的逆定理证出ABC为直角三角形，ACB=90，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，利用相似三角形的判定及性质和锐角三角函数即可求出结论【
16、解析】解：（1） 由题意得：将y=0代入y=x-2中，得x=4点B的坐标为（4,0）将A（-1，0），B（4，0）代入得，解得， （2） （i） 若以C为等腰三角形的顶点，则CE2=CF2解得：m1=2，m2=4（不符合前提条件，故舍去）；（ii） 若以E为等腰三角形的顶点，则EC2=EF2解得：（不符合前提条件，故舍去）；综上：m=2或（3） 根据勾股定理可得：AC=，BC=，AB=5AC2+BC2=25=AB2，ABC为直角三角形，ACB=90当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（-1，0），如图，当BPMABC时，BPM=ABC过点M作HRx轴，作PHHR于点H，BRHR与点R，
17、PHM=MRB=PMB=90HPMPMH=90，RMBPMH=90HPM=RMBPHMMRB又AB/HR令BR=a，MR=2a又PH=4a，HM=2a，PQ=3a， 又点P在抛物线上，将代入整理，得解得：（舍），符合条件的点P为P1（-1，0）或【点评】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键5（1）；（2） 或；（3）存在，点坐标为或【分析】（1）先求出点A、B坐标，用待定系数法即求出抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、F的坐标，然后表示出PE、PF，再列出绝对值方程
18、，然后求解即可；（3）先求出点C的坐标，也就求出OC的长，再设对称轴与轴交于点过点作交对称轴于点根据相似三角形的性质得到KM和MQ的长，进而表示出点N的坐标，最后将点N的坐标代入函数解析式求解即可【解析】经过点分别在轴与轴上，抛物线经过点，解得抛物线的解析式为点的横坐标为由题意可知，点的坐标为点的坐标为当点在轴上方时，解得或(与点重合，舍去)当点在轴下方时，解得或(与点重合，舍去) 综上所述，的值为或存在，点坐标为或如图，设对称轴与轴交于点过点作交对称轴于点与轴交于两点，抛物线的对称轴为直线当时，由一线三垂直模型得出，设则点在抛物线上， 解得(舍)点的坐标为当时，同理，设则即点在抛物线上，解得
19、(舍)，点的坐标为综上所述，存在点点的坐标为，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形表示出点N的坐标是解本题的关键，也是难点6（1）；（2）存在，点M的坐标为或；（3）存在，最小值为，点P的坐标为【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出拋物线的顶点坐标，再利用顶点式即可求得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理求出的长，然后分两种情况讨论：当时，当时，分别利用相似三角形的判定及性质即可求得；（3）点A、B关于对称轴对称，则直线与对称轴的交点即为所求的点P，此时，即线段的长为其最小值；然后利用直线的解析式及抛物线的对称轴即可求得点P的坐标【解析
20、】解：（1）为等腰直角三角形，且，点B的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）存在，设，由（1）知点C的坐标为，当时，如图，只能，轴，即，解得，点在直线上，将点C代入中得，所在的直线解析式为，已知点M在线段上，；当时，如图，只能设，即，解得作交y轴于点N，即，综上，在线段上存在这样的点M，使为等腰三角形，且以点B、Q、M为顶点的三角形与相似，点M的坐标为或；（3）存在点A、B关于抛物线对称轴对称，则由两点之间线段最短可知直线与对称轴的交点即为所求的点P，如图，此时，的最小值为，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，当时，点P的坐标为【
21、点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题等知识点，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是确定出点P的位置，是一道中等难度的题目7（1）；（2）；（3）存在，或【分析】(1)由直线可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；(2)先求得点D的坐标，作EFy轴交直线BD于F，设，利用三角形面积公式求得，再利用二次函数性质即可求得答案；(3)如图1，2，分类讨论，当BOCMON或BOCONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；【解析】(1)直线AB为，令y=0，则，令，则y=2，点A、B的坐标分别
22、是：A (-1，0)，B(0，2)，根据对折的性质：点C的坐标是：(1，0) ，设直线BD解析式为，把B(0，2)，C(1，0)代入，得，解得：，直线BD解析式为，把A(-1，0)，B(0，2)代入得，解得：，抛物线的解析式为；(2)解方程组得：和，点D坐标为(3，-4) ，作EFy轴交直线BD于F设 (03)当时，三角形面积最大，此时，点的坐标为：；(3)存在点B、C的坐标分别是B (0，2)、C (1，0)，如图1所示，当MONBCO时，即， 设，则，将代入抛物线的解析式得：解得：(不合题意，舍去)，点M的坐标为(1，2)；如图2所示，当MONCBO时，即，MN=ON，设，则M(b，b)，
23、将M(b，b)代入抛物线的解析式得：解得：(不合题意，舍去)，点M的坐标为(，)，存在这样的点或【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键8（1）；（2）P(，)；（3）Q1(0，0)，Q2(9，0)，Q3(0，)【分析】（1）先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值；（2）连接AD，交BC相交，交点即为所求点P，点满足到四点距离之和最小，先求出A、D点坐标，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标；（3）先根据坐标求出、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然
24、后分为和三种情况求解即可【解析】解：（1）把代入，得：，把代入得：，将、代入得：，解得，抛物线的解析式为（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小点D是抛物线的顶点，对称轴为，点D为， 点A、B抛物线与x轴交点，点A为，设的解析式为，则，解得：，的解析式为联立解析式得： 解得：，点的坐标为（3）又，3，又，当的坐标为时，如图所示：连接，过点作，交轴与点为直角三角形，又，即，解得：如图所示：连接，过点A作，交轴与点为直角三角形，又，即，解得：综上所述，当的坐标为或或时，以、为顶点的三角形与相似【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题
25、主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，分类讨论对以点为顶点的三角形与相似的对应关系进行分类讨论是解答本题的关键9（1）yx2+3x+4；（2）a或；（3）点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)【分析】（1）点C（0，4），则c=4，二次函数表达式为：y=-x2+bx+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）AOC与FEB相似，则FBE=ACO或CAO，即：tanFEB=或4，即可求解；（3）证明PNFBEF（AAS），PH=2，则-4a2+6a+4-4=|2|，即可求解【解析】解：(1)将点A和点C的坐标代入上式得：01b+4，解得：b3，故抛物线的表达式为：
26、yx2+3x+4；(2)tanACO，AOC与FEB相似，则FBEACO或CAO，tanFBE或4，四边形OEFG为正方形，则FEOEa，EB4a，则或，解得：a或；(3)令yx2+3x+40，解得：x4或1，故点B(4，0)；分别延长GF、HP交于点N，PFN+BFN90，FPN+PFN90，FPNNFB，GNx轴，FPNNFBFBE，PNFBEF90，FPFB，PNFBEF(AAS)，FNFEa，PNEB4a，点P(2a，4)，点H(2a，4a2+6a+4)，PH2，即：4a2+6a+442，解得：a1或或或(舍去)，故：点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)【点评】本题考查的是二次
27、函数综合运用，涉及到三角形全等、正方形的性质、三角形相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏10（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）或【分析】（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出BAE=ABC=45，设，由相似得到或，建立方程求解即可【解析】（1）将，代入得：，解得抛物线解析式为（2）存在，
28、理由如下：联立和，解得或E点坐标为(4,-5)，如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q，此时Q点与Q点的坐标即为所求，设Q点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，由QA=QE，QA= QE得：，解得，故Q点坐标为或（3），当时，解得或3B点坐标为(3,0)，由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)BAE=45设则，和相似 或，即或解得或，或【点评】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键11（1）y=x23x+4;（2）CE+OE的最小值为5;（3）或4;存在，当PF
29、=FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（），当PM=PF时，由菱形性质点D坐标为（1+ ， ）（1 ， ）,当MP=MF时，M、D关于直线y=x+4对称，点D坐标为（4，3）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）由已知，注意相似三角形的分类讨论设出M坐标，求点P坐标注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的本题即为研究CPN为等腰三角形的情况【解析】（1）将A（4，0）代入y=x+cc=4将A（4，0）和c=4代入y=x2+bx+cb=3抛物线解析式为y=x23x+4（2）作点C关于抛物线的对称轴
30、直线l的对称点C，连OC，交直线l于点E连CE，此时CE+OE的值最小抛物线对称轴位置线x= CC=3由勾股定理OC=5CE+OE的最小值为5（3）当CNPAMP时，CNP=90，则NC关于抛物线对称轴对称 NC=NP=3CPN的面积为当CNPMAP时由已知NCP为等腰直角三角形，NCP=90过点C作CEMN于点E，设点M坐标为（a，0）EP=EC=a，则N为（a，a23a+4），MP=a23a+4（2a）=a2a+4P（a，a2a+4）代入y=x+4解得a=2CPN的面积为4存在设M坐标为（a，0）则N为（a，a23a+4）则P点坐标为（a，）把点P坐标代入y=x+4解得a1=4（舍去），a
31、2=1当PF=FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（ ）当PM=PF时，由菱形性质点D坐标为（1+ ， ）（1 ， ）当MP=MF时，M、D关于直线y=x+4对称，点D坐标为（4，3）【点评】本题以二次函数动点问题为背景，综合考查二次函数图象性质、相似三角形判断以及菱形存在性的判断解答时应注意做到数形结合12（1）；（2）；（2，0）或（13，0）【分析】（1）将、点坐标代入抛物线，化简计算即可；（2）设，根据平分，轴，求得，并证得 ，利用 可的，可得点坐标，把，代入，化简可得AD所对应的函数表达式；因为是x轴上的一个动点，且与相似，并且是腰长为5的等腰三角形，所以 点有两种情况：AD为等腰三
32、角形的斜边，或者以AD为腰，为底，分别讨论求解即可.【解析】解（1）抛物线经过、三点，解得：，抛物线的表达式为；（2）作于点H，如图，设平分，轴，在中， ， ，解得：，设直线AD的表达式为，把，代入，得，解得：，直线AD所对应的函数表达式为；直线AD与二次函数相交于点D，解得或，点D在第一象限，点D坐标为，且，是腰长为5的等腰三角形，是x轴上的一个动点，且与相似，也为等腰三角形，如上图示，当AD为等腰三角形的斜边时，点的坐标为；当以AD为腰，为底时，作点D坐标为，,点P的坐标为综上所述点P的坐标为或【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的性质；会利用待定
33、系数法求二次函数和一次函数解析式；灵活利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质13（1）；（2）点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据三角形的三边关系可知：当点、三点共线时，可使的值最大，据此求解即可；（3）先求得，再过点作于点，过点作轴于点，如图，这样就把以，为顶点的三角形与相似问题转化为以，为顶点的三角形与相似的问题，再分当时与时两种情况，分别求解即可【解析】解：（1）将，代入得：，解得：，抛物线的解析式是；（2）解方程组：，得，当点、三点不共线时，根据三角形三边关系得，当点、三点共线时，当点、三点共线时，取最大值，即为的长，
34、如图，过点作BEx轴于点，则在中，由勾股定理得：，取最大值为；易求得直线BC的解析式为：y=x3，抛物线的对称轴是直线，当时，点M的坐标为（，）；点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点，使得以、为顶点的三角形与相似设点坐标为，在中，在中，过点作于点，过点作轴于点，如图，当时，解得，（舍去）点的纵坐标为，点为；当时，解得（舍去），（舍去），此时无符合条件的点；综上所述，存在点【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系
35、，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法14（1）y=x2x4；（2）S=t2t+；（3）存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1+，2）或Q2（1，2）或Q3（1+，3）或Q4（1，3）【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）可先设P的坐标为（m，0）；根据相似三角形的性质，可得SBEP，根据SCPE=SBOCSBPESOPC，可得函数关系式；（3）本题要分三种情况进行求解：当OD=OF时，根据等腰直角三角形，可得出F的坐标应该是（2，2），根据F的纵坐标代入
36、抛物线的解析式中即可求出Q的坐标；当OF=DF时，根据线段垂直平分线的性质，可得OM=1，根据等腰直角三角形的性质，可得FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，根据的方法求出Q的坐标；当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标解：（1）把C（0，4）和A（4，0）代入y=ax22ax+c（a0）得，解得解析式为y=x2x4；（2）BP=t+2，OP=t，SABC=462=12，SOPC=4（t）2=2t，BPEBAC，则=，则=（）2，SBPE=（）212=SCPE=SBOCSBPESOPC=4（2t）=t2+t+BEP
37、BAC，则=，则=（）2，SBEP=（）212=SCPE=SBOCSBPESOPC=4（2t）=t2t+（3）存在这样的直线，使得ODF是等腰三角形，理由为：在ODF中，分三种情况考虑：若DO=DF，如图1：，A（4，0），D（2，0），AD=OD=DF=2，又在RtAOC中，OA=OC=4，OAC=45，DFA=OAC=45，ADF=90，此时，点F的坐标为（2，2），由x2x4=2，解得：x1=1+，x2=1，此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1，2）；若FO=FD，过点F作FMx轴于点M，如图2：，由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，AM=3，在等腰直角AMF中，MF=AM=3，
38、F（1，3），由x2x4=3，解得：x1=1+，x2=1，此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1，3）；若OD=OF，OA=OC=4，且AOC=90，AC=4 ，点O到AC的距离为22，而OF=OD=222，与OF22矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形；综上所述，存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1+，2）或Q2（1，2）或Q3（1+，3）或Q4（1，3）考点：二次函数综合题15解：（1）的顶点坐标为（，）， . 分（2）由（1）得.当时， 解之，得 . 又当时， ，C点坐标为.4分又抛物线顶点坐标，作抛
39、物线的对称轴交 轴于点E， 轴于点 易知在中， ；在中， ；在中， ； ACD是直角三角形分（3）存在作OMBC交AC于M，点即为所求点由（2）知，为等腰直角三角形， ， 由，得 即. 分过点作 于点 ，则， .又点M在第三象限，所以. 10分【解析】解：（1）的顶点坐标为（0，0）， 的顶点坐标 ，. 3分（2）由（1）得.当时，. 4分当时， ，点坐标为 .又顶点坐标 ， 5分作出抛物线的对称轴交 轴于点 .作 轴于点 .在中， ；在中， ；在中， ；，是直角三角形 7分（3）存在.由（2）知，为等腰直角三角形， ，连接，过 点作 于点，.若，则，即 .，.，.点在第三象限，. 10分若，
40、则，即 .，.点在第三象限，.综上、所述，存在点使 与 相似，且这样的点有两个，其坐标分别为 . 12分16解：（1）顶点D的坐标为（1，4）（2）BCD是直角三角形理由见解析（3）存在符合条件的点P的坐标为：【解析】试题分析：（1）应用待定系数法即可求得函数的解析式设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c把点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入，得，解得抛物线的解析式为y=x22x+3y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）（2）应用勾股定理求得BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断BCD是直角三角形理由如下：如图，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足
41、分别为E、F，在RtBOC中，OB=3，OC=3，BC2=OB2+OC2=18在RtCDF中，DF=1，CF=OFOC=43=1，CD2=DF2+CF2=2在RtBDE中，DE=4，BE=OBOE=31=2，BD2=DE2+BE2=20BC2+CD2=BD2BCD为直角三角形（3）分P在x轴和y轴两种情况讨论，求出P的坐标：，又AOC=CDB=90，ACOBCD当P为原点O时，ACPBCD当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则OC=3a由，即，解得：a=9，则P的坐标是（0，7）此时，ACP不是直角三角形，则ACPCBD不成立当AC是直角边，若AC与BC是对应边，设P的坐标是（0，b），则OC=3b，由，即，解得：b=，故P是（0，）时，则PCACBD
