1、圆与二次函数的综合压轴题一解答题（共11小题）1（2015荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，BCD=60，点E是AB上一点，AE=3EB，P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是P的切线；（3）若将ADE绕点D逆时针旋转90，E点的对应点E会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由2（
2、2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积3（2014湘潭）已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（
3、3）若以BC为直径的圆经过原点，求k4（2012宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标5（2013湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线
4、交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6（2015梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DEx轴，垂足为E，交AB于点F（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DHAC交AB于H
5、，当DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标7（2015娄底）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，求A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由8（2015曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ly轴于点B（0，2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴
6、交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与P的位置关系，并说明理由9（2015庆阳）如图，在平面直角坐标系中顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径
7、；若不存在，请说明理由10（2015济宁）如图，E的圆心E（3，0），半径为5，E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时求出点P的坐标及最小距离11（2015徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CDx轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点（1）OBA
8、=（2）求抛物线的函数表达式（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？圆与二次函数的综合压轴题参考答案与试题解析一解答题（共11小题）1（2015荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，BCD=60，点E是AB上一点，AE=3EB，P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是P的切线；（3）若将ADE绕点D逆时针旋转90，E点的对应点E会落在抛物线y=ax2+bx+c
9、上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）先确定B（4，0），再在RtOCD中利用OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交点式求抛物线的解析式；（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，ABCD，A=BCD=60，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算=，加上DAE=DCB，则可判定AEDCOD，得到ADE=CDO，而ADE+ODE=90则CD
10、O+ODE=90，再利用圆周角定理得到CD为P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是P的切线（3）由AEDCOD，根据相似比计算出DE=3，由于CDE=90，DEDC，再根据旋转的性质得E点的对应点E在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E不能在抛物线上；（4）利用配方得到y=（x+1）2+，则M（1，），且B（4，0），D（0，2），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标【解答】解：（1）C（2，0），BC=6，B（4，0），在RtOCD中，tanOCD=，OD=2tan60=2，D（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x2），把D（0，2）
11、代入得a4（2）=2，解得a=，抛物线的解析式为y=（x+4）（x2）=x2x+2；（2）在RtOCD中，CD=2OC=4，四边形ABCD为平行四边形，AB=CD=4，ABCD，A=BCD=60，AD=BC=6，AE=3BE，AE=3，=，=，=，而DAE=DCB，AEDCOD，ADE=CDO，而ADE+ODE=90CDO+ODE=90，CDDE，DOC=90，CD为P的直径，ED是P的切线；（3）E点的对应点E不会落在抛物线y=ax2+bx+c上理由如下：AEDCOD，=，即=，解得DE=3，CDE=90，DEDC，ADE绕点D逆时针旋转90，E点的对应点E在射线DC上，而点C、D在抛物线上
12、，点E不能在抛物线上；（4）存在y=x2x+2=（x+1）2+M（1，），而B（4，0），D（0，2），如图2，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M（1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（5，）；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（3，），综上所述，点N的坐
13、标为（5，）、（3，）、（3，）【点评】考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线2（2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大
14、？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PAC的
15、最大面积及对应的P点坐标【解答】解：（1）设抛物线为y=a（x4）21，抛物线经过点A（0，3），3=a（04）21，；抛物线为；（2）相交证明：连接CE，则CEBD，当时，x1=2，x2=6A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，OB=2，AB=，BC=4，ABBD，OAB+OBA=90，OBA+EBC=90，AOBBEC，=，即=，解得CE=，2，故抛物线的对称轴l与C相交（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；PQ=m+3（m22m+3）=m2+mSPAC=SPAQ+SPCQ=（m2+m）6=
16、（m3）2+；当m=3时，PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识3（2014湘潭）已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题【分析】方法一：（1）由对称轴为x=，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进
17、而有B，C横坐标的比为=由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标由上述倍数关系，则k易得（3）以BC为直径的圆经过原点，即BOC=90，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC而由BOC=90，易证EBOFOC，即EBFC=EOFO有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值方法二：（1）略（2）求出两个三角形面积表达式，利用面积比得出等式，并求出K的值（3）由BC为直径，得出OB垂直OC，求出点B，C参数坐标利用黄金法则二列出等式，并求出K的值【解答】方法一：解：
18、（1）二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，=2，0=0+0+c，b=4，c=0，y=x2+4x（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BEy轴于E，过点C作CFy轴于F，=，=，=，EBFC，=y=kx+4交y=x2+4x于B，C，kx+4=x2+4x，即x2+（k4）x+4=0，=（k4）244=k28k，x=，或x=，xBxC，EB=xB=，FC=xC=，4=，解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=1k=1（3）BOC=90，EOB+FOC=90，EOB+EBO=90，EBO=FOC，BEO=OFC=90，EBOFOC，EBFC=EOFOxB=，xC=，且
19、B、C过y=kx+4，yB=k+4，yC=k+4，EO=yB=k+4，OF=yC=k4，=（k+4）（k4），整理得 16k=20，k=方法二：（1）略（2）过点B作y轴垂线，垂足为E，设直线AC与x轴交点为H，lAC：y=kx+4，当y=0时，x=，即H（，0），x=或，BX=，CX=，BY=，CY=，SAOB=AOBE=4Bx，SBOC=OH（BYCY），OH（BYCY）=34BX，k28k9=0，k1=1，k2=9，由图象可知k0，k=1（3）以BC为直径的圆经过原点，OBOC，KOBKOC=1，=1，k=【点评】本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识题
20、目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握4（2012宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析
21、式y=a（x+1）（x2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CMx轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，可以证明AED和AOC相似，根据相似三
22、角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2），将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2；（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=；（3）CHMAOC，MCH=CAO，（i）如图1，当H在点C下方时，OAC+OCA=90，MCH
23、=OACOCA+MCH=90OCM=90=AOCCMx轴yM=2，x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1，M（1，2），（ii）如图1，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=，y=x2，由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=，此时y=2=，M（，），在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DEAC于点E，使DE=，在RtAOC中，AC=，COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，=，即=，解得AD=2，D（1，0）或D（3，0）过点D作DMA
24、C，交抛物线于M，如图（备用图）则直线DM的解析式为：y=2x+2或y=2x6，当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得x1=，x2=，点M的坐标为（，3+）或（，3）【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解5（2013湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线
25、交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断直线与圆的位置关系，关键是分析圆的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系由题意可知d=2，由相似三角形求得r=，因为2，所以可判定抛物线的对称轴l与C相离；（3）本问是存在性问题点P有两种情况，分别位于x轴上方与下方，需要分类讨论，注意不要漏解；在求点P坐标时，
26、需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x3）2+4，将A（0，5）代入求得：a=1，抛物线解析式为y=（x3）2+4=x2+6x5（2）抛物线的对称轴l与C相离证明：令y=0，即x2+6x5=0，得x=1或x=5，B（1，0），C（5，0）如答图所示，设切点为E，连接CE，由题意易证RtABORtBCE，即，求得C的半径CE=；而点C到对称轴x=3的距离为2，2，抛物线的对称轴l与C相离（3）存在理由如下：有两种情况：（I）如答图所示，点P在x轴上方A（0，5），C（5，0），AOC为等腰直角三角形，OCA=45；PC
27、AC，PCO=45过点P作PFx轴于点F，则PCF为等腰直角三角形设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 又点P在抛物线上，n=m2+6m5 联立式，解得：m=2或m=5当m=5时，点P与点C重合，故舍去，m=2，n=3，点P坐标为（2，3）；（II）如答图所示，点P在x轴下方A（0，5），C（5，0），AOC为等腰直角三角形，OAC=45；过点P作PFy轴于点F，PAAC，PAF=45，即PAF为等腰直角三角形设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=n=OA+AF=5+m，m+n=5 又点P在抛物线上，n=m2+6m5 联立式，解得：m=
28、0或m=7当m=0时，点P与原点重合，故舍去，m=7，n=12，点P坐标为（7，12）综上所述，存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形点P的坐标为（2，3）或（7，12）【点评】本题是代数几何综合题，以抛物线为载体，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形以及直线与圆的位置关系等重要知识点，考查了代数计算能力、几何空间想象能力、数形结合思想、分类讨论思想等综合运用第（3）问需要分类讨论，避免漏解，这是本题的难点6（2015梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上
29、有一动点D，过D作DEx轴，垂足为E，交AB于点F（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DHAC交AB于H，当DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，代入抛物线得到方程组，求出a，b的值，即可解答；（2）先求出直线AB的解析式为y=x+2，设F点的坐标为（x，x+2）
30、，则D点的坐标为（x，），根据G点与D点关于F点对称，所以G点的坐标为（x，），若以G为圆心，GD为半径作圆，使得G与其中一条坐标轴相切，分两种情况解答：若G与x轴相切则必须由DG=GE；若G与y轴相切则必须由DG=OE；（3）M点的横坐标为22，N点的横坐标为2【解答】解：（1）B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，解得：所求的抛物线为：y=（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解得：直线AB的解析式为y=x+2，设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，），G点与D点关于F点对称，G点的坐标为（x，），若以G为圆心，GD为半径作圆，使得G
31、与其中一条坐标轴相切，若G与x轴相切则必须由DG=GE，即x2+x+2（）=，解得：x=，x=4（舍去）；若G与y轴相切则必须由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当G与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为2或（3）M点的横坐标为22，N点的横坐标为2【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，难度较大，注意分类讨论思想的应用7（2015娄底）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，求A的半径；（3）在直线BC
32、上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；（2）过A作ADBC于点D，则AD为A的半径，由条件可证明ABDCBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出PQC和PQB的面积，可表示出PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标【解
33、答】解：（1）抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），把A、B两点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x；（2）过A作ADBC于点D，如图1，A与BC相切，AD为A的半径，由（1）可知C（0，），且A（1，0），B（5，0），OB=5，AB=OBOA=4，OC=，在RtOBC中，由勾股定理可得BC=，ADB=BOC=90，ABD=CBO，ABDCBO，=，即=，解得AD=，即A的半径为；（3）C（0，），可设直线BC解析式为y=kx，把B点坐标代入可求得k=，直线BC的解析式为y=x，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，x2+2x），则
34、Q（x，x），PQ=（x2+2x）（x）=x2+x=（x）2+，SPBC=SPCQ+SPBQ=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）=PQOB=PQ=（x）2+，当x=时，SPBC有最大值，此时P点坐标为（，），当P点坐标为（，）时，PBC的面积有最大值【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强8（2015曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ly轴于点B（0
35、，2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与P的位置关系，并说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据题意可知A（0，1），C（2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的解析式；（2）根据OE=2可知点E的坐标为（0，2）或（0，2），从而可确定出点P的纵坐标为1或1；（3）设点P的坐标为（m，），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离，根据d=r，可知直线和圆
36、相切【解答】解：（1）点A为OB的中点，点A的坐标为（0，1）CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（2，0），D（2，0），将点A（0，1），C（2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线得解析式为y=（2）如下图：过点P1作P1FOEOE=2，点E的坐标为（0，2）P1FOEEF=OF点P1的纵坐标为1同理点P2的纵坐标为1将y=1代入抛物线的解析式得：x1=，x2=2点P1（2，1），P2（2，1）如下图：当点E与点B重合时，点P3与点A重合，点P3的坐标为（0，1）综上所述点P的坐标为（2，1）或（2，1）或（0，1）（3）设点P的坐标为（m，），圆的半径OP=，点P到
37、直线l的距离=（2）=+1d=r直线l与圆P相切【点评】本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键9（2015庆阳）如图，在平面直角坐标系中顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积（3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优
38、网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）由题意可知当P点移动到抛物线的顶点是PBC的面积最大，根据四边形ABPC的面积的最大值为：SABC+SPBC求得即可；（3）已知ABD是直角，若连接圆心和切点（暂定为E），不难看出RtOAB、RtEBC相似，可据此求出C的半径，再将该半径与点C到对称轴l的距离进行比较即可【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=a（x+4）21，把点A（0，3）代入得：3=16a1，解得a=，所以此抛物线的解析式为y=（x+4）21；（2）令y=0，则0=（x+4）21；解得x1=2，x2=6，B（2，0），C（6，0），
39、BC=4，S四边形ABPC=SABC+SPBC，SABC=BCOA=43=6，要使四边形ABPC的面积最大，则PBC的面积最大，当P点移动到抛物线的顶点时PBC的面积最大，四边形ABPC的面积的最大值为：SABC+SPBC=6+41=6+2=8；（3）如图，设C与BD相切于点E，连接CE，则BEC=AOB=90A（0，3）、B（2，0）、C（6，0），OA=3，OB=2，OC=6，BC=4；AB=，ABBD，ABC=EBC+90=OAB+90，EBC=OAB，OABEBC，=，即=EC=设抛物线对称轴交x轴于F抛物线的对称轴x=4，CF=2，不存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时
40、相切的圆【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及四边形的面积等重要知识点10（2015济宁）如图，E的圆心E（3，0），半径为5，E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时求出点P的坐标及最小距离【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=
41、3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2）求出点D的坐标为（，0），根据AOEDOA，求出DAE=90，判断出直线l与E相切与A（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M设M（m，m+4），P（m，m2+m4），得到PM=m+4（m2+m4）=m2m+8=（m2）2+，根据PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小sinQMP=PM最小sinAEO=，从而得到最小距离【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在RtAOE中，由勾股定理得，OA=4，OCA
42、B，由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，A（0，4），B（0，4），C（8，0），抛物线的顶点为C，设抛物线的解析式为y=a（x8）2，将点B的坐标代入上解析的式，得64a=4，故a=，y=（x8）2，y=x2+x4为所求抛物线的解析式，（2）在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=，点D的坐标为（，0），当x=0时，y=4，点A在直线l上，在RtAOE和RtDOA中，=，=，=，AOE=DOA=90，AOEDOA，AEO=DAO，AEO+EAO=90，DAO+EAO=90，即DAE=90，因此，直线l与E相切与A（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M设M（m，m+4），P（m，m2+m4），则PM=m+4（m2+m4）=m2m+8=（m2）2+，当m=2时，PM取得最小值，此时，P（2，），对于PQM，PMx轴，QMP=
