1、第4章因式分解 章末拔尖试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A（x+2）（x2）x24Bx24（x+2）（x2）Cx24+3x（x+2）（x2）+3xDx2+4x2x（x+4）22n为正整数，若2an14an+1的公因式是M，则M等于（）Aan1B2anC2an1D2an+13（2021春婺城区校级期末）多项式（x+2）（2x1）2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则mn的值是（）A2B2C5D54如图，矩形的长、宽分别为a，b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（）A120B128C240D2505（2021秋
2、邓州市期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x1，ab，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x21）3b（x21）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A我爱学B爱新化C我爱新化D新化数学6（2021秋安居区期末）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（）A（x+3）（x4）B（x+4）（x3）C（x+6）（x2）D（x+2）（x6）7（2021春莲池区期中）若实数x满足x22x10，则4x38x24x+2
3、023的值为（）A2020B2021C2022D20238（2021春镇海区校级期中）已知a，b，c是正整数，ab，且a2abac+bc13，则ac等于（）A1B1或13C1D1或139（2021秋招远市期中）由图得到的等式中正确的有（）a2+b2+2ab（a+b）2；a2+b22ab（ab）2；b2+c2+2bc（b+c）2；b2+c2+ab+bc+ac（a+b+c）（b+c）；（a+b+c）2（b+c）2a2+2ab+2ac；12（a+b+c）（a+b+c）a2+b2+c2+ab+bc+ac；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（a+b+c）2ABCD10（2021秋交城县期末）224
4、1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（）A64，63B61，65C61，67D63，65二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（2021秋浦东新区校级期中）因式分解：81x41 12（2021春萍乡期末）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x1）（x3），则k+b的值为 13（2021秋常宁市期末）计算：4037280722019 14（2021春高州市期中）若多项式mx25x+2有一个因式为（x1），那么m 15（2021春宜兴市期中）已知a=12020+2019，b=12020+2020，c=12020+2021，则代数式2（a2+b2+c2abbcac）的值
5、是 16（2021春桂平市期中）已知实数x、y、z满足x2+y2+z24，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是 三解答题（共7小题，满分52分）17（6分）（2021秋怀安县期末）因式分解：（1）（ab）（xy）（ba）（x+y）；（2）（x2+1）24x218（6分）（2021求浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y15x2xy；（2）（1+ab）2（a+b）219（8分）（2021春桂平市期中）阅读材料：分解因式：x2+2x3解：原式x2+2x+113（x+1）24（x+1+2）（x+12）（x+3）（x1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全
6、平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：（1）x26x27；（2）x2（2n+1）x+n2+n20（8分）（2021秋淇县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m（x+3）（x+n）则x24x+mx2+（n+3）x+3nn+3=-4m=3n解得：n7，m21另一个因式为（x7），m的值为21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（2x5），求另一个因式以及k的值21（8分）（2021秋莱西市期中）问题提出：计算：1+3+3（1+3）+3（1
7、+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：（1）1+a+a（1+a）（1+a）+a（1+a）（1+a）（1+a）（1+a）2（2）由（1）知1+a+a（1+a）（1+a）2，所以，1+a+a（1+a）+a（1+a）2（1+a）2+a（1+a）2（1+a）2（1+a）（1+a）3（3）仿照（
8、2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4 ；发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）n ；问题解决：计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 （结果用乘方表示）22（8分）（2021秋望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：am+an+bm+bn（am+an）+（bm+bn）a（m+n）+b（m+n）（a+b）（m+n）分解因式：ab2a
9、2b+4；若a，b（ab）都是正整数且满足ab2a2b40，求2a+b的值；（2）若a，b为实数且满足abab10，整式Ma2+3ab+b29a7b，求整式M的最小值23（8分）（2021秋松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 ；（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 ；试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和 第4章因式分
10、解 章末拔尖试卷一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A（x+2）（x2）x24Bx24（x+2）（x2）Cx24+3x（x+2）（x2）+3xDx2+4x2x（x+4）2【分析】根据因式分解的意义，可得答案【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选：B2n为正整数，若2an14an+1的公因式是M，则M等于（）Aan1B2anC2an1D2an+1【分析】根据多项式ma+mb+mc中，各项
11、都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式，可得答案【解答】解：因为2an14an+12an1（12a2），所以2an14an+1的公因式是2an1，即M2an1，故选：C3（2021春婺城区校级期末）多项式（x+2）（2x1）2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则mn的值是（）A2B2C5D5【分析】根据题意列出关系式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出mn的值【解答】解：（x+2）（2x1）2（x+2）（x+2）（2x3）（x+m）（2x+n），可得m2，n3，则mn2（3）2+35，故选：C4如图，矩形的长、宽分别为a，b，周长为16，面积为15，
12、则a2b+ab2的值为（）A120B128C240D250【分析】先根据矩形的周长和面积求出a+b、ab的值，再分解多项式，最后代入求值【解答】解：矩形的周长为16，面积为15，a+b8，ab15a2b+ab2ab（a+b）158120故选：A5（2021秋邓州市期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x1，ab，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x21）3b（x21）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A我爱学B爱新化C我爱新化D新化数学【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案【解
13、答】解：3a（x21）3b（x21）3（x21）（ab）3（x+1）（x1）（ab），x1，ab，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，故选：C6（2021秋安居区期末）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（）A（x+3）（x4）B（x+4）（x3）C（x+6）（x2）D（x+2）（x6）【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可【解答】解：（x6）（x+2）
14、x26x+2x12x24x12，（x+8）（x4）x24x+8x32x2+4x32，因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x4），n12，m4，x2+mx+nx2+4x12（x+6）（x2），故选：C7（2021春莲池区期中）若实数x满足x22x10，则4x38x24x+2023的值为（）A2020B2021C2022D2023【分析】由已知条件x22x10，给等式两边同时乘以x，则可得x32x2x0，原式因式分解可得4（x32x2x）+2023，代入计算即可得出答案【解答】解：x22x10，x32x2x0，4x38x
15、24x+20234（x32x2x）+202340+20232023故选：D8（2021春镇海区校级期中）已知a，b，c是正整数，ab，且a2abac+bc13，则ac等于（）A1B1或13C1D1或13【分析】根据因式分解的分组分解法，a2abac+bc（ab）（ac）13，再根据a，b，c是正整数，ab，可得出（ac）的值【解答】解：a2abac+bc13，（a2ac）+（ab+bc）13，a（ac）b（ac）13，（ab）（ac）13，a，b，c是正整数，ab，ab1或13，ac13或1，故选：D9（2021秋招远市期中）由图得到的等式中正确的有（）a2+b2+2ab（a+b）2；a2+b
16、22ab（ab）2；b2+c2+2bc（b+c）2；b2+c2+ab+bc+ac（a+b+c）（b+c）；（a+b+c）2（b+c）2a2+2ab+2ac；12（a+b+c）（a+b+c）a2+b2+c2+ab+bc+ac；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（a+b+c）2ABCD【分析】通过等面积法验证恒等式【解答】解：由图知：两个边长分别是a，b的正方形，两个长为a，宽是b的长方形拼成一个边长为（a+b）的长方形a2+b2+2ab（a+b）2故可以得到图中没有边长为（ab）的长方形或正方形不能得到由图知：两个边长分别是b，c的正方形，两个长为b，宽是c的长方形拼成一个边长为（b+c）
17、的长方形b2+c2+2bc（b+c）2故可以得到（a+b+c）（b+c）ab+ac+b2+bc+bc+c2b2+c2+ab+2bc+acb2+c2+ab+bc+ac不能得到综上可以排除A，B，D三个选项，故选：C10（2021秋交城县期末）2241可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（）A64，63B61，65C61，67D63，65【分析】原式利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数【解答】解：2241（2121）（212+1）（261）（26+1）（212+1）6365（212+1），则这两个数为63与65故选：D二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（2021秋浦东新
18、区校级期中）因式分解：81x41（9x2+1）（3x+1）（3x1）【分析】根据平方差公式分解因式即可【解答】解：原式（9x2+1）（9x21）（9x2+1）（3x+1）（3x1），故答案为：（9x2+1）（3x+1）（3x1）12（2021春萍乡期末）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x1）（x3），则k+b的值为1【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值【解答】解：由题意得：x2+kx+b（x1）（x3）x24x+3，k4，b3，则k+b4+31故答案为：113（2021秋常宁市期末）计算：4037280
19、7220191【分析】把80722019变为40384036，再套用平方差公式计算得结果【解答】解：原式40372240362019403724036403840372（40371）（4037+1）40372（403721）1故答案为：114（2021春高州市期中）若多项式mx25x+2有一个因式为（x1），那么m3【分析】由多项式mx25x+2有一个因式为（x1），即把x1代入方程mx25x+20可得m的值【解答】解：多项式mx25x+2有一个因式为（x1），x1是方程mx25x+20的解，即m5+20，解得m3故答案为：315（2021春宜兴市期中）已知a=12020+2019，b=120
20、20+2020，c=12020+2021，则代数式2（a2+b2+c2abbcac）的值是 6【分析】利用完全平方公式因式分解可得2（a2+b2+c2abbcac）（ab）2+（bc）2+（ac）2，即可求解【解答】解：a=12020+2019，b=12020+2020，c=12020+2021，ba1，cb1，ca2，2（a2+b2+c2abbcac）（ab）2+（bc）2+（ac）21+1+46，故答案为：616（2021春桂平市期中）已知实数x、y、z满足x2+y2+z24，则（2xy）2+（2yz）2+（2zx）2的最大值是 28【分析】原式利用完全平方公式化简，结合整理后将已知等式代
21、入，利用（x+y+z）2x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz变形，根据非负数的性质求出最大值即可【解答】解：实数x、y、z满足x2+y2+z24，（2xy）2+（2yz）2+（2zx）24x24xy+y2+4y24yz+z2+4z24xz+x25（x2+y2+z2）4（xy+yz+xz）204（xy+yz+xz）202（2xy+2yz+2xz）202（x+y+z）2（x2+y2+z2）202（x+y+z）24282（x+y+z）228，则原式的最大值为28故答案为：28三解答题（共7小题，满分52分）17（6分）（2021秋怀安县期末）因式分解：（1）（ab）（xy）（ba）（x+y）；（
22、2）（x2+1）24x2【分析】（1）用提取公因式法分解因式；（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式【解答】解：（1）原式（ab）（xy）+（ab）（x+y）（ab）（xy）+（x+y）2x（ab），（2）原式（x2+1）2（2x）2（x2+1+2x）（x2+12x）（x+1）2（x1）218（6分）（2021求浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y15x2xy；（2）（1+ab）2（a+b）2【分析】（1）将原式分为两组：（5x215x）、（2xy6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解【解答】解：（1）原式（5x215x）（2xy6y）5x（x3）2y
23、（x3）（x3）（5x2y）；（2）原式（1+abab）（1+ab+a+b）（1a）b（1a）（1+a）+b（1+a）（1a）（1b）（1+a）（1+b）19（8分）（2021春桂平市期中）阅读材料：分解因式：x2+2x3解：原式x2+2x+113（x+1）24（x+1+2）（x+12）（x+3）（x1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：（1）x26x27；（2）x2（2n+1）x+n2+n【分析】（1）把27化为936，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可；（2）先把原式化为x2-(2n+1)x+(n+12)2-
24、(n+12)2+n2+n，然后利用完全平方公式与平方差公式分解即可【解答】解：（1）原式x26x+936（x3）262（x+3）（x9）；（2）原式x2-(2n+1)x+(n+12)2-(n+12)2+n2+n（xn-12）2-(12)2（xn-12-12）（xn-12+12）（xn1）（xn）20（8分）（2021秋淇县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m（x+3）（x+n）则x24x+mx2+（n+3）x+3nn+3=-4m=3n解得：n7，m21另一个因式为（x7），m
25、的值为21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（2x5），求另一个因式以及k的值【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x24x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式所求的式子2x2+3xk的二次项系数是2，因式是（2x5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式【解答】解：设另一个因式为（x+a），得：2x2+3xk（2x5）（x+a），则2x2+3xk2x2+（2a5）x5a2a-5=3-5a=-k解得：a4，k20故另一个因式为（x+4），
26、k的值为2021（8分）（2021秋莱西市期中）问题提出：计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：（1）1+a+a（1+a）（1+a）+a（1+a）（1+a）（1+a）（1+a）2（2）由（1）知1+a+a（1+a）（1+a）2，所以，1+a+a（1+a
27、）+a（1+a）2（1+a）2+a（1+a）2（1+a）2（1+a）（1+a）3（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4（1+a）5；发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）n（1+a）n+1；问题解决：计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6（1+3）7（结果用乘方表示）【分析】（3）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；（4）通过
28、前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；发现规律：是根据（2）（3）（4）的结果写出结论；问题解决：通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式【解答】解：（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3（1+a）2（1+a）+a（1+a）3（1+a）3+a（1+a）3（1+a）3（1+a）（1+a）4；（4）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4（1+a）2（1+a
29、）+a（1+a）3+a（1+a）4（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4（1+a）3（1+a）+a（1+a）4（1+a）4+a（1+a）4（1+a）4（1+a）（1+a）5；故答案为：（1+a）5；发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）n（1+a）n+1；故答案为：（1+a）n+1；计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3
30、）6（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6（1+3）5（1+3）+3（1+3）6（1+3）6（1+3）（1+3）747故答案为：4722（8分）（2021秋望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：am+an+bm+bn（am+an）+（bm+bn）a（m+n）+b（m+n）（a+b）（m+n）分解因式：ab2a2b+4；若a，b（ab）都是正整数且满足ab2a2b40，求2a+b的值；（2）若a，b为实数且满足abab10，整式Ma2+3ab+b29a7b，求
31、整式M的最小值【分析】（1）模仿例题利用分组法进行因式分解即可；利用题结论进行讨论计算；（2）由题意得aba+b+1，然后将整式M进行配方部分因式分解就能求得此题结果【解答】解：（1）ab2a2b+4a（b2）2（b2）（b2）（a2）；ab2a2b4ab2a2b+480，由可知：（b2）（a2）8，a，b（ab）都是正整数，a2b2，且a2、b2都为整数，可得，a-2=8，b-2=1，或a-2=4，b-2=2，或a-2=-1，b-2=-8，或a-2=-2，b-2=-4，解得a=10b=3，或a=6b=4，或a=1b=-6（不合题意，舍去），或a=0b=-2（不合题意，舍去），当a10，b3时
32、，2a+b210+320+323，当a6，b4时，2a+b26+412+416，2a+b的值为23或16；（2）由abab10得，aba+b+1，Ma2+3（a+b+1）+b29a7ba2+3a+3b+3+b29a7b（a26a+9）+（b24b+4）94+3（a3）2+（b2）210，整式M的最小值是1023（8分）（2021秋松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 （a+2b）（2a+b）；（2）若这块长方形纸板的面积为
33、177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 51；试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和【分析】（1）按照整体思想和分割思想利用面积法分析求解；（2）利用整体思想代入求值；利用平移思想分析求解【解答】解：（1）如图，矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，S矩形ABCD2a2+5ab+2b2，又矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），S矩形ABCD（a+2b）（2a+b），2a2+5ab+2b2（a+2b）（2a+b），故答案为：（a+2b）（2a+b）；（2）
34、这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，2a2+5ab+2b2177，ab15，2（a2+b2）+5ab177，2（a2+b2）+515177，2（a2+b2）17775，2（a2+b2）102，a2+b251，即1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51，故答案为：51；通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形ABCD的周长，2（2a+b）+（a+2b）2（2a+b+a+2b）2（3a+3b）6a+6b，又a2+b251，2（a2+b2）102，2（a+b）22ab102，（a+b）281，a+b0，a+b9，6a+6b54，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和为54
