1、 3.7整式的除法【知识点1 单项式除以单项式】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：系数相除；同底数幂相除；对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式【题型1 单项式除以单项式】【例1】（2021春肥城市期末）下列计算结果错误的是（）A6x2y3（2xy2）3xyB（xy2）3（x2y）xy5C（2x2y2）3（xy）32x3y3D（a3b）2（a2b2）a4【变式1-1】（2020秋镇原县期末）如果一个单项式与5ab的积为-58a2bc，则这个单项式为（）A
2、18a2cB18acC258a3b2cD258ac【变式1-2】（2021秋新野县期中）已知6a2(-b3)2()1=23ab4中的据号内应填入（）A9ab2B9ab2C9a3b6D9ab3【变式1-3】（2021春田东县期中）计算4a3m+1b（8a2m1）的结果为（）A-12am+2bB12ambC-12ambD-12am+2【知识点2 多项式除以单项式】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式多项式除以单项式的结果仍是一个多项式【题型2 多项式除以单项式】【例2】（2021秋曲靖期末）计算(3a3-a2+
3、12a)12a的结果正确的是（）A32a2-12a+14B6a22a+1C6a42a3+a2D6a22a【变式2-1】（2021秋阆中市校级期中）(x6+2x4-4x2)M=-12x4-x2+2中，M为（）A12x2B-12x2C2x2D2x2【变式2-2】（2021秋淅川县期中）已知M（2x2）8x518x3y32x2，则M（）A4x39xy31B4x3+9xy3+1C4x3+9xy3D4x3+9xy31【变式2-3】（2020秋佳木斯期末）若一个多项式与2x2的积为2x5+4x3x2，则这个多项式为 【题型3 由整式除法法则求字母的值】【例3】（2021春铁岭月考）xmynx2y3xy，则
4、有（）Am2，n6Bm3，n4Cm2，n3Dm3，n5【变式3-1】（2021春宁波期末）已知28a2bm4anb27b2，那么m、n的值为（）Am4，n2Bm4，n1Cm1，n2Dm2，n2【变式3-2】（2021秋十堰期中）已知8a3bm28an+1b2=27b2，则m，n的值分别为（）Am4，n3Bm4，n2Cm2，n2Dm2，n3【变式3-3】（2021春贺兰县期中）如果m(xayb)3(2x3y2)2=18x3y2，求m，a，b的值【题型4 整式除法中错看问题】【例4】（2021秋香洲区期末）已知A2x+6，B是多项式，在计算BA时，小海同学把BA错看成了BA，结果得x，那么BA的正
5、确结果为（）A2x2+4x6B3x+6C2x2+6xD2x2+4x+6【变式4-1】（2021秋宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x2y）错抄成除以（x2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【变式4-2】（2021秋原阳县月考）已知A2x，B是多项式，计算B+A时，某同学把B+A误写成BA，结果得x2+12x，试求：（1）B+A的值；（2）A2-12B的值【变式4-3】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（
6、21x4y3+7x2y2）（7x2y）+5xyy你能复原被污染的地方吗？请你试一试【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021秋岚皋县期末）长方形的面积为2a24ab+2a，长为2a，则它的宽为（）A2a24abBa2bCa2b+1D2a2b+1【变式5-1】（2021秋海淀区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A12B1C12(a+b)Da+b【变式5-2】（2021秋兰考县期末）一个三角形的面积为3xy4y，一边长是2y，则这条边上的高为 【变式5-3】（2021春西湖区校级月考）如图，一窗框形
7、状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 【题型6 竖式计算多项式除以多项式】【例6】（2021秋思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式除式商式+余式，若余式为零，说
8、明这个多项式能被另一个多项式整除例如：计算2x5+3x3+5x22x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图所以2x5+3x3+5x22x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为3x+5（1）计算（2x33x2+4x5）（x+2）的商式为 ，余式为 ；（2）2x44x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除，求a、b的值【变式6-1】（2021秋鼓楼区校级期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除
9、式下面（同类项对齐），消去相等项；把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式除式商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除例如：计算（6x47x3x21）（2x+1），可用竖式除法如图：所以6x47x3x21除以2x+1，商式为3x35x2+2x1，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x34x2+7x5）（x2）的商是 ，余式是 ；（2）x3x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值【变式6-2】（2021秋椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多
10、位数相除的计算方法，用竖式进行计算例如（7x+2+6x2）（2x+1），仿照67221计算如下：因此（7x+2+6x2）（2x+1）3x+2（1）阅读上述材料后，试判断x3x25x3能否被x+1整除，说明理由（2）利用上述方法解决：若多项式2x43x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除，求ab的值【变式6-3】（2021秋九龙坡区期末）我们知道整数a除以整数b（其中ab0），可以用竖式计算，例如计算6813可以用整式除法如图：所以681353类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得
11、到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式除式商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除例如：计算（6x47x3x21）（2x+1）可用整式除法如图：所以6x47x3x21除以2x+1商式为3x35x2+2x1，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x32x22x3）（x3） （2）（6x3+14x2+23）（3x22x+4），商式为 ，余式为 （3）若关于x的多项式2x3+ax2+bx3能被三项式x2x+3整除，且a，b均为
12、整数，求满足以上条件的a，b的值及商式 3.7整式的除法【知识点1 单项式除以单项式】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：系数相除；同底数幂相除；对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式【题型1 单项式除以单项式】【例1】（2021春肥城市期末）下列计算结果错误的是（）A6x2y3（2xy2）3xyB（xy2）3（x2y）xy5C（2x2y2）3（xy）32x3y3D（a3b）2（a2b2）a4【分析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，
13、对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，对各选项计算后利用排除法求解【解答】解：A、6x2y3（2xy2）3xy，正确；B、（xy2）3（x2y）（x3y6）（x2y）xy5，正确；C、应为（2x2y2）3（xy）38x3y3，故本选项错误；D、a6b2（a2b2）a4，正确故选：C【变式1-1】（2020秋镇原县期末）如果一个单项式与5ab的积为-58a2bc，则这个单项式为（）A18a2cB18acC258a3b2cD258ac【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算，得到答案【解答】解：设这个单项式为A，由题意得，A（5ab）=-58a2bc，A=-58a2bc
14、（5ab）=18ac，故选：B【变式1-2】（2021秋新野县期中）已知6a2(-b3)2()1=23ab4中的据号内应填入（）A9ab2B9ab2C9a3b6D9ab3【分析】直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案【解答】解：6a2(-b3)2()1=23ab4，6a2b6（）1=23ab4，则据号内应填入：6a2b623ab49ab2故选：A【变式1-3】（2021春田东县期中）计算4a3m+1b（8a2m1）的结果为（）A-12am+2bB12ambC-12ambD-12am+2【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案【解答】解：4a3m+1b（8a2m1）=-12a3m+1（2m
15、1）b=-12am+2b故选：A【知识点2 多项式除以单项式】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式多项式除以单项式的结果仍是一个多项式【题型2 多项式除以单项式】【例2】（2021秋曲靖期末）计算(3a3-a2+12a)12a的结果正确的是（）A32a2-12a+14B6a22a+1C6a42a3+a2D6a22a【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可【解答】解：原式3a312aa212a+12a12a6a22a+1，故选：B【变式2-1】（2021秋阆中市校级期中）(x6+2x4-4x2)M=-12x
16、4-x2+2中，M为（）A12x2B-12x2C2x2D2x2【分析】利用除式被除式商式列出算式即可求得结论【解答】解：(x6+2x4-4x2)M=-12x4-x2+2，M=(x6+2x4-4x2)(-12x4-x2+2)2x2（-12x4-x2+2）（-12x4-x2+2）2x2故选：C【变式2-2】（2021秋淅川县期中）已知M（2x2）8x518x3y32x2，则M（）A4x39xy31B4x3+9xy3+1C4x3+9xy3D4x3+9xy31【分析】利用整式的除法法则进行倒推即可【解答】解：已知M（2x2）8x518x3y32x2，则M4x3+9xy3+1，故选：B【变式2-3】（2
17、020秋佳木斯期末）若一个多项式与2x2的积为2x5+4x3x2，则这个多项式为 【分析】根据“其中的一个因式积另一个因式”列式，然后利用多项式除以单项式的运算法则进行计算【解答】解：一个多项式与2x2的积为2x5+4x3x2，这个多项式为：（2x5+4x3x2）（2x2）x32x+12，故答案为：x32x+12【题型3 由整式除法法则求字母的值】【例3】（2021春铁岭月考）xmynx2y3xy，则有（）Am2，n6Bm3，n4Cm2，n3Dm3，n5【分析】根据单项式相除的法则，列出方程即可得到答案【解答】解：xmynx2y3xy，m21且n31，m3，n4，故选：B【变式3-1】（202
18、1春宁波期末）已知28a2bm4anb27b2，那么m、n的值为（）Am4，n2Bm4，n1Cm1，n2Dm2，n2【分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值【解答】解：28a2bm4anb27b2，2n0，m22，解得：m4，n2故选：A【变式3-2】（2021秋十堰期中）已知8a3bm28an+1b2=27b2，则m，n的值分别为（）Am4，n3Bm4，n2Cm2，n2Dm2，n3【分析】根据整式的除法即可求出答案【解答】解：由题意可知：3n+1，m22，n2，m4，故选：B【变式3-3】（2021春贺兰县期中）如果m
19、(xayb)3(2x3y2)2=18x3y2，求m，a，b的值【分析】先根据整式的除法运算法则计算已知等式的左边，再根据底数相同，指数也相等得方程，求解即可【解答】解：m(xayb)3(2x3y2)2=mx3ay3b(4x6y4)=14mx3a-6y3b-4，14mx3a-6y3b-4=18x3y2则 14m=18，3a-6=3，3b-4=2，解得 m=12，a=3，b=2.【题型4 整式除法中错看问题】【例4】（2021秋香洲区期末）已知A2x+6，B是多项式，在计算BA时，小海同学把BA错看成了BA，结果得x，那么BA的正确结果为（）A2x2+4x6B3x+6C2x2+6xD2x2+4x+
20、6【分析】根据题目的已知可知BAxx（2x+6），然后进行计算即可解答【解答】解：BAx，BAxx（2x+6）2x2+6x，BA2x2+6x（2x+6）2x2+6x2x62x2+4x6，故选：A【变式4-1】（2021秋宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x2y）错抄成除以（x2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【分析】根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘多项式的法则即可得出答案【解答】解：3x（x2y）3x26xy，（3x26xy）（x2y）3x36x2y6x2y+12xy23x312x2y+12xy2答：得到
21、的结果应该是3x312x2y+12xy2【变式4-2】（2021秋原阳县月考）已知A2x，B是多项式，计算B+A时，某同学把B+A误写成BA，结果得x2+12x，试求：（1）B+A的值；（2）A2-12B的值【分析】（1）根据被除式商式除式，列式计算求出B，代入求出A+B的结果；（2）把A、B的式子代入A2-12B，去括号，合并同类项化为最简形式【解答】解：（1）B2x（x2+12x）2x3+x2，A+B2x3+x2+2x；（2）A2-12B（2x）2-12（2x3+x2）4x2x3-12x2=72x2x3【变式4-3】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂
22、笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x4y3+7x2y2）（7x2y）+5xyy你能复原被污染的地方吗？请你试一试【分析】利用多项式除以单项式法则判断即可确定出所求【解答】解：根据题意得：5xy（7x2y）35x3y2，（21x4y3）（7x2y）3x2y2，则（21x4y335x3y2+7x2y2）（7x2y）3x2y2+5xyy【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021秋岚皋县期末）长方形的面积为2a24ab+2a，长为2a，则它的宽为（）A2a24abBa2bCa2b+1D2a2b+1【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可【解答】解：由
23、题意得：（2a24ab+2a）（2a）a2b+1，长方形的面积为2a24ab+2a，长为2a，则它的宽为：a2b+1，故选：C【变式5-1】（2021秋海淀区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A12B1C12(a+b)Da+b【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽（a2+b2+2ab）2（a+b）（a+b）22（a+b）=a+b2【解答】解：左边场地面积a2+b2+2ab，左边场地的面积与右边场地的面积相等，宽（a2+b2+2ab）2（a+b）（a+b）22（a+b
24、）=a+b2，故选：C【变式5-2】（2021秋兰考县期末）一个三角形的面积为3xy4y，一边长是2y，则这条边上的高为 【分析】根据三角形的面积S=12ah，得到：h=2Sa，代入计算即可【解答】解：根据题意得：2（3xy4y）（2y）（6xy8y）（2y）3x4，故答案为：3x4【变式5-3】（2021春西湖区校级月考）如图，一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 【分析】先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案【解答】解：原面积为：ab+12a24=ab+a28，由于新的
25、长方形的面积保持不变，（ab+a28）ab+8a，故答案为：b+8a【题型6 竖式计算多项式除以多项式】【例6】（2021秋思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式除式商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除例如：计
26、算2x5+3x3+5x22x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图所以2x5+3x3+5x22x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为3x+5（1）计算（2x33x2+4x5）（x+2）的商式为 2x27x+18，余式为 41；（2）2x44x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除，求a、b的值【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值【解答】解：（1）（2x33x2+4x5）（x+2）2x27x+1841，故答案为：2x27x+18，41；（2
27、）由题意得：2x44x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除，5（a+10）0，b+2（a+10）0即：a15，b10【变式6-1】（2021秋鼓楼区校级期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式除式商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除例如：计算（6x47
28、x3x21）（2x+1），可用竖式除法如图：所以6x47x3x21除以2x+1，商式为3x35x2+2x1，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x34x2+7x5）（x2）的商是 x22x+3，余式是 1；（2）x3x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值【解答】解：（1）（x34x2+7x5）（x2）x22x+31，故答案为：x22x+3，1；（2）由题意得：x3x2+ax+b能被x2+2x+2整除，a2
29、6，b6，即：a4，b6【变式6-2】（2021秋椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算例如（7x+2+6x2）（2x+1），仿照67221计算如下：因此（7x+2+6x2）（2x+1）3x+2（1）阅读上述材料后，试判断x3x25x3能否被x+1整除，说明理由（2）利用上述方法解决：若多项式2x43x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除，求ab的值【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可【解答】解：（1）x3x25x3能被x+1
30、整除；理由如下：（2）若多项式2x43x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除则有所以a+93，a12，b6；ab=-2【变式6-3】（2021秋九龙坡区期末）我们知道整数a除以整数b（其中ab0），可以用竖式计算，例如计算6813可以用整式除法如图：所以681353类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止
31、，被除式除式商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除例如：计算（6x47x3x21）（2x+1）可用整式除法如图：所以6x47x3x21除以2x+1商式为3x35x2+2x1，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x32x22x3）（x3）x2+x+1（2）（6x3+14x2+23）（3x22x+4），商式为 2x+6，余式为 4x1（3）若关于x的多项式2x3+ax2+bx3能被三项式x2x+3整除，且a，b均为整数，求满足以上条件的a，b的值及商式【分析】（1）列出竖式可得（x32x22x3）（x3）x2+x+1；（2）列出竖式可得（6x3+14x2+23）（3x22x+4）；（3）列出竖式结合已知可得：b+a40，93a0，求出a与b即可【解答】解：（1）（x32x22x3）（x3）x2+x+1，故答案为x2+x+1（2）（6x3+14x2+23）（3x22x+4），商式为2x+6，余式为4x1，故答案为2x+6，4x1；（3）多项式2x3+ax2+bx3能被三项式x2x+3整除，b+a40，93a0，a3，b7，商式为2x1
