1、 3.1幂的运算【知识点1 幂的运算】同底数幂的乘法：aman=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。同底数幂的除法：aman=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【题型1 幂的基本运算】【例1】（2021高新区校级三模）下列计算正确的是（）Ax8x4x2Bx3x4x12C（x3）2x6D（x2y3）2x4y6【变式1-1】（2020秋南宁期末）下列运算正确的是（）A（a2）3a5B（2a）36a3
2、Ca6a2a3Da1=1a（a0）【变式1-2】（2021椒江区一模）下列运算正确的是（）Aa2a4a8B（a2）3a5C（ab）2ab2Da5a3a2【变式1-3】（2021元阳县模拟）下面计算正确的是（）A3a+2b5abB（-3）01C（2a2）36a6Dx3xx1x3【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2021春蚌埠期末）若a（-34）2，b（-12）0，c0.751，则（）AabcBcabCcbaDacb【变式2-1】（2021春江都区校级期中）若a0.52，b52，c（5）0，那么a、b、c三数的大小为（）AacbBcabCabcDcba【变式2-2】（2021沙坪坝
3、区校级开学）已知a8131，b2741，c961，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDacb【变式2-3】（2021彭州市校级开学）已知a266，b355，c444，d533，则a、b、c、d的大小关系（）AabcdBabdcCbacdDadbc【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春莱阳市期末）已知10a5，10b2，则103a+2b1的值为 【变式3-1】（2021春青川县期末）已知am2，an3，则（a3mn）2 【变式3-2】（2021春仪征市期中）（1）已知10m5，10n2，求103m+2n的值；（2）已知8m4n16，求（3）2n3m的值
4、【变式3-3】（2021春宝应县月考）（1）若（9m+1）2316，求正整数m的值（2）已知n为正整数，且x2n2，求（3x3n）24（x2）2n的值【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2021春海陵区校级期末）若3x+2y30，则8x4y等于 【变式4-1】（2021春嵊州市期末）若4x3y30，则104x103y 【变式4-2】（2021春鄞州区校级期末）若2x+3y4z+10，求9x27y81z的值【变式4-3】（2021春高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y1，求代数式（y+1）2（y24x+4）的值（2）已知n为正整数，且x2n4，求（x3n）22（x2）2n的
5、值（3）若x、y满足x2+y2=54，xy=-12，求下列各式的值（x+y）2；x4+y4【题型5 幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春渠县期末）计算（1）4（2n）2（2n1）2（2）（1）2020（2）0|5|（-12）3【变式5-1】（2021春徐州期末）计算：（1）22+20210+|3|；（2）（a2）3+a2a4a7a【变式5-2】（2021春江都区校级期中）计算：（1）(12)-1-(5-)0-|-3|+2；（2）（2x2）3+x2x4+（3x3）2【变式5-3】（2021春临淄区期末）计算：（1）（xy）6（yx）3（xy）；（2）（322）0+（-12）342（-1
6、4）3【题型6 幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果amb，那么abm例如：因为5225，所以5252；因为501，所以510（1）根据上述规定填空：216 ；3127= （2）在运算时，按以上规定请说明等式89+810890成立【变式6-1】（2021春金水区期中）如果acb，那么我们规定（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定填空：（4，16），（3，1），（2，0.25）；（2）若（3，4）a，（3，6）b，（3，96）c判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由【变式6-2】（2021春邗江区月考）
7、规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（5，125） ，（2，32） ；若(x，116)=-4，则x （2）若（4，5）a，（4，6）b，（4，30）c，试说明下列等式成立的理由：a+bc【变式6-3】（2021春安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（5，125） ；（5，1） ；（2，14） ；（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）（3，4）小明给了如下的证明
8、：设（3n，4n）x，则（3n）x4n，即（3x）n4n，所以3x4，即（3，4）x，所以（3n，4n）（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）（64，1000000）（3）证明下面这个等式：（3，20）（3，4）（3，5） 3.1幂的运算【知识点1 幂的运算】同底数幂的乘法：aman=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。同底数幂的除法：aman=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【
9、题型1 幂的基本运算】【例1】（2021高新区校级三模）下列计算正确的是（）Ax8x4x2Bx3x4x12C（x3）2x6D（x2y3）2x4y6【分析】A，符合同底数幂相除法则；B，同底数幂相乘底数不变指数相加；C，符合幂的乘方运算法则；D，指数是偶次幂结果为正【解答】A：x8x4x4，A不符合要求；B：原式x7，B不符合要求；C：符合幂的乘方运算法则，C符合要求；D：原式x4y6，D不符合要求故选：C【变式1-1】（2020秋南宁期末）下列运算正确的是（）A（a2）3a5B（2a）36a3Ca6a2a3Da1=1a（a0）【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负
10、整数指数对各项进行运算即可得出结果【解答】解：A、（a2）3a6，故A不符合题意；B、（2a）38a3，故B不符合题意；C、a6a2a4，故C不符合题意；D、a1=1a（a0），故D符合题意故选：D【变式1-2】（2021椒江区一模）下列运算正确的是（）Aa2a4a8B（a2）3a5C（ab）2ab2Da5a3a2【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据积的乘方运算法则进行计算判断C，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断D【解答】解：A、a2a4a6，故此选项不符合题意；B、（a2）3a6，故此选项不符合题意；C、（ab）2a2b2，故此选项
11、不符合题意；D、a5a3a2，正确，故此选项符合题意；故选：D【变式1-3】（2021元阳县模拟）下面计算正确的是（）A3a+2b5abB（-3）01C（2a2）36a6Dx3xx1x3【分析】A由3a和2b不是同类项，不能合并可得结果；B任何非零数的零指数幂等于1，可得结果；C根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；D先计算同底数幂的除法计算，再利用同底数幂的乘法进行计算即可【解答】解：A3a和2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；B（-3）01，计算正确，符合题意；C（2a2）38a6，计算错误，不符合题意；Dx3xx1x，计算错误，不符合题意；故选：B【题型2 幂的运算法则逆用（
12、比较大小）】【例2】（2021春蚌埠期末）若a（-34）2，b（-12）0，c0.751，则（）AabcBcabCcbaDacb【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：a（-34）2=169，b（-12）01，c0.751=43，故acb故选：D【变式2-1】（2021春江都区校级期中）若a0.52，b52，c（5）0，那么a、b、c三数的大小为（）AacbBcabCabcDcba【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：a0.520.25，b52=-125，c（5）01，cab故选：B【变式2-2】（2021沙坪坝
13、区校级开学）已知a8131，b2741，c961，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDacb【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小【解答】解：a8131（34）313124；b2741（33）413123；c961（32）613122；312431233122，即abc故选：A【变式2-3】（2021彭州市校级开学）已知a266，b355，c444，d533，则a、b、c、d的大小关系（）AabcdBabdcCbacdDadbc【分析】根据幂的乘方法则计算，比较大小即可【解答】解：a266（26）116411；b355（35）1124311；c444（44）112
14、5611；d533（53）1112511；6411125112431125611，即adbc故选：D【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春莱阳市期末）已知10a5，10b2，则103a+2b1的值为 50【分析】把同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方运算法则逆用，变形103a+2b1代入计算，即可求出结果【解答】解：10a5，10b2，103a+2b1103a102b10（10a）3（10b）21053221050，故答案为：50【变式3-1】（2021春青川县期末）已知am2，an3，则（a3mn）2649【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可【
15、解答】解：am2，an3，a3m（am）3238，（a3mn）2（a3nan）2（83）2=649故答案为：649【变式3-2】（2021春仪征市期中）（1）已知10m5，10n2，求103m+2n的值；（2）已知8m4n16，求（3）2n3m的值【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可【解答】解：（1）10m5，10n2，103m+2n（10m）3（10n）253221254500；（2）8m4n23m22n23m2n1624，3m2n4，2n3m4，（3）2n3m=(-3)-4=181【变式3-3】（
16、2021春宝应县月考）（1）若（9m+1）2316，求正整数m的值（2）已知n为正整数，且x2n2，求（3x3n）24（x2）2n的值【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可【解答】解：（1）（9m+1）2（32m+2）234m+4316，4m+416，解得m3；（2）n为正整数，且x2n2，（3x3n）24（x2）2n9x6n4（x2n）29（x2n）34（x2n）29234229844721656【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2021春海陵区校级期末）若3x+2y30，则8x4y等于 8【分析】把8x4y都改为底数为2的乘
17、方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y30得出3x+2y3整体代入即可【解答】解：3x+2y30，3x+2y3，8x4y23x22y23x+2y238故答案为：8【变式4-1】（2021春嵊州市期末）若4x3y30，则104x103y1000【分析】先把已知等式4x3y30，变形为4x3y3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可【解答】解：4x3y30，4x3y3，104x103y104x3y1031000故答案为：1000【变式4-2】（2021春鄞州区校级期末）若2x+3y4z+10，求9x27y81z的值【分析】由2x+3y4z+10可得2x+3y4z1，再根据同底数幂的乘除法以及
18、幂的乘方运算法则求解即可【解答】解：2x+3y4z+10，2x+3y4z1，9x27y81z32x33y34z32x+3y4z31=13【变式4-3】（2021春高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y1，求代数式（y+1）2（y24x+4）的值（2）已知n为正整数，且x2n4，求（x3n）22（x2）2n的值（3）若x、y满足x2+y2=54，xy=-12，求下列各式的值（x+y）2；x4+y4【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y1代入计算即可；（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n4代入计算即可；（3）根据完全平方公式求解即可【解答】解：（1）2x+y1，（y+1）
19、2（y24x+4）y2+2y+1y2+4x44x+2y32（2x+y）3231；（2）x2n4，（x3n）22（x2）2n（x2n）32（22n）2432426421632；（3）x2+y2=54，xy=-12，（x+y）2x2+y2+2xy=54+2(-12)=54-1=14；x2+y2=54，xy=-12，x4+y4（x2+y2）22x2y2=(54)2-2(-12)2=2516-12=1716【题型5 幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春渠县期末）计算（1）4（2n）2（2n1）2（2）（1）2020（2）0|5|（-12）3【分析】（1）把4转化成底数为2，再根据同底数幂的乘
20、法的法则与同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则对式子进行运算即可【解答】解：（1）4（2n）2（2n1）22222n22n222+2n2n+22416；（2）（1）2020（2）0|5|（-12）3115（8）15+84【变式5-1】（2021春徐州期末）计算：（1）22+20210+|3|；（2）（a2）3+a2a4a7a【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则计算即可【解答】（1）原式4+1+30；（2）原式a6+a6a6a6
21、【变式5-2】（2021春江都区校级期中）计算：（1）(12)-1-(5-)0-|-3|+2；（2）（2x2）3+x2x4+（3x3）2【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加【解答】解：（1）原式213+20；（2）原式8x6+x6+9x62x6【变式5-3】（2021春临淄区期末）计算：（1）（xy）6（yx）3（xy）；（2）（322）0+（-12）342（-14）3【分析
22、】（1）直接将原式化为同底数，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：（1）原式（xy）6（xy）3（xy）（xy）2；（2）原式18-116（64）18+45【题型6 幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果amb，那么abm例如：因为5225，所以5252；因为501，所以510（1）根据上述规定填空：2164；3127=3（2）在运算时，按以上规定请说明等式89+810890成立【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则
23、，结合定义计算【解答】解：（1）2416，2164；3-3=127，3127=-3故答案为：4；3；（2）设89x，810y，则8x9，8y10，8x8y8x+y90，890x+y，89+810x+y，89+810890【变式6-1】（2021春金水区期中）如果acb，那么我们规定（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定填空：（4，16）2，（3，1）0，（2，0.25）2；（2）若（3，4）a，（3，6）b，（3，96）c判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则
24、计算得出答案【解答】解：（1）4216，（4，16）2，301，（3，1）0，22=14，（2，0.25）2故答案为：2，0，2；（2）2a+bc理由：（3，4）a，（3，6）b，（3，96）c，3a4，3b6，3c96，（3a）23b3c，2a+bc【变式6-2】（2021春邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（5，125）3，（2，32）5；若(x，116)=-4，则x2（2）若（4，5）a，（4，6）b，（4，30）c，试说明下列等式成立的理由：a+bc【分析】根据新定义的运算和
25、表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可【解答】解：（1）因为53125，所以（5，125）3；因为（2）532，所以（2，32）5；由新定义的运算可得，x4=116，因为（2）4=1(2)4=116，所以x2，故答案为：3，5；2；（2）因为（4，5）a，（4，6）b，（4，30）c，所以4a5，4b6，4c30，因为5630，所以4a4b4c，所以a+bc【变式6-3】（2021春安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果acb，那么（a，b）c例如：因为238，所以（2，8）3（1）根据上述规定，填空：（5，125）3；（5，1）0；（2，14）2；（2）小明在研究这
26、种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）（3，4）小明给了如下的证明：设（3n，4n）x，则（3n）x4n，即（3x）n4n，所以3x4，即（3，4）x，所以（3n，4n）（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）（64，1000000）（3）证明下面这个等式：（3，20）（3，4）（3，5）【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；（3）设（3，20）x，（3，4）y，则3x20，3y4，从而可得3x3y5，得3xy5，即有（3，5）xy，从而得证【解答】解：（1）53125，（5，125）3；501，（5，1）0；2-2=14，（2，14）2故答案为：3，0，2；（2）（16，10000）（64，1000000）（24，104）（26，106）（2，10）（2，10）0；（3）证明：设（3，20）x，（3，4）y，则3x20，3y4，3x3y，204，5，3xy5，（3，5）xy，又（3，20）（3，4）xy，（3，20）（3，4）（3，5）
