1、 2.2二元一次方程组及其解法【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2021春常德期末）若方程（n1）x|n|3ym20255是关于x，y的二元一次方程，则nm【变式1-1】（2021春平凉期末）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 【变式1-2】（2017春长宁县月考）已知方程组3x-(m-3)y|m-2|-2=1(
2、m+1)x=-2是二元一次方程组，求m的值【变式1-3】（2021春自贡期末）已知关于x、y的方程（k24）x2+（k+2）x+（k6）yk+8，试问：当k为何值时此方程为一元一次方程？当k为何值时此方程为二元一次方程？【知识点2 二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2 二元一次方程（组）的解】【例2】（2021春开福区月考）已知关于x，y的二元一次方程组mx+2y=
3、103x-2y=0的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m21的值为（）A3或48B3C4或49D48【变式2-1】（2021春嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组x+y=9kx-y=5k的解也是二元一次方程2x+y16的解，则k的值为 【变式2-2】（2021春遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y12的非负整数解有 组【变式2-3】（2020春永定区期中）若x=2y=1是二元一次方程axby5和ax+2by8的公共解，求b2a的值【题型3 构建二元一次方程组】【例3】（2021春江津区期末）如果|xy3|+（x+3y+1）20，那么x，y的值为（）Ax=1y=2Bx=2y=-1Cx
4、=-1y=-2Dx=-2y=-1【变式3-1】（2020奉贤区三模）如果单项式x4ymn与2019xm+ny2是同类项，那么m+n的算术平方根是 【变式3-2】（2021春海陵区期末）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m a、b的运算a+bab（a+2b）3运算的结果59m【变式3-3】（2021春三门峡期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：xyax+by5，其中a，b为常数已知129，（3）32，则2ab 【题型4 整体换元求值】【例4】（2021春绥棱县期末）已知x，y满足方程组2x+5y=m-145x+2y=-m，则11x+11y的值为（）A22B22C11mD14【变式4-1】
5、（2021安徽二模）若x2y22021，且xy1则x 【变式4-2】（2021春自贡期末）阅读以下材料：解方程组x-y-1=04(x-y)-y=5解：由得xy1，将代入得41y5，解得y1；把y1代入解得x=0y=-1，这种方法称为“整体代入法”请你用这种方法解方程组2x-y-2=06x-3y+45+2y=12【变式4-3】（2021春福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34x+11y=5时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程变形：4x+10y+y5即2（2x+5y）+y5，把方程代入得：23+y5，y1，把y1代入得x4，方程组的解为x=4y=-1请你解决以下问题：
6、（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=59x-4y=19；（2）已知x，y满足方程组3x2-2xy+12y2=472x2+xy+8y2=36，求x2+4y2与xy的值；（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】【例5】（2020春定州市校级期末）解方程组ax+by=2cx-7y=8时，一学生把c看错而得x=-2y=2，正确的解是x=3y=-2，那么a、b、c的值是（）A不能确定Ba4，b5，c2Ca，b不能确定，c2Da4，b7，c2【变式5-1】（2020春牡丹江期中）甲乙两人解方程组ax+5y=15，4x-by=-2，由于甲看错了
7、方程中的a，而得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程中的b，而得到的解为x=5y=4，则a+b 【变式5-2】（2021春青川县期末）解关于x，y的方程组ax+by=93x-cy=-2 时，甲正确地解出x=2y=4，乙因为把c抄错了，误解为x=4y=-1，求a，b，c的值【变式5-3】（2020春邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下x+y=2(1)x-7y=8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为x=3y=-2”，而小红说：“我求出的解是x=-2y=2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程
8、中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来【题型6 根据方程组解的个数求参数】【例6】（2021春江夏区期末）如果关于x，y的方程组x+y=3x-2y=a-2的解是正数，那a的取值范围是（）A4a5Ba5Ca4D无解【变式6-1】（2020秋锦江区校级期中）若方程组ax-y=14x+by=2有无数组解，则a+b（）A2B3C1D0【变式6-2】（2021春仓山区期中）关于x，y的方程（m1）x+4y2和3x+（n+3）y1，下列说法正确的有 （写出所有正确的序号）当m1，n3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；当m1且n3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；当m7，n
9、1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；当m7且n1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解【变式6-3】（2021春汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解例：由2x+3y12，得：y=12-2x3=4-23x（x、y为正整数）要使y4-23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x3，代入y4-23x2所以2x+3y12的正整数解为x=3y=2问题：（1）请你直接写出方程3x+2y8的正整数解x=2y=1（2）若6x-3为自然数，则满足条件的正整数x的值有 A3个 B4个 C5个
10、D6个（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值 2.2二元一次方程组及其解法【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2021春常德期末）若方程（n1）x|n|3ym20255是关于x，y的二元一次方程，则nm1【解题思路】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程【解答过程】解：由方程（n1）x|n|3ym
11、20255是关于x，y的二元一次方程，得|n|1且n10；m20251解得n1，m2026nm（1）20261，故答案为：1【变式1-1】（2021春平凉期末）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 1【解题思路】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果【解答过程】解：由题意得：|a|1，b50，a10，解得：a1，b5，则原式（1）51故答案为：1【变式1-2】（2017春长宁县月考）已知方程组3x-(m-3)y|m-2|-2=1(m+1)x=-2是二元一次方程组，求m的值【解题思路】根据二元一次方程组的定义
12、得到|m2|21，且m30、m+10由此可以求得m的值【解答过程】解：依题意，得|m2|21，且m30、m+10，解得m5故m的值是5【变式1-3】（2021春自贡期末）已知关于x、y的方程（k24）x2+（k+2）x+（k6）yk+8，试问：当k为何值时此方程为一元一次方程？当k为何值时此方程为二元一次方程？【解题思路】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0【解答过程】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：k2-4=0k+2=0k-6
13、0，解得k2；k2-4=0k+20k-6=0，无解，所以k2时，方程为一元一次方程（2）根据二元一次方程的定义可知k2-4=0k+20k-60，解得k2，所以k2时，方程为二元一次方程【知识点2 二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2 二元一次方程（组）的解】【例2】（2021春开福区月考）已知关于x，y的二元一次方程组mx+2y=103x-2y=0的解中x，y均为整
14、数，且m为正整数，则m21的值为（）A3或48B3C4或49D48【解题思路】先求解二元一次方程组得x=103+m，再由x是整数，m为正整数，可得3+m10或3+m5，求出m的值，再验证y值是否符合，即可求解【解答过程】解：mx+2y=103x-2y=0，+，得3x+mx10，合并同类项，得（3+m）x10，解得x=103+m，x是整数，m为正整数，3+m3，3+m10或3+m5，m7或m2，当m7时，x1，y=32（舍），当m2时，x2，y3，m213，故选：B【变式2-1】（2021春嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组x+y=9kx-y=5k的解也是二元一次方程2x+y16的解，则k的
15、值为 1【解题思路】将方程组中两个方程相加得，2x14k，相减得2y4k，再由2x+y16，即可求k【解答过程】解：x+y=9kx-y=5k，+得，2x14k，得，2y4k，y2k，2x+y16，16k16，k1，故答案为1【变式2-2】（2021春遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y12的非负整数解有 3组【解题思路】将x0，1，2，分别代入2x+3y12，求出二元一次方程2x+3y12的非负整数解有多少组即可【解答过程】解：当x0时，方程2x+3y12变形为3y12，解得y4；当x3时，方程2x+3y12变形为6+3y12，解得y2；当x6时，方程2x+3y12变形为12+3y12
16、，解得y0；关于x，y的二元一次方程2x+3y12的非负整数解有3组：x=0y=4、x=3y=2和x=6y=0故答案为：3【变式2-3】（2020春永定区期中）若x=2y=1是二元一次方程axby5和ax+2by8的公共解，求b2a的值【解题思路】将x=2y=1分别代入axby5和ax+2by2，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入所求式子计算即可【解答过程】解：将x=2y=1分别代入axby5和ax+2by2得：2a-b=52a+2b=8，解得：a=3b=1，b2a1235【题型3 构建二元一次方程组】【例3】（2021春江津区期末）如果|xy3|+（x+3y+1）
17、20，那么x，y的值为（）Ax=1y=2Bx=2y=-1Cx=-1y=-2Dx=-2y=-1【解题思路】根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，再求出方程组的解即可【解答过程】解：|xy3|+（x+3y+1）20，xy30且x+3y+10，即x-y=3x+3y=-1，得4y4，解得：y1，把y1代入，得x+13，解得：x2，即x=2y=-1，故选：B【变式3-1】（2020奉贤区三模）如果单项式x4ymn与2019xm+ny2是同类项，那么m+n的算术平方根是 2【解题思路】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组m+n=4m-n=2，求出n，m的值，进而求出m+n的值，再
18、根据算术平方根的定义计算即可【解答过程】解：单项式x4ymn与2019xm+ny2是同类项，m+n=4m-n=2，m+n的算术平方根是2故答案为：2【变式3-2】（2021春海陵区期末）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m27a、b的运算a+bab（a+2b）3运算的结果59m【解题思路】先根据表格得出方程组a+b=5a-b=9，求出方程组的解，再代入m（a+2b）3求出m即可【解答过程】解：根据题意得：a+b=5a-b=9，解得：a=7b=-2，所以m（a+2b）3（7+2（2）327，故答案为：27【变式3-3】（2021春三门峡期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：xyax+by
19、5，其中a，b为常数已知129，（3）32，则2ab3【解题思路】先根据新运算得出方程组，求出方程组的解，最后代入求出答案即可【解答过程】解：129，（3）32，a+2b-5=9-3a+3b-5=-2，3+，得9b2025，解得：b5，把b5代入，得a+1059，解得：a4，所以2ab2453，故答案为：3【题型4 整体换元求值】【例4】（2021春绥棱县期末）已知x，y满足方程组2x+5y=m-145x+2y=-m，则11x+11y的值为（）A22B22C11mD14【解题思路】两方程相加，可得x+y2，再乘以11可得结论【解答过程】解：2x+5y=m-145x+2y=-m，+得：7x+7y
20、14，x+y2，11x+11y22，故选：A【变式4-1】（2021安徽二模）若x2y22021，且xy1则x1011【解题思路】利用平方差公式求出x+y的值，联立求出x的值即可【解答过程】解：x2y2（x+y）（xy）2021，且xy1，x+y2021，联立得：x+y=2021x-y=1，+得：2x2022，解得：x1011故答案为：1011【变式4-2】（2021春自贡期末）阅读以下材料：解方程组x-y-1=04(x-y)-y=5解：由得xy1，将代入得41y5，解得y1；把y1代入解得x=0y=-1，这种方法称为“整体代入法”请你用这种方法解方程组2x-y-2=06x-3y+45+2y=
21、12【解题思路】由第一个方程求出2x3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解【解答过程】解：由得：2xy2，将代入得3(2x-y)+45+2y12，即y5，将y5代入得：x3.5则方程组的解为x=3.5y=5【变式4-3】（2021春福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34x+11y=5时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程变形：4x+10y+y5即2（2x+5y）+y5，把方程代入得：23+y5，y1，把y1代入得x4，方程组的解为x=4y=-1请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=59x-4y=19；（
22、2）已知x，y满足方程组3x2-2xy+12y2=472x2+xy+8y2=36，求x2+4y2与xy的值；（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解【解题思路】（1）把第2个方程变形为3x+2（3x2y）19，则利用整体代换消去y，求出x的值，然后利用代入法求出y得到方程组的解；（2）对方程组进行变形，则利用整体代换求出xy的值，把xy的值代入第一个方程，得x2+4y2；（3）确定符合xy2的所有整数解，然后对x2+4y217进行验证，从而求解【解答过程】解：（1）3x-2y=59x-4y=19，将方程变形，3x+6x4y19，即3x+2（3x2y）19，把方程代入，得：3x+251
23、9，解得：x3，把x3代入，得：332y5，解得：y2，方程组的解为x=3y=2；（2）3x2-2xy+12y2=472x2+xy+8y2=36，将方程组变形，得：(x2+4y2)-2xy3=473(x2+4y2)+xy2=18，将，得：xy2+2xy3=73，解得：xy2，将xy2代入，得：x2+4y2+118，x2+4y217；x2+4y2的值为17，xy的值为2；（3）由（2）可得xy2，当x，y均为整数时，x=1y=2或x=-1y=-2或x=2y=1或x=-2y=-1，当x1，y2时，x2+4y217，当x1，y2时，x2+4y217，当x2，y1时，x2+4y2817，（故舍去），当
24、x2，y1时，x2+4y2817，（故舍去），在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为x=1y=2或x=-1y=-2【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】【例5】（2020春定州市校级期末）解方程组ax+by=2cx-7y=8时，一学生把c看错而得x=-2y=2，正确的解是x=3y=-2，那么a、b、c的值是（）A不能确定Ba4，b5，c2Ca，b不能确定，c2Da4，b7，c2【解题思路】把x=3y=-2代入方程cx7y8得3c7（2）8，求得c，把x=3y=-2和x=-2y=2分别代入方程ax+by2得代入方程，建立a、b的方程组求得a、b即可【解答过程】解：把x=3y=-2代入方程c
25、x7y8得3c7（2）8，解得c2，把x=3y=-2和x=-2y=2分别代入方程ax+by2得3a-2b=2-2a+2b=2，解得：a4，b5故选：B【变式5-1】（2020春牡丹江期中）甲乙两人解方程组ax+5y=15，4x-by=-2，由于甲看错了方程中的a，而得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程中的b，而得到的解为x=5y=4，则a+b9【解题思路】甲看错了a，可把甲的解代入求得b，乙看错了b，则可把乙的解代入，可求得a的值，可求得a+b的值【解答过程】解：甲看错了方程中的a，而得到方程组的解为x=-3y=-1，可把x=-3y=-1代入，可得43+b2，解得b10，乙看错了方程
26、中的b，而得到的解为x=5y=4，可把x=5y=4代入，可得到5a+4515，解得a1，a+b1+109故答案为：9【变式5-2】（2021春青川县期末）解关于x，y的方程组ax+by=93x-cy=-2 时，甲正确地解出x=2y=4，乙因为把c抄错了，误解为x=4y=-1，求a，b，c的值【解题思路】把甲的结果代入方程组求出c的值，以及关于a与b的方程，再将已知的结果代入第一个方程得到关于a与b的方程，联立求出a与b的值即可【解答过程】解：把x=2y=4代入方程组得：2a+4b=96-4c=-2，解得：c2，把x=4y=-1代入方程组中第一个方程得：4ab9，联立得：2a+4b=94a-b=
27、9，解得：a=2.5b=1，则a2.5，b1，c2【变式5-3】（2020春邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下x+y=2(1)x-7y=8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为x=3y=-2”，而小红说：“我求出的解是x=-2y=2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来【解题思路】设原方程组为ax+by=2cx-7y=8，把x=3y=-2代入，求出c，把x=3y=-2和x=-2y=2代入，得出方程组，求出a、b的值，即可得出答案【解答过程】
28、解：设原方程组为ax+by=2cx-7y=8，把x=3y=-2代入得：3c+148，解得：c2，把x=3y=-2和x=-2y=2代入得：3a-2b=2-2a+2b=2，解得：a4，b5，即原方程组为4x+5y=2-2x-7y=8【题型6 根据方程组解的个数求参数】【例6】（2021春江夏区期末）如果关于x，y的方程组x+y=3x-2y=a-2的解是正数，那a的取值范围是（）A4a5Ba5Ca4D无解【解题思路】将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，根据x与y都为正数，取出a的范围即可【解答过程】解：解方程组x+y=3x-2y=a-2，得：x=a+43y=5-a3，方程组的解为正数，a+43
29、05-a30，解得：4a5，故选：A【变式6-1】（2020秋锦江区校级期中）若方程组ax-y=14x+by=2有无数组解，则a+b（）A2B3C1D0【解题思路】方程组ax-y=14x+by=2有无数组解，得出关于a，b的等式，再根据题意求得a、b，进而即可求得结果【解答过程】解：由关于x，y的方程组ax-y=14x+by=2，2得：（2a4）x+（2b）y0，方程组有无数组解，2a40，2b0，解得：a2，b2，a+b0，故选：D【变式6-2】（2021春仓山区期中）关于x，y的方程（m1）x+4y2和3x+（n+3）y1，下列说法正确的有（写出所有正确的序号）当m1，n3时，由这两个方程
30、组成的二元一次方程组无解；当m1且n3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；当m7，n1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；当m7且n1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解【解题思路】把m，n的值代入原方程，解方程组即可【解答过程】解：当m1，n3时，原方程为4y2，3x1，此时组成方程组的解为x=13y=12，不符合题意；当m1且n3时，原方程为4y2，3x+（n+3）y1，组成方程组，解得：x=-1-n6y=12，符合题意；当m7，n1时，方程组为6x+4y=23x+2y=1，第一个方程化简得3x+2y1，与第二个方程相同，所以有无数个解，符合题意；当m7且n
31、1时，方程组为6x+4y=23x+(n+3)y=1，消去x，解得：y0或n1，n1，y0，此时x=13，有且只有一个解，符合题意；故答案为：【变式6-3】（2021春汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解例：由2x+3y12，得：y=12-2x3=4-23x（x、y为正整数）要使y4-23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x3，代入y4-23x2所以2x+3y12的正整数解为x=3y=2问题：（1）请你直接写出方程3x+2y8的正整数解x=2y=1（2）若6x-3为自然数，则满足条件的正整数x的值有 A3个 B4个 C5个 D6个（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值【解题思路】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；（2）根据题意得出x36或3或2或1，求出即可；（3）先求出y的值，即可求出k的值【解答过程】解：（1）方程3x+2y8的正整数解为x=2y=1，故答案为x=2y=1；（2）正整数有9，6，5，4，共4个，故选B；（3）x+2y=92x+ky=102得：（4k）y8，解得：y=84-k，x，y是正整数，k是整数，4k1，2，4，8，k3，2，0，4，但k3时，x不是正整数，故k2，0，4
