1、 2.5三元一次方程组及其解法【知识点1 三元一次方程组及解法】1三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断2解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题3当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2021春零陵区期末）若二元一次方程组2x+y=33x-y=2的解同时也是方程2xmy1的解，那么m的值为（）A2B1C3D4【变式1-1】（2021春梁平区期末）三元一次方程组2x=3y=6zx+2y+z=16的解是（）Ax=1y=
2、3z=5Bx=6y=3z=2Cx=6y=4z=2Dx=4y=5z=6【变式1-2】（2021坪山区模拟）若二元一次方程3xy70，2x+3y10和2x+ym0有公共解，则m的取值为（）A2B1C3D4【变式1-3】（2021春高新区期末）如果方程组x=4ax+by=5的解与方程组y=3bx+ay=2的解相同，则a+b【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2021春宝山区期末）解方程组：x-y+z=04x+2y+z=325x+5y+z=60【变式2-1】（2021春松江区期末）解方程组：3x+4y+z=14x+5y+2z=172x+2y-z=3【变式2-2】（2021春新抚区期末）解方程
3、组：x+2y+z=82x-y-z=-33x+y-2z=-1【变式2-3】（2020浙江自主招生）解方程组x(y+z)=2.5，(y-1)(z+x+1)=9.5，(z+1)(x+y-1)=11.【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2021春南陵县期末）已知：a3=b5=c7，且3a+2b4c9，则a+b+c的值等于 【变式3-1】（2020晋江市模拟）已知方程组x+y-5z=0x-y+z=0，则x：y：z 【变式3-2】（2020秋静安区月考）已知x+y2=z+y3=x+z4，那么代数式x-2y+z2x-y+z= 【变式3-3】解方程组：x2=y3=z42x+y+z=22方程组中的式实
4、际包含三个等式：x2=y3，x2=z4，y3=z4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与式联立成三元一次方程组，如3x=2y4y=3z2x+y+z=22，然后用一般方法求解对原方程组也可以用换元的方法来求解令x2=y3=z4=k，则有x2k，y3k，z4k，把代入，得4k+3k+4k22，解得k2，所以x4，y6，z8，所以原方程组的解为x=4y=6z=8借鉴上述“换元法”，解方程组x+12=y+23=z+342x+3y-z=13【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2020秋邛崃市期末）当x2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x1时，代数式ax2+bx+c的值是
5、0；当x1时，代数式ax2+bx+c的值是4；则当x2时，代数式ax2+bx+c的值是 【变式4-1】（2021春和平区期末）在等式yax2+bx+c中，当x1时，y0；当x2时，y3；当x5时，y60，则a，b ，c 【变式4-2】（2021春海口期末）在等式yax2+bx+c中，当x1时，y0；当x5时，y60；当x0时，y5求a2+2ab+c2的值【变式4-3】（2021春崇川区校级月考）已知yax2+bx+c，当x1时，y8；当x0时，y2；当x2时，y4（1）求a，b，c的值；（2）当x3时，求y的值【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2021苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解
6、方程组4x+10y=68x+22y=10时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程8x+20y+2y10，变形为2（4x+10y）+2y10，把方程代入得，26+2y10，则y1；把y1代入得，x4，所以方程组的解为：x=4y=-1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组2x-3y=76x-5y=11（2）已知x、y、z，满足3x-2z+12y=472x+z+8y=36试求z的值【变式5-1】（2021春金坛区期末）若2x+y+z10，3x+y+z12，则x+y+z 【变式5-2】阅读以下材料：若x+3y+5z5，x+4y+7z7，求x+y+z的值解：x+y+z
7、3（x+3y+5z）2（x+4y+7z）35271答：x+y+z的值的为1根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x+5y+4z6，3x+y7z4，求x+yz的值【变式5-3】（2020春鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组x+y+z=2，2x+3y-z=8，3x-2y+z=3，小曹同学的部分解答过程如下：解： + ，得3x+4y10， + ，得5x+y11， 与 联立，得方程组3x+4y=10，5x+y=11， （1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m、n、p、q
8、满足方程组m+n+p+q=42(m+n)+3p-q=163(m+n)-2p+q=6，则m+n2p+q 【知识点2 三元一次方程组的应用】1列方程组解决问题的一般步骤：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.2列方程组时需要注意以下几方面（1）单位必须统一，例如时间单位.（2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少
9、千米？【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【变式6-2】如图中的、分别代表一个数字，且满足以下三个等式：+17+14+13，则、分别代表什么数字？并说明理由【变式6-3】（2020春乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：A型B型C型满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多
10、期消费券（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了7张C型的消费券（2）若小明父母使用消费券共减了230元若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张 2.5三元一次方程组及其解法【知识点1 三元一次方程组及解法】1三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断2解三元一次方程组的基本思想
11、是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题3当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2021春零陵区期末）若二元一次方程组2x+y=33x-y=2的解同时也是方程2xmy1的解，那么m的值为（）A2B1C3D4【分析】两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的x、y的值代入2xmy1中，即可得出m的值【解答】解：两式相加得：5x5，解得：x1，y1，所以2xmy2m1，m3，故选：C【变式1-1】（2021春梁平区期末）三元一次方程组2x=3y=6zx+2y+z=16的解是（）Ax
12、=1y=3z=5Bx=6y=3z=2Cx=6y=4z=2Dx=4y=5z=6【分析】此题是选择题不用硬求，可以将A、B、C、D四个选项分别代入三元一次方程组，看是否成立【解答】解：A、将A选项代入方程组2x=3y=6zx+2y+z=16得，213365，故A选项错误；B、将B选项代入方程组2x=3y=6zx+2y+z=16得，263362，故B选项错误；C、将C选项代入方程组2x=3y=6zx+2y+z=16得，263462，6+24+216满足方程，故C选项正确；D、将D选项代入方程组2x=3y=6zx+2y+z=16得，243566，故D选项错误；故选：C【变式1-2】（2021坪山区模拟
13、）若二元一次方程3xy70，2x+3y10和2x+ym0有公共解，则m的取值为（）A2B1C3D4【分析】理解清楚题意，有二元一次方程3xy70，2x+3y10求得x，y的值，将其代入方程2x+ym0，可求得m的值【解答】解：3+，得x2，代入，得y1，把x2，y1代入方程2x+ym0，得221m0，m3故选：C【变式1-3】（2021春高新区期末）如果方程组x=4ax+by=5的解与方程组y=3bx+ay=2的解相同，则a+b1【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即x=4y=3是方程组ax+by=5bx+ay=2的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b
14、的值【解答】解：依题意，知x=4y=3是方程组ax+by=5bx+ay=2的解，4a+3b=53b+4a=2+，得7a+7b7，方程两边都除以7，得a+b1【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2021春宝山区期末）解方程组：x-y+z=04x+2y+z=325x+5y+z=60【分析】用加减消元法解三元一次方程组【解答】解：x-y+z=04x+2y+z=325x+5y+z=60，由，得：3x+3y3，由，得：21x+3y57，由，得：18x54，解得：x3，将x3代入，得：9+3y3，解得：y2，将x3，y2代入，得：3+2+z0，解得：z5，方程组的解为：x=3y=-2z=-5【变
15、式2-1】（2021春松江区期末）解方程组：3x+4y+z=14x+5y+2z=172x+2y-z=3【分析】利用“加减消元法”和“代入法”来解此三元一次方程组【解答】解：3x+4y+z=14x+5y+2z=172x+2y-z=3，由2，得5x+3y11 ，由+，得5x+6y17 ，由，并整理得y2，把y2代入，并解得x1，把x1，y2代入，并解得z3，所以，原方程组的解是：x=1y=2z=3【变式2-2】（2021春新抚区期末）解方程组：x+2y+z=82x-y-z=-33x+y-2z=-1【分析】+得出3x+y5，2+得出5x+5y15，求出x+y3，求出x，再把x1代入求出y，最后把x1
16、，y2代入求出z即可【解答】解：x+2y+z=82x-y-z=-33x+y-2z=-1，+得：3x+y5，2+得：5x+5y15，即x+y3，得：2x2，解得：x1，把x1代入得：y2，把x1，y2代入得：z3，则方程组的解为x=1y=2z=3【变式2-3】（2020浙江自主招生）解方程组x(y+z)=2.5，(y-1)(z+x+1)=9.5，(z+1)(x+y-1)=11.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：x(y+z)=2.5(y-1)(z+x+1)=9.5(z+1)(x+y-1)=11，+得：yz+yz10，把代入，得：xyx=12，zx+x2，y=12x+1，z=2x-1
17、，10yz+yz，（y1）（z+1）9，1x2=9，开方得：x13，把x=13代入得：y=52，z5，把x=-13代入得：y=-12，z7，则方程组的解为x=13y=52z=5或x=-13y=-12z=-7【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2021春南陵县期末）已知：a3=b5=c7，且3a+2b4c9，则a+b+c的值等于15【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b4c9，转化为关于k的一元一次方程解答【解答】解：设a3=b5=c7=k，则a3k，b5k，c7k，代入3a+2b4c9，得9k+10k28k9，解得：k1，a3，b5，c7，于是a+b+c35715故本题答案为：15
18、【变式3-1】（2020晋江市模拟）已知方程组x+y-5z=0x-y+z=0，则x：y：z2：3：1【分析】先解方程组，用含z的代数式表示x、y，再求x：y：z【解答】解：x+y-5z=0x-y+z=0，+，得2x4z0，x2z，得2y6z0，y3zx：y：z2z：3z：z2：3：1故答案为：2：3：1【变式3-2】（2020秋静安区月考）已知x+y2=z+y3=x+z4，那么代数式x-2y+z2x-y+z=35【分析】设x+y2=z+y3=x+z4=k，得到x+y=2kz+y=3kx+z=4k解三元一次方程组，求得x、y、z的值，代入解析式即可求得【解答】解：设x+y2=z+y3=x+z4=
19、k，x+y=2kz+y=3kx+z=4k解得x=32ky=12kz=52k，代数式x-2y+z2x-y+z=32k-212k+52k232k-12k+52k=35，故答案35【变式3-3】解方程组：x2=y3=z42x+y+z=22方程组中的式实际包含三个等式：x2=y3，x2=z4，y3=z4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与式联立成三元一次方程组，如3x=2y4y=3z2x+y+z=22，然后用一般方法求解对原方程组也可以用换元的方法来求解令x2=y3=z4=k，则有x2k，y3k，z4k，把代入，得4k+3k+4k22，解得k2，所以x4，y6，z8，所以原方程组
20、的解为x=4y=6z=8借鉴上述“换元法”，解方程组x+12=y+23=z+342x+3y-z=13【分析】将x+12=y+23=z+34=k，得出x2k1，y3k2，z4k3，再代入解答即可【解答】解：把解方程组x+12=y+23=z+342x+3y-z=13中的x+12=y+23=z+34=k，可得：x2k1，y3k2，z4k3，把x2k1，y3k2，z4k3代入2x+3yz13，可得：4k2+9k64k+313，解得：k2，可得：x3，y4，z5；所以方程组的解是：x=3y=4z=5【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2020秋邛崃市期末）当x2时，代数式ax2+bx+c的值是5
21、；当x1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x1时，代数式ax2+bx+c的值是4；则当x2时，代数式ax2+bx+c的值是3【分析】根据题意列出三元一次方程组可得a、b、c的值，进而可得当x2时，代数式ax2+bx+c的值【解答】解：根据题意，得4a-2b+c=5a-b+c=0a+b+c=-4，解得a=1b=-2c=-3，当x2时，代数式ax2+bx+c的值为：122+（2）2+（3）4433故答案为：3【变式4-1】（2021春和平区期末）在等式yax2+bx+c中，当x1时，y0；当x2时，y3；当x5时，y60，则a3，b2，c5【分析】由“当x1时，y0；当x2时，y3；当x5时，
22、y60”即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可得出结论【解答】解：根据题意，得a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60，得a+b1；，得4a+b10 与组成二元一次方程组a+b=14a+b=10，解这个方程组，得a=3b=-2，把a=3b=-2代入，得c5因此a=3b=-2c=-5，故答案为为3，2，5【变式4-2】（2021春海口期末）在等式yax2+bx+c中，当x1时，y0；当x5时，y60；当x0时，y5求a2+2ab+c2的值【分析】代入后得出三元一次方程组，求出a3，b2，c5，再求出答案即可【解答】解：依题意得a-b+c=025a+5b+c=60c=-
23、5，整理得a-b=55a+b=13，+得：6a18，即a3，把a3代入得：b2，a2+2ab+c232+23（2）+（5）2912+2522【变式4-3】（2021春崇川区校级月考）已知yax2+bx+c，当x1时，y8；当x0时，y2；当x2时，y4（1）求a，b，c的值；（2）当x3时，求y的值【分析】（1）把x、y的值分别代入yax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；（2）求出y=73x2+113x+2，再把x3代入，即可求出答案【解答】解：（1）根据题意得：a+b+c=8c=24a-2b+c=4，把代入，得a+b+28，把代入，得4a2b+24，由和组成方程组
24、a+b+2=84a-2b+2=4，解得：a=73，b=113，所以a=73，b=113，c2；（2）由（1）得：y=73x2+113x+2，当x3时，y=73（3）2+113（3）+212【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2021苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组4x+10y=68x+22y=10时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程8x+20y+2y10，变形为2（4x+10y）+2y10，把方程代入得，26+2y10，则y1；把y1代入得，x4，所以方程组的解为：x=4y=-1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组2x-3y=76x-5y
25、=11（2）已知x、y、z，满足3x-2z+12y=472x+z+8y=36试求z的值【分析】（1）将变形后代入方程解答即可；（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可【解答】解：（1）2x-3y=76x-5y=11将变形得3（2x3y）+4y11 将代入得37+4y11y=-52把y=-52代入得x=-14，方程组的解为x=-14y=-52（2）3x-2z+12y=472x+z+8y=36由得3（x+4y）2z47 由得2（x+4y）+z36 23得z2【变式5-1】（2021春金坛区期末）若2x+y+z10，3x+y+z12，则x+y+z8【分析】联立已知两个方程组成方程组，利用加减消元法得
26、到x和y+z的值，即可确定出x+y+z的值【解答】解：联立得：2x+y+z=103x+y+z=12，得：x2，+得：5x+2y+2z22，x+y=22-5x2=6，x+y+z2+68，故答案为：8【变式5-2】阅读以下材料：若x+3y+5z5，x+4y+7z7，求x+y+z的值解：x+y+z3（x+3y+5z）2（x+4y+7z）35271答：x+y+z的值的为1根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x+5y+4z6，3x+y7z4，求x+yz的值【分析】根据2x+5y+4z6，3x+y7z4，将题目中的式子变形即可求得x+yz的值【解答】解：4（2x+5y+4z）+6（3x+y7z）8x+
27、20y+16z+18x+6y42z26x+26y26z26（x+yz），2x+5y+4z6，3x+y7z4，46+6（4）26（x+yz），解得，x+yz0【变式5-3】（2020春鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组x+y+z=2，2x+3y-z=8，3x-2y+z=3，小曹同学的部分解答过程如下：解：+，得3x+4y10，+，得5x+y11，与联立，得方程组3x+4y=10，5x+y=11， （1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m、n、p、q满足方程组m+n+
28、p+q=42(m+n)+3p-q=163(m+n)-2p+q=6，则m+n2p+q2【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组【解答】解：（1）方程组x+y+z=2，2x+3y-z=8，3x-2y+z=3，小曹同学的部分解答过程如下：解：+，得3x+4y10，+，得5x+y11，与联立，得方程组3x+4y=10，5x+y=11， 解得：x=2y=1把x=2y=1代入得：2+1+z2，解得：z1，原方程组的解是x=2y=1z=-1故答案为：，（2）
29、m+n+p+q=42(m+n)+3p-q=163(m+n)-2p+q=62得：p3q8，3得：5p2q6，由与组成方程组p-3q=8-5p-2q=-6解得：p=2q=-2，代入得：m+n4m+n2p+q2故答案为：2【知识点2 三元一次方程组的应用】1列方程组解决问题的一般步骤：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.2列方程组时需要注意以下几方面（1）单位必须统一，例如时间单位.（2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，
30、现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变题中的等量关系是：甲、乙两地路程是142千米，；去时上坡时间+下坡时间+平路时间412小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间4小时42分，据此可列方程组求解【解答】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是y千米，平路是z千米依题意得：x+y+z=142x28+y35+z30=412x35+y28+z30=4710，解得x=42y=70z=30答：这段路的去时上坡路是42千米，下坡路是70千
31、米，平路是30千米【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【分析】题中有三个等量关系：甲组植树的株数+乙组植树的株数+丙组植树的株数50，乙组植树的株数（甲组植树的株数+丙组植树的株数）14，甲组植树的株数乙组植树的株数+丙组植树的株数根据这三个等量关系可列出三元一次方程组，求出方程组的解即可【解答】解：设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株由题意，得x+y+z=50y=(x+z)14x=y+z，解得x=25y=10z=15答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植
32、树15株【变式6-2】如图中的、分别代表一个数字，且满足以下三个等式：+17+14+13，则、分别代表什么数字？并说明理由【分析】先设x，y，z，根据题意列出方程2x+y+z17，x+2y+z14，x+y+2z13，然后用加减消元法和代入法解方程即可【解答】解：设x，y，z，由题意得：2x+y+z=17x+2y+z=14x+y+2z=13，由得：xy3，由得：y1+z，x4+z，把x、y的值代入得：z2，x6，y3即代表6、代表3、代表2【变式6-3】（2020春乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越温享生活”消费券多次投放活动，每期消
33、费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：A型B型C型满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了7张C型的消费券（2）若小明父母使用消费券共减了230元若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张【分析】（1）根据小明妈妈用三种不同类型的消
34、费券共减了199元，列出算式计算即可求解；（2）设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，根据等量关系列出方程组计算即可求解；6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，找到用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费共减了230元的情况即可求解【解答】解：（1）（199383510）57（张）故用了7张C型的消费券故答案为：7；（2）设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，依题意有x+y+z=12z-x=138x+10y+5z=230，解得x=5y=1z=6故A型消费券5张，B型消费券1张，C型消费券6张；6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，385+104230（元），385+58230（元），A型消费券5张，B型消费券4张或A型消费券5张，C型消费券8张
