1、 2022-2023学年浙江省宁波市九年级下学期开学摸底数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。)1等于（）ABC1D02下列运算正确的是（）ABCD3（2022河南周口周口市第一初级中学校考模拟预测）据中国电子商务研究中心监测数据显示，2022年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27800000000元，将27800000000用科学记数法表示为（）ABCD4（2022河南洛阳统考一模）如图所示，是一个由正方体和正三棱柱组成的几何体，则其俯视图是（）ABCD5（2022宁夏固原校考模拟预测）我校男子足球队名队员的年龄如下表所示：年龄岁人数这些队员年龄的众数和中位数分别
2、是（）A，B，C，D，6（2022吉林长春模拟预测）如图，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与它们都相切，切点分别为，则图中阴影部分的面积是（）ABCD7（2022浙江宁波校考三模）两个直角三角板如图摆放，其中，且过点，点为中点，已知，则的长为（）A15BCD8（2022广东东莞校考二模）我国古代孙子算经中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（）ABCD9（2022甘肃嘉峪关校考一模）如图，
3、在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q在运动过程中线段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图所示则的长为()AB3C4D610（2020贵州遵义统考三模）如图，分别是边长为3和2的正方形，G在上，三点在同一直线上，连接DE交GF于M，连接BG并延长交DE于H，下列四个结论：其中正确的结论个数有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11（2022宁夏固原校考模拟预测）在实数，中，最大的数是_12（2022山东威海模拟预测）因式分解：_13如图，是一个圆形转盘，现按：分成四个部分，分
4、别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，自由转动转盘，停止后指针落在绿色区域的概率为_14（2022安徽宣城校考二模）对于非零实数a、b，规定若，则x的值为_；若关于x的方程无解，则m的值为_15（2023广西玉林一模）如图，点在以为直径的半圆上运动点不与点，重合，于点，平分，交于点，交于点若，则_16（2022浙江宁波校考模拟预测）如图，一组x轴正半轴上的点满足条件，抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；第n条抛物线以为顶点且经过点，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为
5、 _三、解答题(本大题共8小题,共66分)17（2022海南海口海南华侨中学校联考模拟预测）（1）计算：；（2）求不等式组的所有整数解18（2022吉林长春统考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上；(1)在图中，画一个锐角三角形，使它的三边长都是有理数(2)在图中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数(3)在图中，画一个不等腰的直角三角形，使它的三边长都是无理数19（2022广东广州统考二模）如图，函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为4直线轴于点B(1)求k的值
6、；(2)点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，在中，若两条直角边的比为1:2，求点M的坐标20（2022山东青岛山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）一道满分分的数学测验题，网络阅卷时老师评分只能给整数，即得分可能为分，分，分，分为了解学生知识点掌握情况及试题的难易程度，对初三（1）班所有学生的这道试题得分情况进行分析整理后，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示小知识：试题按其难度系数值分为容易题、中等难度题和难题三类在以上的题为容易题；在之间的题为中等难度题；在以下的题为难题（的计算公式为：，其中为样本平均数，为试题满分值）根据以上信息，解答下列问题：(1)_，得分为“分”对应的扇形圆心角为
7、_度，请补全条形统计图；(2)由“小知识”提供的信息，请依据计算得到的的值，判断这道题属于哪一类难度的试题？21（2022河南郑州郑州外国语中学校考模拟预测）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架与支架所成的角，点A、H、F在同一条直线上，支架段的长为1米，段的长为1.50米，篮板底部水平支架的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米(1)求篮板底部支架与支架所成的角的度数(2)求底座的长（结果精确到0.1米；参考数据：，22（2022贵州遵义三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少
8、万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值23（2022辽宁大连校考模拟预测）在中，在上，且(1)如图，若，求的长度(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论(3)如图，作于，探究与的数量关系，并证明24（2022河南南阳模
9、拟预测）如图，在中，点是边上的动点，点在边上，(1)若，求的长；(2)若为等腰三角形，求的长；(3)如图，作的外接圆，圆心为点当点运动到某一时刻，点恰好落在线段上，求此时的长；为线段上一点，当点从中的位置运动到点的过程中，点也随之运动，则点运动路径的长为_直接写结果 2022-2023学年浙江省宁波市九年级下学期开学摸底数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。)1等于（）ABC1D0【答案】B【分析】根据绝对值的意义即可求解正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数【详解】解：等于，故选：B【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键
10、2下列运算正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，进行计算，逐一判断即可【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项正确，符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选B【点睛】本题考查完全平方公式，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方运算熟练掌握相关运算法则，是解题的关键3（2022河南周口周口市第一初级中学校考模拟预测）据中国电子商务研究中心监测数据显示，2022年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27800000000元，将27800000000用科学记数法表示为（）ABCD【答案】A【分析】先确定表示数的整
11、数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可【详解】，所以选A【点睛】本题考查了绝对值大于1的数的科学计数法，确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键4（2022河南洛阳统考一模）如图所示，是一个由正方体和正三棱柱组成的几何体，则其俯视图是（）ABCD【答案】C【分析】俯视图是指从上往下看所得到的图形，根据俯视图的定义分析解答即可【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个正方形，正方形中间有一条纵向的实线故选：C【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图，解答此题的关键是理解并掌握三视图的定义
12、5（2022宁夏固原校考模拟预测）我校男子足球队名队员的年龄如下表所示：年龄岁人数这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A，B，C，D，【答案】A【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数【详解】解：18出现了7次，出现的次数最多，所以众数是18岁；把这些数从小大排列，中位数是第11和第12个数分别是17、17，所以中位数为17岁故选：A【点睛】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数
13、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数6（2022吉林长春模拟预测）如图，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与它们都相切，切点分别为，则图中阴影部分的面积是（）ABCD【答案】D【分析】连接，过点作，利用阴影部分的面积等于梯形的面积减去扇形的面积减去扇形的面积，进行求解即可【详解】解：连接，过点作，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与，都相切，四边形为矩形， ，梯形的面积是：；扇形的面积为：；扇形的面积为 ；则阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积 ；故选D【点睛】本题考查求阴影部分的面利用割补法，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积，是解题的关键同时考查了圆与圆的位置关系，切线的性质
14、，以及锐角三角函数等知识，综合性较强7（2022浙江宁波校考三模）两个直角三角板如图摆放，其中，且过点，点为中点，已知，则的长为（）A15BCD【答案】B【分析】过点作，过点作，证明四边形为矩形，可得，然后利用直角三角形的性质即可得出答案【详解】解：过点作，过点作，如图所示四边形为矩形即，点为中点，即为等边三角形在直角中，为等腰直角三角形即故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键8（2022广东东莞校考二模）我国古代孙子算经中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各
15、几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（）ABCD【答案】A【分析】根据“如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行”可列出关于x、y的二元一次方程组即可【详解】解：根据题意，可得故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组9（2022甘肃嘉峪关校考一模）如图，在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q在运动过程中线
16、段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图所示则的长为()AB3C4D6【答案】C【分析】根据条件先推出，设，利用对应边成比例列出函数关系式，结合抛物线对称轴即可求出，将顶点坐标代入解析式，从而求出的长【详解】解：，在和中，设，则，整理得，对称轴为，则，即，将点代入得，解得，故选 C【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关键10（2020贵州遵义统考三模）如图，分别是边长为3和2的正方形，G在上，三点在同一直线上，连接DE交GF于M，连接BG并延长交DE于H，下列四个结论：其中正确的结论个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【
17、分析】根据正方形的性质结合相似三角形的性质逐个推理即可【详解】分别是边长为3和2的正方形，在和中，；故正确；，又 ，故正确；，故错误；，故正确；综上所述，正确，故选：C【点睛】此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟记相关性质并准确使用二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11（2022宁夏固原校考模拟预测）在实数，中，最大的数是_【答案】【分析】根据绝对值的意义求出，根据相反数的定义求出，再比较，即可得出最大的数【详解】，又，这4个实数中最大的数是故答案为：【点睛】本题考查求一个数的绝对值，化简多重符号，实数的大小比较熟练掌握实数的
18、大小比较法则是解题关键12（2022山东威海模拟预测）因式分解：_【答案】【分析】利用提公因式法分解因式即可【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法并根据每个多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键13如图，是一个圆形转盘，现按：分成四个部分，分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，自由转动转盘，停止后指针落在绿色区域的概率为_【答案】#0.4【分析】由题意可得，圆被分成了10份，其中绿色部分占4份，根据概率公式求解即可【详解】解：由题意可得，圆被分成了10份，其中绿色部分占4份，则指针落在绿色区域的概率为，故答案为：【点睛】此题考查了利用概率公式求解概率，解题的关
19、键是熟练掌握概率公式14（2022安徽宣城校考二模）对于非零实数a、b，规定若，则x的值为_；若关于x的方程无解，则m的值为_【答案】 ； 或1【分析】解方程即可；根据分式方程无解求解即可【详解】，去分母，得3-2x=0，移项、合并同类项，得2x=3，系数化为1，得x=，经检验，x=是原方程的根，方程无解，无解，去分母，得3-2x+mx-2=3-x，方程无解，x=3，解得m=，去分母，得3-2x+mx-2=3-x，合并同类项，得(m-1)x=2，方程无解，m-1=0，故m=1故答案为：，或1【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解法，分式方程无解的计算，熟练掌握分式方程无解的意义是解题的关键15
20、（2023广西玉林一模）如图，点在以为直径的半圆上运动点不与点，重合，于点，平分，交于点，交于点若，则_【答案】【分析】先由直径所对的圆周角是直角证明，再证明，得，即，而，可推导出，再证明，得，即，所以，显然点是线段上的一个特殊点，列方程并且解关于的方程求出与的关系及比值即可【详解】解：是的直径，于点，设，则，整理得，解关于的方程得或不符合题意，舍去，故答案为：【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、解一元二次方程等知识知识与方法，根据相似三角形的性质推导出是解题的关键16（2022浙江宁波校考模拟预测）如图，一组x轴正半轴上的点满足条件，抛物线的顶点依次是反比例函
21、数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；第n条抛物线以为顶点且经过点，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 _【答案】【分析】根据题意得三角形为等腰三角形，根据可得到点，根据抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，设点，根据建立等式，化简后得到，因此可以得到点，再根据等腰直角三角形的性质可以得到，从而求出n的值，从而得到三角形三个点的坐标值，再根据待定系数法解求出二次函数的解析式【详解】解：由题意得，、均为等腰三角形，点，设点，点，是直角三角形，为等腰直角三角形，n5，设抛物线的解析式为，
22、将点代入解析式，得，抛物线的解析式为故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形、反比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到三角形为等腰三角形，根据腰长相等建立等式，从而求出n的值三、解答题(本大题共8小题,共66分)17（2022海南海口海南华侨中学校联考模拟预测）（1）计算：；（2）求不等式组的所有整数解【答案】（1）；（2）0，1，2，3【分析】（1）先进行乘方运算、二次根式与绝对值的化简、特殊角的三角函数值的运算，然后合并求解；（2）利用解不等式组的方法求出其解集，再确定其整数解即可【详解】解:（1）；（2），解不等式，得；解不等式，得；原不等式组的解集为，所有整数解为：0
23、，1，2，3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解答此类题目要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了也考查了实数的运算、三角函数值18（2022吉林长春统考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上；(1)在图中，画一个锐角三角形，使它的三边长都是有理数(2)在图中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数(3)在图中，画一个不等腰的直角三角形，使它的三边长都是无理数【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用勾股定理画
24、一个边长分别为5，5，6的三角形即可；（2）利用勾股定理及其逆定理，结合格点特征即可作图；（3）利用勾股定理及其逆定理，结合格点特征即可作图【详解】（1）解：如图，符合三条边长都是有理数，三个角都是锐角，可知三角形即为所求；（2）解：如图，满足，可知三角形即为所求；（3）解：如图，满足，可知三角形即为所求【点睛】本题考查格点作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理19（2022广东广州统考二模）如图，函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为4直线轴于点B(1)求k的值；(2)点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，在中，若两条直角边的比为1:2
25、，求点M的坐标【答案】(1)12(2)，【分析】（1）根据直线解析式求得点的坐标，进而待定系数求得的值，（2）根据题意作出图形，设，则，根据题意，列出方程解方程即可求解（1）解：函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为4，将代入，得，则，代入，得 ，（2）如图，设，则，则，根据题意可得或，即，或，解得：或（与点P重合，舍去）或（舍去），解得（与点P重合，舍去）或或（舍去），综上所述，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键20（2022山东青岛山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）一道满分分的数学测验题，网络阅卷时老师评分只能给整数，即得分可能为分，分，分
26、，分为了解学生知识点掌握情况及试题的难易程度，对初三（1）班所有学生的这道试题得分情况进行分析整理后，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示小知识：试题按其难度系数值分为容易题、中等难度题和难题三类在以上的题为容易题；在之间的题为中等难度题；在以下的题为难题（的计算公式为：，其中为样本平均数，为试题满分值）根据以上信息，解答下列问题：(1)_，得分为“分”对应的扇形圆心角为_度，请补全条形统计图；(2)由“小知识”提供的信息，请依据计算得到的的值，判断这道题属于哪一类难度的试题？【答案】(1)25，72，图见解析(2)中等难度题【分析】（1）根据得0分的人数及其百分比可求出总人数，从而得到得分分
27、的学生人数，可得到m的值，再用乘以得分为“分”对应的百分比，即可求解；（2）先求出样本平均数，再根据的计算公式计算，即可求解【详解】（1）解：初三（1）班所有学生的总人数为(人)，得分分的学生人数为(人)，得分为“分”对应的扇形圆心角为，补全条形统计图，如下：故答案为：25，72；（2）解：，在之间，这道题属于中等难度题【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键21（2022河南郑州郑州外国语中学校考模拟预测）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架与支架所成的角，点A、H、F在同一条直线上，支架段的长为1米，段的长为1.50米，篮板底部水平支架的长为0.
28、75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米(1)求篮板底部支架与支架所成的角的度数(2)求底座的长（结果精确到0.1米；参考数据：，【答案】(1)(2)0.6米【分析】（1）根据锐角三角函数即可求出结果；（2）延长交的延长线于，过作于，可得，然后根据锐角三角函数，（米），进而可得底座的长【详解】（1）解：由题意可得：，则；（2）解：延长交的延长线于，过作于，在中，（米），（米），（米），在中，（米），答：底座的长0.6米【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型22（2022贵州遵义三模）红星公司销售一种成本为4元
29、/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值【答案】(1)(2)7元/件，最大利润为9万元(3)【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，
30、月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得【详解】（1）解：由题意，当 时， ，当 时， ， ， ，解得 ，综上， （2）解：设该产品的月销售利润为 万元，当 时， ，由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，则当 时， 取得最大值，最大值为 ；当 时， ，由二次函数
31、的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为9，因为 ，所以当月销售单价是7元/件时，月销售利润最大，最大利润是9万元（3）解： 捐款当月的月销售单价不高于7元/件，月销售最大利润是78万元（大于5万元）， ，设该产品捐款当月的月销售利润为 万元，由题意得： ，整理得： ， ， 在 内， 随 的增大而增大，则当 时， 取得最大值，最大值为 ，因此有 ，解得 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键23（2022辽宁大连校考模拟预测）在中，在上，且(1)如图，若，求的长度(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论(3)如图，作于，探究与的
32、数量关系，并证明【答案】(1)(2)，证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意证明即可得到，再结合题意即可解答；（2）连接，根据平行线的性质即可得证；（3）根据题意证明四边形是平行四边形，可得，过点作于点，连接，证明，可得，进而证明即可得到解答【详解】（1），；（2），证明：连接，又，；（3）证明：，四边形是平行四边形，过点作于点，连接，在和中，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键24（2022河南南阳模拟预测）如图，在中，点是边上的动点，点在边上，(1)若，求的长；(2)若为等腰三角形，求的长
33、；(3)如图，作的外接圆，圆心为点当点运动到某一时刻，点恰好落在线段上，求此时的长；为线段上一点，当点从中的位置运动到点的过程中，点也随之运动，则点运动路径的长为_直接写结果【答案】(1)(2)或或(3)；【分析】（1）先解三角形，进而证明 ，进一步求得结果；（2）当时，解，当，解Rt，当时，点E和B点重合，进一步得出结果；（3）先证明点P在的垂直平分线上运动，进而解，当点E在点D时，点P在的中点，当点E在M点时，点P在点D处，进一步求得结果【详解】解：如图， 作于，；如图， 作于，设，当时，；如图， 当时，当时，点和点重合，点和点重合，综上所述，的长为或或；如图， 当点在上时，作于，；如图， 作的垂直平分线，在上截取，连接，是等边三角形，点在的垂直平分线上，以为圆心，为半径作圆交于，连接，点和重合，点在的垂直平分线上，点在上运动，如图， 当时，设，在中，由勾股定理得，当点运动到时，点在的中点，从点运动到点，点运动的路径长是，如图， 当时，此时点与点重合，当点从向运动时，运动的路径长是，点的运动的路径长是故答案是：【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和分类，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是由特殊到一般猜想点轨迹并证明
