1、7.2空间几何的体积与表面积题组一 柱锥台的表面积1（2022陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（）ABCD2（2022山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（）ABCD3（2022全国高三专题练习（理）已知中，是斜边上的高，与绕旋转一周得到的几何体的表面积分别为和，则的值为（）ABCD4（2022宁夏石嘴山一模（文）过圆锥的顶点作圆锥的截面，交底面圆于，两点，已知圆的半径为，则圆锥的侧面积为（）ABCD5（2022内蒙古呼和浩特一模（文）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为
2、撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为()ABCD6（2022江西赣州市第三中学）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（）ABCD7（2022全
3、国高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，则（）A该圆台的高为B该圆台轴截面面积为C该圆台的体积为D一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为8（2022湖北武汉二中模拟预测）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则_.题组二 柱锥台的体积 1（2022全国高三专题练习）在正四棱锥中，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）ABC4D2（2022湖北武汉
4、高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）A2cmB3cmC4cmD5cm3（2023全国高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（）A直线与为异面直线B平面C三棱锥的表面积为D三棱锥的体积为4（2022全国高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”
5、“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图1）图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（）A高为B体积为C表面积为D上底面积下底面积和侧面积之比为5（2022重庆）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30，侧棱长为米，则该正四棱锥的（）A底面边长为4米B侧棱与底面所成角
6、的正弦值为C侧面积为平方米D体积为32立方米题组三 球的体积与表面积 1（2022全国高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（）ABCD2（2022江苏南通模拟预测）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆则该椭圆的离心率为()ABCD3（2023全国高三专题练习）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆
7、锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）ABCD4（2022全国高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_5（2022湖南岳阳模拟预测）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则 _6（2022全国高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面
8、半径为1，母线长为2，则a的最大值为_.7（2023全国高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD2AB4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE平面BCE，平面CDE平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为_题组四 空间几何截面1（2022全国高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（）ABCD12（2023全国高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为_3（2022湖南）古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边
9、长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为_ 平方米.4（2022甘肃）轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为的球的球面上，则该圆柱的体积为_.7.2空间几何的体积与表面积题组一 柱锥台的表面积1（2022陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】如图所示，在直角中，可得，可得，即旋转体的底面圆的半径为，所以该旋转体的表面积为：.故选：A.2（2022山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（）ABCD【答案】D【解析】如图，是正四棱锥的高，
10、设底面边长为，则底面积为，因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，所以，又，所以，所以是正三角形，面积为，所以，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为故选：D.3（2022全国高三专题练习（理）已知中，是斜边上的高，与绕旋转一周得到的几何体的表面积分别为和，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意得，过点作，垂足为，则，所以，所以故选：A.4（2022宁夏石嘴山一模（文）过圆锥的顶点作圆锥的截面，交底面圆于，两点，已知圆的半径为，则圆锥的侧面积为（）ABCD【答案】B【解析】如图所示，在中因为且所以为正三角形所以所以圆锥的侧面积故选：B5（2022内蒙古呼和浩特一模（文）攒尖是中国古代建筑中屋顶的
11、一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为()ABCD【答案】B【解析】如图所示为该圆锥轴截面，由题意，底面圆半径为，母线，侧面积rl36故选：B.6（2022江西赣州市第三中学）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就
12、是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（）ABCD【答案】B【解析】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧所在的扇形的半径是3+5=8，对应的弧长.设圆锥底面半径为r，则，即r=2.该圆锥的表面积为.故选：B.7（2022全国高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，则（）A该圆台的高为B该圆台轴截面面积为C该圆台的体积为D一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为【答案】BCD【解析】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台
13、的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由可得，则，又，则，即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.故选：BCD.8（2022湖北武汉二中模拟预测）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则_.【答案】【解析】由题意，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为，所以.故答案为：.题组二 柱锥台的体积 1（2022全国高三
14、专题练习）在正四棱锥中，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）ABC4D【答案】C【解析】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.取BC的中点E，连接.因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.因为，所以在直角三角形中,，则的面积为，故该四棱锥的侧面积是.故选：C2（2022湖北武汉高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）A2
15、cmB3cmC4cmD5cm【答案】B【解析】根据题意可得，容器下底面面积为，上底面面积为,因为容器中积水高度为容器高度的，则积水上底面恰为容器的中截面，所以积水上底直径为cm，积水上底面面积为，所以积水体积为，则平地降雨量是cm.故选：B.3（2023全国高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（）A直线与为异面直线B平面C三棱锥的表面积为D三棱锥的体积为【答案】D【解析】因为平面,平面,平面,所以直线与为异面直线,故A对.平面，平面，平面，故B对.,所以三棱锥的表面积为，故C对.,故D 错.故选:D4（2022全国高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我
16、国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图1）图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（）A高为B体积为C表面积为D上底面积下底面积和侧面积之比为【答案】AC【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积下底面积和侧面积之比为，则选项D错误故选：AC5（2022重庆）（多选）攒尖是中国传统
17、建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30，侧棱长为米，则该正四棱锥的（）A底面边长为4米B侧棱与底面所成角的正弦值为C侧面积为平方米D体积为32立方米【答案】BD【解析】如图，在正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，所以，即，可得底面边长为米，A错误；侧棱与底面所成角的正弦值为，B正确；侧面积，C错误；体积，
18、D正确故选：BD题组三 球的体积与表面积 1（2022全国高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（）ABCD【答案】D【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，小球最大半径满足，所以，正方体的最大棱长满足，解得：，故选：D.2（2022江苏南通模拟预测）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆则该椭圆的离心率为()ABCD【答案】C【解析】如图所示，则，即，而，即
19、，故选：C3（2023全国高三专题练习）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）ABCD【答案】B【解析】设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，设母线为，则，所以直角圆锥的侧面积为：，可得：，圆锥的高，由，解得：，所以球的体积等于，故选：B4（2022全国高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_【答案】【解析】球的半径为，解得，圆柱的高为：可得故答案为：5（2022湖南岳阳模拟预测）某
20、球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则 _【答案】【解析】由图知，包装盒的高为，因此，又，所以.故答案为：6（2022全国高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为_.【答案】【解析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，则内切圆半径为，即，所以，解得.
21、故答案为：7（2023全国高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD2AB4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE平面BCE，平面CDE平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为_【答案】【解析】由题可得均为等腰直角三角形，如图，设的中点为，连接，则，因为平面平面，平面平面，所以平面平面，易得，则几何体的外接球的球心为，半径，所以几何体的外接球的体积为故答案为：题组四 空间几何截面1（2022全国高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（）ABCD1【答案】B【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为，轴截面
22、为等腰三角形PAB，面积为，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以，解得：故选：B2（2023全国高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为_【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，则，圆锥的高，设轴截面中两母线夹角为，则，所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为.故答案为：3（2022湖南）古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为_ 平方米.【答案】【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为米，于是其侧面积为（平方米）.故答案为：4（2022甘肃）轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为的球的球面上，则该圆柱的体积为_.【答案】【解析】因为轴截面为正方形，所以它的底半径与高之比为，设底半径为，高为，则外接球的半径，因为球的直径为，所以，解得，则高为，所以圆柱的体积为.故答案为：
