1、7.1空间几何中的平行与垂直题组一 平行问题 1（2022四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC2（2022辽宁抚顺）在正方体中，分别是和的中点.求证：(1)平面.(2)平面平面.3（2022江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，且，过M作于H，求证：(1)平面平面BCE；(2)平面BCE.4（2022安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值5（2022北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.(1)求证：平面；(2)求证
2、：平面；(3)求证：.6（2022重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且求证：直线平面7（2022山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体求证：8（2022江西）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.(1)求证：/平面(2)求证：/平面.9（2022全国高一）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE平面CDEF=EF(1)证明:AF/平面BDG(2)证明:AB/EF题组二 空间几何中的垂直1（2022全国高三专题练习）在平
3、行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.2（2022全国高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，证明：平面3（2022全国高三专题练习）在四棱锥中，底面证明：4（2022上海松江二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面， 是的中点，点在棱上(1)求四棱锥的全面积；(2)求证：5（2022河南信阳高中）如图所示，直三棱柱中，为中点(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，求证：平面平面6（2022北京大兴）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平
4、面；(3)若平面平面，求的大小.题组三 空间几何中的定理辨析1（2022上海虹口二模）已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2022全国高三专题练习（文）在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面3（2022安徽省舒城中学三模（理）设，是不同的直线，是不同的平面，则下面说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则4（2022全国高三专题练习（理）已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（）A与是异面直线B平面CD平面5（2022浙江省新昌中学模
5、拟预测）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则 若，则若，则若，则其中为真命题的是（）ABCD6（2022湖北华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线异面，直线平面D直线与直线相交，直线平面7（2022全国高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的个数是（）A1B2C3D47.1空
6、间几何中的平行与垂直题组一 平行问题 1（2022四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC【答案】证明见解析；【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.2（2022辽宁抚顺）在正方体中，分别是和的中点.求证：(1)平面.(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，（2） 连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所
7、以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.3（2022江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，且，过M作于H，求证：(1)平面平面BCE；(2)平面BCE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）在正方形ABCD中，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.4（2022安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值【答案】（1）12；【解析】连接与交于点N，连接，又平面，平面，且平面平面5（2022北京市第十
8、三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求证：.【答案】证明见解析【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.(2)证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面.(3)证明：平面，平面，平面平面，.6（2022重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且求证：直线平面【答案】证明见解析；【解析】取的中点，连接CG、GF、EO，则，点是的中点，故，且平面，故平面又，故是的
9、中点，是的中点，则，且平面，故平面，且，故平面平面又平面，故平面7（2022山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体求证：【答案】证明见解析；【解析】图（1）中，则，而，即，在中，有，同理可得，则，图（2）中，则，而，平面，则有平面，在中，则，又，平面，因此平面，所以.8（2022江西）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.(1)求证：/平面(2)求证：/平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)因为平面，平面，平面平面，所以，又平面，平面，则平面；(2)取中点，连接，易得，且，由（1）知且，则且，则四边形为
10、平行四边形，则，又平面，平面，则平面.9（2022全国高一）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE平面CDEF=EF(1)证明:AF/平面BDG(2)证明:AB/EF【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.因为面,面,所以AF/平面BDG.(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB/CD.因为面,面,所以AB/平面.因为面,面面=EF.所以AB/EF.题组二 空间几何中的垂直1（20
11、22全国高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在中，所以.所以也是直角三角形，在图2中，所以平面.2（2022全国高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AF，由题意知为等腰三角形，而为的中点，所以又因为平面平面，且，平面平面，平面，所以平面 而平面，所以而，平面，所以平面连接，则， 而，所以且，所以是平行四边形，因此，故平面3（2022全国高三专题练习）在四棱锥中，底面证明：【答案】证
12、明见解析；【解析】证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；4（2022上海松江二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面， 是的中点，点在棱上(1)求四棱锥的全面积；(2)求证：【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)BC/AD，AD平面ABP，BC平面ABP，BCBP，,同理可得,.(2)PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又ABCD是矩形，CDAD，PAADA，CD平面PADAF平面PAD，AFCDPAAD，点F是PD的中点，AFPD又CDPDD，AF平面PDCPE平面PDC，PEAF
13、5（2022河南信阳高中）如图所示，直三棱柱中，为中点(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，求证：平面平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面6（2022北京大兴）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)若平面平面，求的大小.【答
14、案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】(1)因为平面，平面，所以.又因为底面为菱形，所以.又因为，所以平面.(2)取为的中点，联结.在中，分别为的中点，所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面.所以平面.(3)因为平面，平面，所以.因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以则是等边三角形.所以.题组三 空间几何中的定理辨析1（2022上海虹口二模）已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当
15、时，所以且；当且，但，是否相交无法判断，所以可能成立，也可能不成立综上，“”是“且”的充分不必要条件故选：A2（2022全国高三专题练习（文）在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】A【解析】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为， 则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平
16、行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.3（2022安徽省舒城中学三模（理）设，是不同的直线，是不同的平面，则下面说法正确的是（）A若，则B若，
17、则C若，则D若，则【答案】C【解析】A：由，则或相交，错误；B：由，则或或相交，错误；C：由，则存在直线且，而则，根据面面垂直的判定易知，正确；D：由，则或，错误.故选：C4（2022全国高三专题练习（理）已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（）A与是异面直线B平面CD平面【答案】B【解析】连接、，交于点，连接、，交于点.连接、.由题可知，在平面上，所以与共面，故A错误；在四边形中，且，所以四边形为平行四边形.平面，平面，平面，故B正确；由正方体的性质可得，因为，所以，又，平面， ，又，而与所成角为，所以显然与不垂直，故C错误；显然与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，故D
18、错误.故选：B.5（2022浙江省新昌中学模拟预测）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则 若，则若，则若，则其中为真命题的是（）ABCD【答案】C【解析】中，则平面与平面可能平行，可能相交也可能垂直，故错误；中，直线与直线可能平行，异面或者垂直，故错误；中，则，故，故正确；中，则，故正确.故选：C.6（2022湖北华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线异面，直线平面D直线与直线相交，直线平面【答案】A【解析】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；由正方
19、体的性质可知，所以平面平面，又平面，所以直线平面，故A正确； 以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，显然直线与直线不平行，故B不正确；直线与直线异面正确，所以直线与平面不垂直，故C不正确；直线与直线异面，不相交，故D不正确；故选：A.7（2022全国高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【解析】画出该几何体，如图所示，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线，故不正确；直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故正确；由E，F分别是PA，PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以直线EF平面PBC，故正确；因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE平面PAD，故不正确.所以正确结论的个数是2.故选：B
