1、8.4均值与方差在生活中的运用题组一 均值与方差1（2020浙江磐安县第二中学）已知随机变量的分布列如下表所示： 012若，则（）A，BC，D，BC，D，【答案】A【解析】，由于，所以.，同理可得.，所以.故选：A2（2023全国高三专题练习）设，随机变量的分布列为X012Pb则当在内增大时（）A增大B减小C 先减小后增大D先增大后减小【答案】A【解析】根据随机变量分布列的性质可知，因为，所以单调递增，故选：A3（2022浙江省杭州学军中学模拟预测）设，随机变量X的分布列是（）X01Pb则当a在内增大时，（）A增大B减小C先增大再减小D先减小再增大【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以所以当
2、时，增大增大，当时，减小减小.故选：C.4（2022全国高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 （2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量则（）A，B，C，D，【答案】C【解析】根据题意，分布列如下：根据题意，分布列如下：，可得，故选：C.5（2022浙江三模）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（）01PABCD【答案】D【解析】根据分布列可得：，则，因为，故，即令（）则当时，单调递增；当时，单调递减又因为所以与大小无法确定故选：D6（2022浙
3、江绍兴模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则()012P012PA若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为，其方差为：，则，；，；，若，则，故，即，故A正确，B错误；若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误故选：A7（2023全国高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为X0a2Pb其中结论正确的是（）AB若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为CD当最小时，【答案】ABC【解析】由题意，故选项A正确；该商场销售该商品
4、5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差，当时，故选项C正确；当时，故选项D错误.故选：ABC.题组二 利用均值做决策1（2022全国南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，
5、丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立(1)求该团队能进入下一关的概率；(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由【答案】(1)【解析】（1）解：记“团队能进入下一关”的事件为，则“不能进入下一关”的事件为，所以该团队能进入下一关的概率为（2）解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，且，互不相等，根据题意知的所有可能的取值为1，2，3；则，所以若交换前两个人的派出顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，由交换前，所以交换后的派
6、出顺序则变为，当时，交换后的派出顺序可增大均值所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小2（2022黑龙江大庆实验中学模拟预测（理）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性
7、，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由【答案】(1)(2)方案二较“优”；理由见解析【解析】(1)用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A；(2)方案一：逐个检验，检验次数为4方案二：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，设方案二的检测次数为随机
8、变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以，所以随机变量Y的分布列为：Y246P所以方案二检测次数Y的期望为则采取方案二较“优”.3（2022惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？【答案】（1）45（2）甲【解析】（1）解：甲小组至少
9、答对2道题目可分为答对2题或者答对3题；，所求概率（2）解：甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，结合（1）可知，.设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则，由，可得，甲小组参加决赛更好.4（2022福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；最终用时为滑雪用时、射击
10、用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.【答案】（1）（2）乙【解析】（1）解：甲滑雪用时比乙多秒分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件，“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，
11、乙至多有1发子弹命中目标”为事件，依题意，事件和事件是互斥事件，所以，.即甲胜乙的概率为.（2）解：依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为，则，所以甲被罚时间的期望为（分钟），乙被罚时间的期望为（分钟），又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，所以甲最终用时的期望比乙多2分钟.因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.5（2022湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热咳嗽乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都
12、有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，.（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲乙两种中药哪种药性更好？【答案】（1）（2）甲【解析】（1）解：依题意有，.又事件C与D相互独立，则，所以.（2）解：设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，所以.设A组的积分为，则，所以.设B组中服用乙种中
13、药康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，故的分布列为0123所以，设B组的积分为，则，所以，因为，所以甲种中药药性更好.题组三 均值与其他知识综合1（2022平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案： 方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个
14、人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 （1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率； （2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数 当 ， 时，求 ；从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）【答案】（1）0.2 （2）见解析【解析】（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则 （
15、2）解：当 ， 时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为 ，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为 ，总共需要检验的次数为6次；所以 的分布列为： 16P所以 当采用混合检验的方案时 ，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，即 ，化简得 ，所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数2（2022武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生
16、每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为，求随机变量的数学期望；（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）解：由题意，即随机变量的数学期望为（2）解：的可能取值为1，2，3，的分布列为：1233（2022黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决
17、赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1
18、）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；求随机变量的方差.【答案】（1）512（2）1645144【解析】（1）解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则.事件“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.事件“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，所以.（2）解：由题意可知，设最大，则，即，可得，解得，即最有可能取的值为19或20；由二项分布的方差公式可得.4（2022江西南昌二中高三开学考试（理）某商场为吸引
19、顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分一位顾客可最多连续参加次游戏(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)【解析】（1）解：由题意得三次抛硬币正面朝上的次数，则，所以分布列为 0123 则甲在一次游戏中硬币正面朝上次数的期望（2）解：由（1）知，在一次游戏中，顾客乙得3分和得1分的概率均为设次游戏中，得
20、分的次数为，则，即，易知，故.5（2022北京市第五中学三模）2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单
21、样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为 ，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:求某个混合样本呈阳性的概率;设总检测次数为，求的分布列和数学期望 .【答案】(1)；(2)；分布列见解析，.【解析】(1)由题意可知，对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有1个阳性样本的概率为：，所以(2)设“某个混合样本呈阳性”为事件，则表示事件“某
22、个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，故X的可能取值为2，7，12当两个混合样本都呈阴性时，.当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，当两个混合样本都呈阳性时，故X的分布列为：2712的数学期望，所以的数学期望为6（2022泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将
23、进入复赛为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？【答案】见解析【解析】（1）解：设A“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件A发生的所有情况有符合入选标准的非解答题入选1道，解答题入选2道的概率为符合入选标准的非解答题入选2道，解答题入选1道的概率为符合入选标准的非解答题，解答题各入选2道的概率为所以（2）解：由题知，强化训练后，每道非解答题入选的概率为，每道解答题入选的概率为，则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为，因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验用X表示教师甲在3轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则，教师甲能进入复赛
