1、8.1计数原理及排列组合题组一 排队1（2022柳州模拟）今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（） A44种B48种C60种D50种2（2022焦作模拟）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只
2、能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）A12种B18种C24种D36种3（2022汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限则不同的支援方法的种数是（）A36B24C18D424（2022内江模拟）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（）A18种B12种C9种D6种5（2022益阳模拟）为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”
3、元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为（）A36B45C72D90 6（2022佛山模拟）“五经”是儒家典籍周易、尚书、诗经、礼记、春秋的合称为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则诗经、春秋分开排的情况有 种7（2022临沂模拟）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务
4、，则不同的安排方案共有（）A72种B81种C144种D192种8（2022全国高三专题练习）现有8个人男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？题组二 排数1（20
5、22河南模拟）由数字1，2，3组成六位数（数字可以不完全使用），若每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（）A420B450C510D5202（2022石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）.A8B12C16D203（2022济南模拟）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A60个B48个C36个D24
6、个4（2022浙江模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）5（2021张家港期中）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.题组三 分组分配 1（2022晋中模拟）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者
7、将两个吉祥物安装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，若小王和小高必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（） A40B30C20D802（2022江西模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰 两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给 两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（） A9B18C19D203（2022广东三模）将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温信息登记维
8、持秩序现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（）A120种B240种C360种D480种4（2022晋城二模）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（）A120种B96种C48种D24种5（2022合肥模拟）中国空间站的主体结构包
9、括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A8种B14种C20种D116种6 （2021宾县月考）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？7（2022黄豆）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.
10、求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？题组四 涂色1（2022重庆九龙坡）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）ABCD2（2022福建三明）汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成现用5
11、种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A180B192C300D4203（2021广西钦州市大寺中学）如图所示是由一个圆一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（）ABCD4（2022江西景德镇一中）如图所示，积木拼盘由，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（）A780B840C900D9605（2021江西横
12、峰中学）如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A种B种C种D种6（2022重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A种B种C种D种7（2022广东揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A720种B1440种C2880种D4320种8（2022全国高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示
13、的5块区域、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A120种B720种C840种D960种9（2022黑龙江齐齐哈尔）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有_种不同的涂色方法.10（2022湘赣皖模拟）用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A72种B36种C12种D60种11（2022浙江模拟）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区
14、域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，和，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有 种；区域，和，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有 种.8.1计数原理及排列组合题组一 排队1（2022柳州模拟）今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人若甲、乙两人不能
15、同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（） A44种B48种C60种D50种【答案】C【解析】由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有 种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有 种方案 所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有60-12-4=44 不同的安排方案.故选：C2（2022焦作模拟）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）A12种B18种C24种D36种【答案】
16、C【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种。 故答案为：C3（2022汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限则不同的支援方法的种数是（）A36B24C18D42【答案】A【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；依据分步
17、乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，故答案为：A.4（2022内江模拟）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（）A18种B12种C9种D6种【答案】A【解析】根据题意分2种情况讨论： （1）B去甲单位，则A，B在一起，都去甲单位，将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个单位即可，有种安排方法；（2）B不去甲单位，则B必去丙单位，在剩下4人中选出2人安排在乙单位，再将剩下2人分别安排到甲、丙，有种安排方法，则有种安排方法，故答案为：A5（2022益阳模拟）为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青
18、春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为（）A36B45C72D90【答案】D【解析】采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法；第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有91090种排法.故答案为：D. 6（2022佛山模拟）“五经”是儒家典籍周易、尚书、诗经、礼记、春秋的合称为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则诗经、春秋分开排的情况有 种【答
19、案】72【解析】先将周易、尚书、礼记进行排列，共有种排法再从产生的4个空位中选2个安排诗经、春秋，共有种排法所以满足条件的情形共有种故答案为：727（2022临沂模拟）志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A72种B81种C144种D192种【答案】D【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件
20、的排法种数为种.故答案为：D.8（2022全国高三专题练习）现有8个人男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(
21、8)(9)(10)【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的
22、右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法；(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，
23、有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法.题组二 排数1（2022河南模拟）由数字1，2，3组成六位数（数字可以不完全使用），若每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（）A420B450C510D520【答案】C【解析】所求的六位数分三类，第一类：一个数字出现0次，另外两个数字各出现3次，有 个；第二类：一个数字出现1次，一个数字出现2次，一个数字出现3次，有 个；第三类；每个数字出现2次，有 个.所
24、以共有 个满足题意的六位数.故答案为：C.2（2022石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）.A8B12C16D20【答案】D【解析】由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8， 数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成
25、两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位数个数为： 故答案为：D3（2022济南模拟）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A60个B48个C36个D24个【答案】C【解析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个.故答案为：C4（2022浙江模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）【答案】16【解析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八
26、个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示：然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.故答案为：16.5（2021张家港期中）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.【答案】（1）24（2）96（3）48【解析】（1）根据题意，分2步进行分析： 三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的
27、百位十位，有 种情况，则有 个三位偶数，（2）根据题意，分2步进行分析： 要求四位数大于2000，其千位数字必须为2345，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位十位个位，有 种情况，则有 个符合题意的四位数；（3）根据题意，分2步进行分析： 选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有 种情况，将这个整体与其他2个数字全排列，有 种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，则有 种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，故有 个符合题意的五位数.题组三 分组分配 1（2022晋中模拟）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国
28、文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，若小王和小高必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（） A40B30C20D80【答案】A【解析】小王和小高必须安装不同的吉祥物，则有 （种）分配方案，剩下5人分两组，一组2人，一组3人，有 （种）分配方案， 然后分配到参与两个吉祥物的安装，有 （种）分配方案，则共有40种分配方案.故答案为：A.2（2022江西模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为
29、了表彰 两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给 两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（） A9B18C19D20【答案】B【解析】依题意 小组“冰墩墩”可能有1个或2个， 小组有1个“冰墩墩”，则有 种分配方法； 小组有2个“冰墩墩”，则有 种分配方法；综上可得一共有 种分配方法；故答案为：B3（2022广东三模）将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温信息登记维持秩序现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（）A120种B240种C360种D48
30、0种【答案】B【解析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，故有种不同的分配方案；故答案为：B4（2022晋城二模）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（）A120种B96种C48种D24种【答案】C【解析】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有
31、种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有种安排方案，所以符合条件的安排方案共有.故答案为：C.5（2022合肥模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A8种B14种C20种D116种【答案】B【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能
32、；若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故答案为：B.7 （2021宾县月考）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？【解析】（1）24（2）144（3）8【答案】（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有 种 答：共有24种放法（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有 种选法，把它与其
33、他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有 种投放方法，所以共有 （种）放法 答：共有144种放法（3）一个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有 （种）放法 答：共有8种放法7（2022黄豆）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），
34、其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【答案】(1）24（2）144（3）8（4）12【解析】（1）解：根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；（2）解：先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；（3）解：考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为（种）；（4）解：按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，
35、则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.题组四 涂色1（2022重庆九龙坡）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）ABCD【答案】A【解析】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，每个三角形均有种涂法，故基本事件总数，有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有种涂法，这一共有种涂法，所求概率为故选：A2（2022福建三明）汉代数学家
36、赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A180B192C300D420【答案】D【解析】如图，将五个区域表示为，对于区域，三个区域两两相邻，有种；对于区域，若与颜色相同，则有3种情况，若与颜色不同，则有2种情况，有2种情况，此时区域的情况有种情况；则一共有种情况故选：D3（2021广西钦州市大寺中学）如图所示是由一个圆一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两
37、个图形颜色不相同的概率为（）ABCD【答案】C【解析】用两种颜色为图形涂色基本事件有：（红，蓝，蓝），（红，蓝，红），（红，红，蓝），（红，红，红），（蓝，蓝，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（蓝，红，红），共个基本事件.相邻两个图形颜色不相同的情形为：（红，蓝，红），（蓝，红，蓝），共2个基本事件，所以所求的概率为，故选：C.4（2022江西景德镇一中）如图所示，积木拼盘由，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（）A780B840C900D960【
38、答案】D【解析】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为故选：D.5（2021江西横峰中学）如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A种B种C种D种【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有种不同的涂法，第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面，先涂侧面有种涂法，再涂和只有1种涂法，所以涂三棱柱的三个侧面共有种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方
39、案共有种涂法，故选：C6（2022重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A种B种C种D种【答案】C【解析】考虑、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种；考虑、三个区域用种颜色，共有方法数为种；考虑、三个区域用种颜色，共有方法数为种所以共有方法数为种故选：C7（2022广东揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A720种B1440种C2880种D4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：
40、完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：种.故选：D.8（2022全国高三课时练习
41、）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A120种B720种C840种D960种【答案】D【解析】法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，若同色，有4种颜色可选；若同色，有4种颜色可选；若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法，共有种涂色方法.故选：D.9（2022黑龙江齐齐哈尔）学习涂色能锻炼手
42、眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有_种不同的涂色方法.【答案】66【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，因此不同的涂色方法有种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，因此不同的涂色方法有种，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，所以共有种不不同的涂色方法，故答案为：6610（2022湘赣皖模拟）用四种颜色给正
43、四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A72种B36种C12种D60种【答案】A【解析】如下表顶点VABCD种数432C与A同色12C与A不同色11总计故答案为：A11（2022浙江模拟）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，和，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有 种；区域，和，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有 种.【答案】24；216【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有种，所以共有：种. 先涂共有：种，设四种颜色为，假设涂的颜色分别为，则涂色情况如下：，共9种，所以：种.故答案为：24；216
