1、9.3 双曲线题组一 双曲线的定义及应用1（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（）A9B5C8D4 2（2022淮南模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）AB1CD3（2022怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（） ABCD题组二 双曲线的离心率及渐近线1（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（）ABC2D2（2022雅安期末）已知双曲线
2、C：的左、右焦点分别为，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，则双曲线C的离心率为（）AB2C3D3（2022怀仁期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）ABCD3（2022巴中模拟）设 ， 分别为双曲线 （a0，b0）的左右焦点，若双曲线上存在一点P使得 ，且 ，则该双曲线的离心率为（） A2BCD4（2022南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.ABCD5（2022北京）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，
3、点在线段上，且，则双曲线的离心率为（）ABC2D6（2022德州月考）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，曲线 上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（） ABCD7（2022湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD8（2022湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于、两点，且，则的渐近线方程为（）ABCD题组三 双曲线的标准方程1（2022东北模拟）我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双
4、曲线的标准方程为函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（）ABCD2（2022湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD3（2022南昌模拟）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为 .4（2022成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为 5（2021成都期末）已知焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，半焦距 ，则双曲线的标准方程为 6（2022太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方
5、程：（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；（2）渐近线方程为，经过点（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程； （4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程 7（2021包头期末）已知双曲线的两个焦点分别为，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.题组四 直线与双曲线的位置关系1（2022广东）（多选）下列曲线中与直线有交点的是（）ABCD2（2022全国高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为_3（2022全国高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为_4（2022全国高三专题练习）直线
6、与双曲线没有交点，则的取值范围为_.5（2022全国专题练习）双曲线与直线交点的个数为_.6（2022四川内江模拟预测（文）若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为_7（2022四川仁寿一中 ）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_.8（2022上海市虹口高级中学 ）直线与曲线的交点个数是_.9（2022全国高三专题练习）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于_10（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测（文）设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为_.题组五 弦长与中点弦1（2022四川射洪中学）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点
7、，则l的斜率为（）A4B3C2D12（2022河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（）ABCD3（2023全国高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为()ABCD4（2022重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（）A该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B该双曲线的离心率为C若和在双曲线的同一支上，则D若和分别在双曲线的两支上，则5（2022全国专题练习）双曲线：被斜率为的直线
8、截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 _.6 （2022四川内江 ）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为_.9.3 双曲线题组一 双曲线的定义及应用1（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（）A9B5C8D4【答案】A【解析】设右焦点为F，则F(4，0)， 依题意，有PF|=|PF|+4， |PF|+|PA|=|PF|+|PA|+4|AF|+4=5+4=9(当P在线段AF上时，取等号) 故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A 2（2022淮南模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足
9、，则面积的最大值是（）AB1CD【答案】A【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，又，所以，设，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值是，故答案为：A.3（2022怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（） ABCD【答案】C【解析】由双曲线 可知： 的周长为 . 当 轴时， 的周长最小值为 故答案为：C题组二 双曲线的离心率及渐近线1（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【答案】B【解析】，O为的中点，为直
10、角三角形，设，则，则，e.故答案为：B.2（2022雅安期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，则双曲线C的离心率为（）AB2C3D【答案】A【解析】依题意，由双曲线定义知：，于是得， 令双曲线C的半焦距为c，内切圆半径为r，因，则有，即有，于是得：，即，所以双曲线C的离心率为。故答案为：A3（2022怀仁期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】：因为，所以，设，则，因为，所以可得，因为，所以，则，所以，故答案为：D3（2022巴中模拟）设 ， 分别为双曲线 （a0，
11、b0）的左右焦点，若双曲线上存在一点P使得 ，且 ，则该双曲线的离心率为（） A2BCD【答案】B【解析】 ，即 ，根据双曲线的定义可得 ，即 ，减去得 . ，故 ，解得 或 （舍），双曲线的离心率为 。 故答案为：B.4（2022南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.ABCD【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示： 由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，由双曲线的定义可得，所以，.故答案为：A.5（2
12、022北京）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，则双曲线的离心率为（）ABC2D【答案】B【解析】根据题意，作图如下：因为，故可得，故可得/，且，故分别为的中点；又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.故为等边三角形，则；令，可得，解得，故可得，则，由双曲线定义可得：，即，解得，则离心率为.故选：B.6（2022德州月考）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，曲线 上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（） ABCD【答案】B【解析】作 轴于 ，如图，依题意 ， ，则 ， 令 ，由 得： ，由双曲线
13、定义知 ，而 ，在 中，由余弦定理得： ，解得： ，即 ，又因为离心率 ，于是有 ，所以双曲线 的离心率为 。故答案为：B7（2022湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD【答案】A【解析】由已知，点的坐标为，故，因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以，则为等边三角形，所以，则，所以双曲线C的渐近线方程为.故答案为：A8（2022湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于、两点，且，则的渐近线方程为（）ABCD【答案】C【解析】
14、由题意，得，； 根据双曲线的定义，所以，在直角三角形中，即，解得；在直角三角形中，即，即，解得，所以的渐近线方程为.故答案为：C题组三 双曲线的标准方程1（2022东北模拟）我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双曲线的标准方程为函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（）ABCD【答案】A【解析】对函数，其定义域为，定义域关于原点对称，用替换方程不变，故其图象关于原点对称；又当，且趋近于时，趋近于正无穷；当趋近于正无穷时，趋近于，此时的图象与无限靠近；故的两条渐近线为轴与，做出其图象如下所示：为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必
15、须平分两条渐近线的夹角，又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴夹角为，故新坐标系中，轴与轴的夹角应为60，故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立可得，则，又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，故，即，故在新坐标系下双曲线方程为.故答案为：A.2（2022湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD【答案】C【解析】作轴于M，依题意，则，则为等腰直角三角形令 ，则，由双曲线定义知而，在中，解得：，双曲线离心率，则故答案为：C3（2022南昌模拟）已知中心在原点的
16、双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为 .【答案】【解析】设双曲线标准方程为 令，则，得，所以，易知，所以，又，联立求解得，所以双曲线方程为。故答案为：。4（2022成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为 【答案】【解析】由题设，可知：， 由，可得，又焦点在轴上，双曲线的标准方程为.故答案为：.5（2021成都期末）已知焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，半焦距 ，则双曲线的标准方程为 【答案】【解析】由题可设双曲线方程为， 由渐近线方程可得，又因为，即，解得，则，所以双曲线的标准方程为。故
17、答案为：。6（2022太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；（2）渐近线方程为，经过点（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程； （4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程 【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知：，双曲线方程为：.（2）解：设双曲线方程为：，将代入，解得，所以双曲线方程为：.（3）由 ，得 ，即 ， 又 ，即 ，双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 所以，双曲线 的方程为 （4）椭圆 的焦点为 ， 设双曲线 的方程为 ，所以
18、，且 ，所以 ， 所以，双曲线 的方程为 7（2021包头期末）已知双曲线的两个焦点分别为，且过点.（1）求双曲线C的虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【答案】见解析【解析】（1）由题意，易知，且.在中，由双曲线的定义可知，即.双曲线C的两个焦点分别为，.又，故双曲线C的虚轴长为（2）解：由（1）知双曲线C的方程为.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为将点的坐标代入上述方程，得故所求双曲线的标准方程为题组四 直线与双曲线的位置关系1（2022广东）（多选）下列曲线中与直线有交点的是（）ABCD【答案】BCD【解析】对于A,直线和的斜率都是2，所以两直线平行，
19、不可能有交点对于B,由，得，所以直线与B中的曲线有交点对于C,由，得，所以直线与C中的曲线有交点对于D,由，得，所以直线与D中的曲线有交点故选：BCD2（2022全国高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为_【答案】2【解析】由，可得，解得或当时，；当时，所以直线与双曲线上支的交点个数为2故答案为：23（2022全国高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为_【答案】，【解析】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，故答案为：，4（2022全国高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_.【答案】【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交
20、点，故需满足，故答案为：5（2022全国专题练习）双曲线与直线交点的个数为_.【答案】1【解析】联立方程可得，消可得，即，故，故方程组有且只有一组解，故双曲线与直线有且只有一个交点.故答案为：16（2022四川内江模拟预测（文）若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为_【答案】或【解析】设双曲线存在关于直线对称的两点为，根据对称性可知线段被直线垂直平分，且的中点在直线上，且，故可设直线的方程为，联立方程，整理可得，由，可得或，的中点在直线上，可得，或.故答案为：或.7（2022四川仁寿一中 ）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_.【答案】【解析】由，消可得，当或，解得
21、或，故答案为：8（2022上海市虹口高级中学 ）直线与曲线的交点个数是_.【答案】2【解析】当时，将代入，整理得，解得，（舍去），当时，将代入，整理得，解得，（舍去），综上，直线与曲线的交点个数是2个.故答案为：29（2022全国高三专题练习）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于_【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以直线与渐近线平行，所以，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为：10（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测（文）设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为_.【答案】【解析】联立消去y：，得到，又直线不与渐近线
22、平行，所以.故答案为：.题组五 弦长与中点弦1（2022四川射洪中学）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（）A4B3C2D1【答案】C【解析】设点，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C2（2022河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（）ABCD【答案】B【解析】设，则，两式作差，并化简得，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.3（2023全国高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，
23、其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为()ABCD【答案】B【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率双曲线一个焦点为(-2，0)，c=2设双曲线C的方程为，则设，则，由，得，即，易得，双曲线C的离心率故选：B4（2022重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（）A该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B该双曲线的离心率为C若和在双曲线的同一支上，则D若和分别在双曲线的两支上，则【答案】BC【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，且有，解得，则双曲线的方程为，其
24、焦点在轴上；若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，则，可得，且有，无解，A错；对于B选项，所以，双曲线的离心率为，B对；对于CD选项，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，.若和在双曲线的同一支上，则，可得，则，C对；若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，可得，则，若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，故当和分别在双曲线的两支上时，D错.故选：BC.5（2022全国专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 _.【答案】【解析】设，则， 将两点坐标代入双曲线方程得：；将上述两式相减可得： 即，也即 所以，即 故答案为：6（2022四川内江 ）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】依题意，双曲线上两点，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，所以，因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，实数的取值范围为：故答案为：.
