1、10.2 平面向量的数量积题组一 平面向量的坐标运算 1已知向量，且，若，则实数m的值为（）A0B CD2（2022全国高三专题练习）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C的最小值为7D若，则与的夹角为钝角3（2022全国模拟预测）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若向量与的夹角为，则C若，则向量D若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是4（2022山东日照二模）（多选）已知向量，则（）ABCD5（2022全国高三专题练习）（多选）已知,其中，则以下结论正确的是（）A若，则B若，则或 C若，则D若，则6（2022全国高三专题练习）（多选）已知向量，则下列说法正确
2、的是（）AB，的夹角为C在上的投影向量为D在上的投影向量为7（2022全国高三专题练习）（多选）已知向量，则（）A若，则B若，则C的最小值为D若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是题组二 平面向量的数量积 1（2022昆明模拟）四边形中，则（）A2B1C4D32（2022江苏）在ABC中，若（）ABCD3（2022江苏南京模拟预测）在中，为的重心，在边上，且，则_4（2022浙江高三开学考试）在中，若，则_.题组三 巧建坐标1（2022全国模拟预测）已知是等边三角形，分别是和的中点，是边上一动点，则满足的点的个数为_2（2022全国模拟预测）在ABC中，H，D分别是边BC，AC上一点，则_.
3、3（2022全国高三专题练习（文）已知 是边长为的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为_.4（2022山西二模）在菱形中，点在菱形所在平面内，则的最小值为（）AB-3CD5（2022湖北模拟）（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，则（）A最大值为B最大值为1C最大值是2D最大值是6（2020高三上连云港期中）（多选）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（） ABCD7（2022广东二模）（多选）如图，已知扇形OAB的半径为1，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意
4、一点，则下列结论正确的是（）A的最小值为0B的最小值为C的最大值为1D的最小值为08（2021高三上五华月考）如图，矩形 中， ， ，以 为直径的半圆上有一点 ，若 ，则 的最大值为 题组四 最值1（2022湖南长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（）A1BC2D2（2022全国高三专题练习）在平面内，定点满足，动点P，M满足，则的最大值是（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知是单位向量，若向量满足，则的取值范围是（）ABCD4（2022全国高三专题练习）已知平面向量，满足，且，则最小值
5、为（）ABCD5（2022河北衡水高三阶段练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD6（2022全国高三专题练习）如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（）ABC0D27（2022菏泽二模）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 ，则 的最小值为 8（2022枣庄模拟）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为 9（2022临沂模拟）边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 10（2022河东模拟）在中，点M，N是线段上的两点，则 ，的取值范围是 .11（2022天津市模拟）在梯形中，
6、与相交于点Q若，则 ；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为 12（2022通州模拟）在矩形ABCD中，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是 ，的最大值是 13（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）已知向量，是单位向量，若，且，则的取值范围是_14 （2022辽宁高三期末）已知O为坐标原点，向量，满足，若，则的取值范围是 10.2 平面向量的数量积题组一 平面向量的坐标运算 1已知向量，且，若，则实数m的值为（）A0B CD【答案】D【解析】因为向量，且，所以，得（舍）或，即，所以，,所以，解得故选：D2（2022全国高三专题练习）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（）A若
7、，则B若，则C的最小值为7D若，则与的夹角为钝角【答案】AC【解析】 若，则，解得，故选项A正确；若，则，解得或，故选项B错误；由题得，故，当且仅当时取得最小值，故选项C正确；当时，与的夹角不为钝角，故选项D错误故选：AC3（2022全国模拟预测）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若向量与的夹角为，则C若，则向量D若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AB【解析】对于A，由题可得，所以由，得，解得，所以A正确；对于B，因为，故，所以B正确；对于C，因为，所以存在，使得，则由，得或，所以或，所以C不正确；对于D，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，所以，即，解得，又，与不共线
8、，所以，得，所以实数的取值范围为，所以D不正确故选：AB4（2022山东日照二模）（多选）已知向量，则（）ABCD【答案】BD【解析】由，对于A，若，由，故A错误；对于B，若，则，符合题意，故B正确；对于C，若，由，故C错误；对于D，故D正确.故选：BD.5（2022全国高三专题练习）（多选）已知,其中，则以下结论正确的是（）A若，则B若，则或 C若，则D若，则【答案】BCD【解析】对于A，若，则，则，因为，所以，则或或，故A不正确；对于B，若，则，则，因为，所以，所以或，所以或，故B正确；对于C，则，故C正确；对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.故选：BCD.6（2022全国高三专题
9、练习）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（）AB，的夹角为C在上的投影向量为D在上的投影向量为【答案】AC【解析】由，可知，对于A选项，故，故A正确；对于B选项，设为，的夹角，则，故B错误；对于C选项，在上的投影向量为，故C正确；对于D选项，在上的投影向量为，故D错误.故选：AC.7（2022全国高三专题练习）（多选）已知向量，则（）A若，则B若，则C的最小值为D若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以，解得，所以A正确.对于B，由，得，则解得，故，所以B正确.对于C，因为，所以，则当时，取得最小值，为，所以C正确.对于D，因为，向量与向量的夹角为锐角
10、，所以，解得；当向量与向量共线时，解得，所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC.题组二 平面向量的数量积 1（2022昆明模拟）四边形中，则（）A2B1C4D3【答案】D【解析】，故，所以.故答案为：D.2（2022江苏）在ABC中，若（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，即，又，故，所以.故选：B.3（2022江苏南京模拟预测）在中，为的重心，在边上，且，则_【答案】【解析】因为为的重心，所以，因为，所以，则，因为，所以，即，所以，在中，方法一：因为，所以，方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，由方法一可知，所以4（2022浙江高三开学考试）在中，
11、若，则_.【答案】【解析】,所以.故答案为：题组三 巧建坐标1（2022全国模拟预测）已知是等边三角形，分别是和的中点，是边上一动点，则满足的点的个数为_【答案】4【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系设的边长为4，则，设，则，由得，所以，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，也就是以为直径的圆，易知该圆与的三边有4个公共点故答案为：2（2022全国模拟预测）在ABC中，H，D分别是边BC，AC上一点，则_.【答案】12【解析】如图，以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，HD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以.故答案为：3（2022全
12、国高三专题练习（文）已知 是边长为的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为_.【答案】【解析】取线段的中点，连接，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，则，、，故.故答案为：-14,24（2022山西二模）在菱形中，点在菱形所在平面内，则的最小值为（）AB-3CD【答案】C【解析】由菱形中，可得且， 设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，如图，取中点，则，设，则，所以当，时，取得最小值。故答案为：C5（2022湖北模拟）（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，则（）A最大值为B最
13、大值为1C最大值是2D最大值是【答案】B,C,D【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，设， 则，由，得且，A不符合题意；时，B符合题意；，C符合题意；，D符合题意故答案为：BCD.6（2020高三上连云港期中）（多选）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（） ABCD【答案】A,C【解析】建立平面直角坐标系如下图所示：取 中点 ，连接 ， 因为 为 中点，所以 ，又因为 ，所以 ，所以易知 ，所以 为 中点，A因为 为 中点，所以 成立，故正确；B因为 为 中点，所以 ，所以 ，故错误；C因为 ，所以 ，所以 ，故正确；D因为 ，所以
14、，所以 ，故错误，故答案为：AC.7（2022广东二模）（多选）如图，已知扇形OAB的半径为1，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（）A的最小值为0B的最小值为C的最大值为1D的最小值为0【答案】BCD【解析】以为原点建立如图所示的直角坐标系， 所以，设，则，所以，因为，所以，所以，所以，的最小值为-1，A不符合题意；，所以，因为，所以，所以，所以，的最小值为，B符合题意；设，又，所以，可得，所以，其中，又，所以，所以，所以，的最小值为0，CD符合题意.故答案为：BCD.8（2021高三上五华月考）如图，矩形 中， ， ，以 为直径的半圆上有一点
15、，若 ，则 的最大值为 【答案】【解析】建立如图平面直角坐标系， 由题意知，点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x-2)2+y2=4(0y2)， 则其参数方程为， 其中A(0，-3)，B(4，-3)，D(0，0)，P(x，y) 则 则由 得，即 ， 则，其中 当时，+取得最大值为 故答案为： 题组四 最值1（2022湖南长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（）A1BC2D【答案】C【解析】如图令，由于，故，如图，故，故同理可求得，即，所以所以当时，取得最大值为2，故选：C2
16、（2022全国高三专题练习）在平面内，定点满足，动点P，M满足，则的最大值是（）ABCD【答案】B【解析】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以为的垂心，所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，因为，解得，所以为边长为的正三角形，如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，因为，可得设，其中，又因为，即为的中点，可得，所以.即的最大值为.故选：B.3（2022全国高三专题练习）已知是单位向量，若向量满足，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，设，则，由得：，
17、令，即，其中锐角满足，因此，当时，当时，所以的取值范围是.故选：D4（2022全国高三专题练习）已知平面向量，满足，且，则最小值为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，又，所以，如图所示：不妨设，则，所以，因为，所以，即，表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，所以最小值为，故选：D5（2022河北衡水高三阶段练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】由题意不妨设，设，则，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，表示圆P上的点到坐标原点的距离，的取值范围为，故选：C6（2022全国高三专题练习）如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最
18、小值为（）ABC0D2【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，即，设(其中)，则，所以 ，因为，则，可得，所以当时，即时，取的最小值，最小值为.故选：B.7（2022菏泽二模）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 ，则 的最小值为 【答案】【解析】因为 ，又 ，所以 ，所以 ， 以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系：则 ， ，设 ，则 ， ， ，所以 ，设 ，即 ，依题意直线 与圆有交点，所以 ，得 ，所以 的最小值为 .故答案为： 8（2022枣庄模拟）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为 【答案】【解析】，因为均为单位向量，且夹角为，所以有，即
19、，而，所以有，因此的最大值为，故答案为：9（2022临沂模拟）边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 【答案】1【解析】由题，作图如下因为，所以为线段中点，由边长为1的正六边形ABCDEF，知，因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界），显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线，又因为，所以故答案为：1.10（2022河东模拟）在中，点M，N是线段上的两点，则 ，的取值范围是 .【答案】；【解析】由题意， ，又，由题意，则为外接圆的圆心，则.因为点在线段上，所以假设点与点重合，则，与矛盾，所以假设点与点重合，则，即，假设点
20、与点重合，则，此时，综上，即，故答案为：；11（2022天津市模拟）在梯形中，与相交于点Q若，则 ；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为 【答案】；【解析】因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以且，则可设，故，因为共线，所以，解得，所以，因为，所以，所以；因为，所以，所以，又，所以，因为，所以，如图以点为原点建立平面直角坐标系，则，设，故，则，当时，取得最小值.故答案为：；.12（2022通州模拟）在矩形ABCD中，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是 ，的最大值是 【答案】；-2【解析】由题意可得 ， 即向量在向量上的投影向量的长度是 ；如图，以A为坐标原点，AB为x轴，
21、AD为y轴，建立平面直角坐标系，设 ，则 ，故 ，则，当时，取最大值为-2 。故答案为：；-2。13（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）已知向量，是单位向量，若，且，则的取值范围是_【答案】【解析】因为向量，是单位向量，且，所以不妨设，设，则由得，设，则，所以表示的点在线段上表示到的距离，如图，直线方程为，即，到直线的距离为，所以的取值范围是故答案为：14（2022辽宁高三期末）已知O为坐标原点，向量，满足，若，则的取值范围是 【答案】11，13【解析】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上，又，所以，所以，所以是圆的直径，所以，设的夹角为，则，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.
