1、第十三章计数原理一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1把7个字符1，1，1，A，A，排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有()A12种 B30种 C96种 D144种【解析】 先排列A，A，若A，A不相邻，不同的排法有AC6(种)；若A，A相邻，有A6(种)，共有不同的排法6612(种)从所形成的5个空中选3个插入1，1，1，排法共有12C120(种)当A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1，1，1，共有6C24(种)故若三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有1202496(种)故选C.【答案】 C2已知(x1)1
2、0a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A5 B6 C7 D8【解析】 由二项式定理知anC(n1，2，3，n)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，a6C，则k的最大值为6.【答案】 B3已知(12x)2 019a0a1(x2)a2(x2)2a2 018(x2)2 018a2 019(x2)2 019(xR)，则a12a23a32 018a2 0182 019a2 019()A2 019 B2 019C4 038 D0【解析】 因为(12x)2 019a0a1(x2)a2(x2)2a2 018(x2)2
3、018a2 019(x2)2 019(xR)，两边分别对x求导可得2 0192(2x1)2 018a12a2(x2)2 018a2 018(x2)2 0172 019a2 019(x2)2 018(xR)，令x1得4 038a12a22 018a2 0182 019a2 019，故选C.【答案】 C4已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为()A12 B24C36 D48【解析】 设6种产品分
4、别为a，b，c，d，e，f，如图，根据题意，安全的分组方法有ab，cf，de，ab，cd，ef，ac，be，df，ac，bf，de，ad，ef，bc，ad，eb，cf，ae，dc，bf，ae，df，bc，共8种，每一种分组安排到3个仓库，有A种方法，故总的方法有8A48种故选D.【答案】 D5设aZ，且0a13，若512 018a能被13整除，则a()A0 B1C11 D12【解析】 512 018a(521)2 018aC522 018C522 017C52(1)2 017C(1)2 018a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2 018a能被13整除，即a1能被13整除，所以a12.【
5、答案】 D6(2021莆田二中月考)2021年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从省抽调包括甲、乙在内的七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、乙两名专家安排在不同地区的概率为( )ABCD【解析】 记事件为“甲、乙两名专家安排在不同地区”，则基本事件的总数为(种)甲，乙两名专家安排在相同地区共有(种)，所以，故选A【答案】 A7(2021湖南师大附中月考)如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，
6、四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为奇数的方法数为( )ABCD【解析】 根据题意，个阴数即个偶数：、；个阳数即、，从中任选个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：选出的个数都是奇数，有种选法；选出的个数有个偶数、个奇数，共有种选法.综上所述，一共有种选法故选B.【答案】 B8已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为( )A150B240C390D1440【解析】 因为或，所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中(1)
7、5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有种.各放3个，1个，1个的方法有种.(2)5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有种.综上，总的放球方法数为种.故选C【答案】 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每
8、个班都必须有人参加，则下列说法正确的是( )A若1班不再分配名额，则共有种分配方法B若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法C若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法【解析】 对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有种分配方法，故B正确；对于CD，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：4个名额到一个班，有6种；一个班3个名额，
9、一个班1个名额，有种；两个班都是2个名额，有种；两个班1个名额，一个班2个名额，有；四个班都是1个名额，有种，则共有126种，故C错误，D正确.故选BD.【答案】 BD10在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A若任意选科，选法总数为B若化学必选，选法总数为C若政治和地理至少选一门，选法总数为D若物
10、理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为【解析】 若任意选科，选法总数为，A错；若化学必选，选法总数为，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确故选BD【答案】 BD11(2021广东梅州月考)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层
11、4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A此人有4种选课方式B此人有5种选课方式C自习不可能安排在第2节D自习可安排在4节课中的任一节【解析】 由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种根据分类加法计数原理可得选课方式有种综上，自习可安排在4节课中的任一节故选BD.【答案】 BD12的展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式各项
12、中系数最大的是()A第4项 B第5项 C第6项 D第7项【解析】 由题意可得：2n11024，解得n11.则展开式中各项系数的最大值是C或C，为第6项和第7项，故选CD.【答案】 CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_【解析】 法一：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至
13、少1人，可分四种情况：(1)甲校安排1名教师，分配方案种数有C(CCACCA)150；(2)甲校安排2名教师，分配方案种数有C(CCACC)140；(3)甲校安排3名教师，分配方案种数有CCCA60；(4)甲校安排4名教师，分配方案种数有CCC10；由分类计数原理，可得共有1501406010360(种)分配方案法二：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，(1)对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA40(种)，则第一种情
14、况共有204060(种)(2)对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCAC40(种)，李老师分配到三人组有CCCA120(种)，李老师分配到两人组有CCCC80(种)，所以第二种情况共有4080120240(种)(3)对于第三种情况，共有CCCC60(种)；综上所述，共有6024060360(种)分配方案【答案】 36014(2021重庆实验外国语学校)在建党100周年来领之际，我们国家的脱贫攻坚取得了重大胜利，某县为了巩固脱贫攻坚的胜利成果，选派6名工作区人员去，三个村去，每个村至少1人，则不同的人员分配方式有_种.【解析】 把6名工作人员分为1,1,4三组,则不同的安排方式共有: (种)；
15、把6名工作人员分为2,2,2三组,不同的安排方式共有: (种)；把6名工作人员分为1,2,3三组,不同的安排方式共有: (种).综上,不同的安排方式共有90+90+360=540(种)故答案为：540.【答案】 54015(2021浙江金华)如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有_种.【解析】 对涂4种颜色，对于剩下的各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么共有2种情况，共有种，对涂3种颜色，对于从4种颜色中取3种，即，从这3种颜色中取
16、1种来作重复的一种，即，再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列，即对于剩下的同一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有种，涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有种方法，共2种颜色，故共有种方法，所以一共有种方法.故答案为【答案】 16(2021广东西关外国语学校)已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有_种【解析】 当乙选择支付宝时，
17、丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C215，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C215，此时共有5+5=10种，当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C215，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C215，此时共有5+5=10种，综上故有10+1020种，故答案为20.【答案】 20四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
18、步骤17将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？【解析】 (1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C20种不同的放入方式(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120种放入方式【答案】 (1)20 (2)12018已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到
19、最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解析】 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A种测试方法所以共有AAA103 680种不同的测试方法(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有CCA576种不同的测试方法【答案】 (1)103 680 (2)57619已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(
20、3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.【解析】 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)因为a0C1，所以a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)因为(12x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.【答案】 (1)2 (2)1 094 (3)1 093 (4)2 18720已知的展开式中，前三项的系数成等
21、差数列(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项【解析】 (1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2CCC，解得n8(n1舍去)(2)的展开式的通项Tr1C()8r2rCx4 (r0，1，8)，要求有理项，则4必为整数，即r0，4，8，共3项，这3项分别是T1x4，T5x，T9.(3)设第r1项的系数为ar1最大，则ar12rC，则1，1，解得2r3.当r2时，a322C7，当r3时，a423C7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T37x，T47x.【答案】 (1)8 (2)T1x4，T5x，T9. (3)T37x，T47x21一个口
22、袋内有4个不同的红球，6个不同的白球(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解析】 (1)将取出的4个球分成三类情况：取4个红球，没有白球，有C种；取3个红球，1个白球，有CC种；取2个红球，2个白球，有CC种，故有CCCCC115种(2)设取x个红球，y个白球，则故或或因此，符合题意的取法种数有CCCCCC186种【答案】 (1)115 (2)18622已知m，n是正整数，f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x
23、3的系数；(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)；(3)已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.【解析】(1)根据题意得，CC7，即mn7，f(x)中的x2的系数为CC.将变形为n7m代入上式得，x2的系数为m27m212，故当m3，或m4时，x2的系数的最小值为9.当m3、n4时，x3的系数为CC5；当m4、n3时，x3的系数为CC5.(2)f(0.003)(10.003)4(10.003)3CC0.003CC0.0032.02.(3)由题意可得aC70，再根据即求得r5或6，此时b728，.【答案】 (1)5 (2)2.02 (3)115 (2)
