1、第十四章概率与统计一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1电子元件，使用寿命时间统计如茎叶图所示，下列说法正确的是( )A，两电子元件使用时间的极差相等B电子元件使用时间的中位数比小C电子元件使用时间众数与中位数相等D，两电子元件使用时间的平均数相等【解析】 对A ，的极差是，的极差是，两者不相等，故A选项错误；对B ，的中位数是，的中位数是55，故的中位数较小，故B选项错误；对C ，的众数为55，与中位数相同，故C选项正确；对D ，的平均数是49.9，的平均数是52.9，不相等，故D选项错误故选：C.【答案】 C2某学校的环保志愿者小组为了研究本校同学家庭用电情况，在全校学生家
2、庭中抽取了100户进行调查，发现这些家庭的月用电量都在之间，并画出了如下的频率分布直方图则这100户家庭中，月用电量在之间的户数为( )A7B14C16D28【解析】由频率分布直方图得，(0.0020+2a+0.0048+0.0060+20.0008)50=1，解得a=0.0028，所以月用电量在之间的户数为，故选：B【答案】B3(2022天津市第一中学高三第三次月考)某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示现已知时间增加值在，的健身人数呈递减的等差数列，则学员时间增加值是或的频率之和为( )A0.5B0.3C0.6D0.4【解析】 由
3、在的健身人数呈递减的等差数列，则，则，故选：D【答案】 D4(2022西南四省名校高三第二次大联考)某班共有50名同学，班主任李老师将大家分成了5个学习小组，每组10人，在某次数学测试中，甲、乙两小组的测试成绩的茎叶图如图所示，则对该次测试的成绩，下列说法错误的是( )A甲组学生成绩的众数是78B乙组学生成绩的中位数是79C甲组学生的成绩更稳定D乙组学生的平均成绩更高【解析】 由茎叶图知甲组学生成绩的众数是78，故A正确，乙组中位数为，故B正确；甲组学生的成绩更为集中，所以甲组学生的成绩更稳定，故C正确；，故D错误故选：D【答案】 D5(2022云南省昆明一中、宁夏银川一中高三(下)联合一模)
4、线性回归分析模型中，变量X与Y的一组样本数据对应的点均在直线上，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则( )A2B1CD【解析】 样本数据对应的点在直线上，所以相关指数.故选：B【答案】 B6(2021深圳第三高中高三月考)多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分若选项中有i(其中)个选项符合题目要求，随机作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量(其中)，则有( )AB【解析】 当时，的可能情况为0,3,5选择的情况共有：种；，所以当时，的可能情况为0,3,5选择的情况共有：种；，所以当时，的可能情况为3,5选择的情况共有
5、：种；， 所以对于AB：，所以，故A错误，B正确；对于CD： ，所以，故CD错误；故选：B【答案】 B7在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为( )ABCD【解析】 如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以故选：B.【答案】 B8(2021辽宁实验中学高三模拟)来自澳大利亚的心理学家MichaelWhite设计出了一种被人称为“怀特错觉”的光学戏法.这类型的图片只有三种颜色：黑白灰，但大多数人都会看到四种颜色.这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的
6、灰色因亮度不同而仿佛变成了两种.某班同学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为( )A0.45B0.55C0.05D0.95【解析】 因为在所调查的100名调查者中，55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，所以100名调查者中，产生怀特错觉的人数为，因此估计在人群中产生怀
7、特错觉的概率约为，故选：D【答案】 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2022重庆市育才中学高三二诊)2021年开始，我省将试行“”的普通高考新模式，即除语文、数学，外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是( )A甲的物理成绩相对他其余科目领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C
8、甲的成绩从高到低的前3个科目依次是物理、化学、地理D对甲而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果【解析】 根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中，物理、化学地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分、1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多,故A项叙述正确，C项叙述错误；B项，根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述正确；所以对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果，故D项叙述不正确.故选：AB【答案】 AB10(2022重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)下列命题正确的是( )A两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对
9、值越接近于1B对具有线性相关关系的变量xy，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是C已知样本数据的方差为4，则的标准差是4D已知随机变量，若，则【解析】 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；B中，由得，B正确；样本数据的方差为4，则数捍的方差为，标准差为4，C正确；随机变量，若，则，则，D错故选：ABC【答案】 ABC11(2022西南大学附属中学校高三第六次月考)下列说法正确的是( )A市教委为了解附中高中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从我校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知我校高一、高二，高三年级学生之比为654
10、，则应从高三年级中抽取20名学生B方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小C命题“，”的否定是“，”D线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点【解析】 A应从高三年级中抽取名学生，所以该选项错误；B方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，所以该选项正确；C命题“，”的否定是“，所以该选项正确；D线性回归方程对应的直线有可能不经过其样本数据点中的任意一个点，所以该选项错误.故选：BC【答案】 BC12(2021广州市第一中学高三月考)一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用
11、过，2个已使用过现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是( )AX的所有可能取值是3，4，5BX最有可能的取值是5CX等于3的概率为DX的数学期望是【解析】 记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；，又X最有可能的取值是4，故选：ACD【答案】 ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2022四川省南充高级中学高三第四次月考)为了研究某班学生的听力成绩(单位：分)与笔试成绩(单位：分)的关系，从该班随机抽取
12、20名学生，根据散点图发现与之间有线性关系，设其回归直线为，已知，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为_【解析】 因为，所以，所以，又，解得，故，将代入回归方程，解得，故若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为.故答案为：.【答案】 14(2022山东省实验中学高三(上)二诊)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)年龄组为对应小矩形的高度为_；(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为_岁(结果保留整数).【解析】 (1)设所对应小矩形的高度为，根据题意，计算
13、得，；(2)根据分位数的定义，设志愿者年龄的85%分位数为x，则，解得.故答案为：0.04；39.【答案】 0.04# 3915(2022云南省昆明市第一中学第六次月考)一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的期望为_.【解析】 随机变量的可能取值为1，2，3，.故答案为：【答案】 #16(2021高考浙江卷)袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_，_.【解析】 ，所以，, 所以, 则由于故答案为：1；【答案】 1 四、解答题：本大题共6小题
14、，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(2022重庆市育才中学高三一模)2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：、50，60，并得到如下频率分布直方图：(1)请根据以上信息，求的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；(2)为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访已知错题数在和的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在的回答
15、3个问题，错题数在的回答5个问题，各个问题均不相同用表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求的概率【解析】 (1)根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得，故中位数为38.33；(2)因为50,60)和频率比为，按照分层抽样抽取5人，则中抽2人，中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，错题数在的回答5道题，错题数的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从的2人中抽2人，从的3人中抽1人，设的人为，设的3人为,则所有的抽取情况有如下种：，其中满足题意的有如下种：，则时的概率【答案】 (1)，中位数为38.33； (2).18(2022重庆市第八中学高三第
16、三次调研检测)5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如表：时间(月份)123456收入(百万元)6.68.616.121.633.041.0根据以上数据绘制散点图，如图.(1)根据散点图判断，与(a，b，c，d均为常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为
17、X，求X的分布列和数学期望.参考数据：3.5021.152.8517.50125.356.73其中设，参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【解析】 (1)，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用表示更合适.(2)由得，设，所以，因为，所以，所以，即，则回归方程为，预测该公司8月份的5G经济收入百万元.(3)月收入超过16百万的个数为的可能取值为1，2，3，则，则的分布列为123所以.【答案】 (1) (2)回归方程为，8月份的5G经济收入百万元 (3)答案见解析19(2022四川省南充高级中学高三第一
18、次月考)南充某校高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“平安伴我行”安全知识竞赛，将他们的比赛成绩分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图.优秀非优秀合计文科生30理科生55合计100(1)求a的值；(2)在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？参考公式及数据：，.附表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【解析】 (1)由频率分布直方图的性质，可得，解得.(2)抽取的100名学生中
19、，“优秀”的人数为人，“非优秀”的人数为人可得列联表如下表：优秀非优秀合计文科生153045理科生104555合计2575100所以，因此，没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”.【答案】 (1) (2)列联表答案见解析，没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”20(2022北京市首都师范大学附属中学高三(下)开学检测)随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：(1)从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数
20、超过40人的概率；(2)规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.(i)现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；(ii)为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.【解析】 (1)设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”“自由式滑
21、雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以(2)(i)X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所所以，.所以X的分布列为：X0123P所以(ii)设事件B 为“参训前，该同学考核为优秀”，则参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化理由如下：比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化理由如下：事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训
22、后“单板滑雪”水平发生了变化【答案】 (1)； (2)(i)分布列见解析，数学期望为；(ii)无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析.21(2021河北邯郸市高三三模)现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.(1)甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，
23、求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？(2)蓝方机群共有8架战机，若甲乙共同攻击(战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机).若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为X，求X的分布列；若实施两轮攻击(用完携带的导弹)，记命中蓝方战机数为Y，求Y的数学期望E(Y).【解析】 设甲乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机分别为事件，则，.(1)设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件M，则，所以.(2)，则，所以X的分布列为X01234P记两轮攻击中甲命中战机数为，则，乙命中战机数为，则，所以.【答案】 (1)；(2)分布列答案见解析；.22(20
24、21河北沧州市高三二模)某企业有甲乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：假设订单A约定交货时间为11天，订单B约定交货时间为12天.(将频率视为概率，当天完成即可交货)所用的时间(单位：天)10111213甲生产线的频数10201010乙生产线的频数520205(1)为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线(订单A，B互不影响)；(2)已知甲乙生产线的生产成本分别为3万元2万元，订单A，B互不影响，若规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金，现订单A，B用(1)中所选的生产线生产产品，记订单A，B的总成本为(万元)，求随机变量的期望值.【解析】 (1)频率分布表如下：所用的时间(单位：天)10111213甲生产线的频率乙生产线的频率设事件分别表示订单选择甲乙生产线在约定时间交货；事件分别表示订单选择甲乙生产线在约定时间交货.，所以订单选择甲生产线，订单选择乙生产线.(2)设表示订单实际交货时间超过约定时间的天数，表示订单实际交货时间超过约定时间的天数的分布列分别如下：012：01设，则的分布列如下：0123所以万元，所以订单的总成本的期望值为万元.【答案】 (1)订单选择甲生产线，订单选择乙生产线；(2)万元.
