1、第四章 基本初等函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1已知，则a，b，c的大小关系为( )ABCD【解析】 由对数函数的性质，可得，又由指数函数的性质，可得且，即，由，又由，所以.故选：C.【答案】 C2已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减则下面结论正确的是( )ABCD【解析】 因为，所以的最小正周期，因为为偶函数，所以，所以，因为，且在(0，3)内单调递减，所以.故选A.【答案】 A3(2022黑龙江省双鸭山市第一中学高三(下)开学考试)已知若，则( )ABCD【解析】 由题意知可以化为，所以可以构造函数，因为在上为增函数，又因为所以，故选：B【答案】 B4
2、(2022重庆市第八中学高三第五次月考)五声音阶(汉族古代音律)就是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫，商，角，徵，羽，若宫的频率为，则宫，商，角，徵，羽的频率分别是、.定义音比(大于1)是相邻两个音的频率比，上述音比只有两个不同的值，记为，则下列关系式不成立的是( )(参考数据：、)A B C D【解析】 因为，因为，所以，故A正确，所以，故B正确；，故C错误；，故D正确；故选：C【答案】 C5(2022天津市耀华中学高三第三次月考)已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于个，则实数的取值范围是( )ABCD【解析】 ，即，函数过定点，画出函数图像，如图所示：当直线过点时，解得
3、；当直线与相切时，设切点为，则，解得，故，；当直线与，相切时，设切点为，则，则，解得，.综上所述：.故选：C.【答案】 C6(2022吉林省东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试)某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )ABCD【解析】 A选项，则，所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；又当时，由可得，解得或；由可得，解得，满足题中图象，故该函数的解析式可能是；A正确；B选项，当时，所以，不满足题意；排除B；C选项，由得，即不过原点，不满足题意；排除C；D选项，因为，所以，则，不满足题意，排除D；故选：A.【答案】 A7(2022福建省漳州第一中学高三第五次阶
4、段考)函数(，且)有两个零点，则的取值范围为( )AB C D【解析】 ，得，即由题意知函数图象与函数图象有两个交点当时，草图如下，显然有两交点当时，函数图象与函数图象有两个交点时，注意到互为反函数，图象关于直线对称，可知函数图象与直线相切，设切点横坐标，则，解得综上，a的取值范围为.故选：D 【答案】 D8(2022福建省龙岩模拟)进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数
5、为b，固定部分为a元.若，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为()A80B90C100D110【解析】 设运输成本为元，依题意可得，则，所以当时，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，所以时全程运输成本最低；故选：C【答案】 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2022重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)关于函数，下列选项中正确的有( )A的定义域为B为奇函数C在定义域上是增函数D函数与是同一个函数【解析】 由题意令,解得,所以数的定义域是,A
6、错误；由A知函数的定义域关于原点对称,且函数是奇函数,B正确；此函数在定义域上是减函数,证明如下：任取属于且,由于属于且,可得，所以,即有,即,故函数在定义域是减函数,C错误；函数定义域：,即,故函数与是同一个函数,D正确.故选BD【答案】 BD10(2022辽宁省名校高三第四次联考)为了得到函数的图象，只需将函数图象上( )A所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C所有点沿y轴向下平移1个单位长度D所有点沿x轴向右平移个单位长度【解析】 对于A，函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，则选项A正确； 对于B，函数图象
7、上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故选项B错误；对于C，将图象上的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数的图象，故选项C正确；对于D，函数图象上所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选项 D错误；故选：AC.【答案】 AC11(2022湖北省二十一所重点中学高三(下)第三次联考)函数在上的大致图像可能为( )ABCD【解析】 当时，为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意当时，令，作出两函数图象，研究其交点，数形结合可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项时，；时，若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意若在内有两交
8、点，同理得B选项符合题意，故选：ABC【答案】 ABC12(2022湖南师范大学附属中学高三第四次月考)已知函数(且)有3个零点，则的可能取值为( )A3B4C5D6【解析】 的定义域为，因为，所以1是的一个零点，不妨设.设是函数的一个零点，且，则，又，所以是函数的一个零点，所以，所以的可能取值为4、5、6.故选：BCD.【答案】 BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2022河北省衡水中学高三二模)已知函数满足：定义域为；对任意，有；当时，.则_；方程在区间内的解的个数是_个【解析】 ，f(2022)f(20202)2f(2020)2f(20182
9、)22f(2018)；在同一坐标系中画出满足条件：定义域为；，有；当，时，的函数与函数的图像：观察图像可得：两个函数的图像共有11个交点，则方程在区间，内的解的个数是：11故答案为：11【答案】 1114(2022四川省成都市第七中学高三(下)开学考试)已知实数，满足，其中是自然对数的底数，则的值为_.【解析】 因为实数、满足，所以，即，所以，与是关于的方程的两根，构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，由于，所以，即，即，解得.故答案为：.【答案】 15(2022江西省新余市第一中学高三二模)已知函数，函数，若，恰有两个零点，则的取值范围是_【解析】 因为直线过定点，且斜率为，作出函数
10、的函数图象，如图：数形结合可知，即，由于，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以，则的取值范围是.故答案为：.【答案】 16已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_ 【解析】 根据题意，作出函数的图像，如图：令，因为方程有8个相异的实数根，所以方程在区间上有两个不相等的实数根，故令，则函数在区间上有两个不相等的零点.所以，即，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：【答案】 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17a为何值时，关于x的方程的两根满足条件？ 【解析】令【答案】 18已知函数为偶函数，且f(3)0，且a1)在2,
11、3上为增函数，求实数a的取值范围【解析】(1)由f(3)f(5)，得0，解得1m.mN，m0或1.当时，为奇函数，不符合题意；当时，为偶函数，符合题意；综上，m1，此时f(x)x2.(2)由(1)知，当x2,3时，g(x)loga(x2ax)当0a0.无解；当a1时，ylogau在其定义域内单调递增，要使g(x)在2,3上单调递增，则需u(x)x2ax在2,3上单调递增，且u(x)0.解得a2.实数a的取值范围为(1,2)【答案】 (1) f(x)x2 (2) (1,2)19(2021青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于
12、t1,2恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)当x0，所以x1.(2)当t1,2时，不等式为2tm0，即m(22t1)(24t1)，因为t1,2，所以22t10，所以m(22t1)而t1,2时，(22t1)17，5，故实数m的取值范围是5，)【答案】 (1)1 (2) 5，)20(2022全国高三专题练)已知函数在上的最大值与最小值之和为(1)求实数的值；(2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】 (1)因为函数在上的单调性相同，所以函数在上是单调函数，所以函数在上的最大值与最小值之和为，所以，解得和(舍)所以实数的值为.(2)由(1)得，因为对于任意的，不等式恒成立，所以对于
13、任意的，恒成立，当时，为单调递增函数，所以，所以，即所以实数的取值范围【答案】 (1)；(2)21(2022上海市建平中学高三阶段练)有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点，以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点B距离最近的垃圾投放点的距离(1)若，求、的值，并写出的函数解析式；(2)若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】 (1)投放点，表示与距离最近的投放点(即的距离，所以，同理得，由题意得，则当，即时，；当，即时，；综上；(2)由题意得，所以，则与坐标
14、轴围成的面积如阴影部分所示，所以，由题意，即，解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利【答案】 (1)， (2)垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利22(2022安徽省亳州高三期末)如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为万元，段的引水管道造价为万元，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，.(1)求的值，并将表示为的函数；(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.【解析】 (1)因为为半圆弧的直径，则，则，由题意可得，可得，所以，其中，当点在的中点时，此时，解得，因此，其中.(2)因为，其中，则，因为函数在上为减函数，由可得，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，故当时，函数取最大值，即.【答案】 (1)，其中；(2)存在，且的最大值为.
