1、第二章等式与不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1若关于x的不等式在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是( )A(，5)B(5，+)C(4，+)D(，4)【解析】 设，开口向上，对称轴为直线，所以要使不等式在区间(1，5)内有解，只要即可，即，得，所以实数a的取值范围为。【答案】 A2已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为( )Aa0Ba0Ca-1Da-2【解析】 ，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：，【答案】 A3已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )AB1C2D8【解析】 的解集为，则的两根为，则，即，当
2、且仅当时取“=”，【答案】 C4(2022江苏无锡模拟)已知实数，满足如下两个条件：(1)关于的方程有两个异号的实根；(2)，若对于上述的一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是()ABCD【解析】 设方程的两个异号的实根分别为，则，又，则(当且仅当，时取“”)，由不等式恒成立，得，解得实数的取值范围是故选：A【答案】 A5(2022湖北十堰三模)函数的最小值为()A4BC3D【解析】 因为，当且仅当，即时等号成立，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.故选：A【答案】 A6(2022辽宁模拟)已知正实数x，y满足，则的最小值为()A2B4C8D12【解析】 由，且，可得，所以，当且仅当
3、，即，时取等号故选：C【答案】 C7(2022山东省威海市文登区高三(上)期中)关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为( )AB C D【解析】 不等式的解集是，即对于，恒成立，即，当时，当时，因为，所以，综上所述.【答案】 A8(2022江苏省徐州市高三(上)期中)已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，且，若，则的最小值为( )AB3CD4【解析】 由可得，又第二象限角的终边上有异于原点的两点，则，所以，则，由在第二象限可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3.【答案】 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5
4、分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2021福建宁德一中高三期中)下列四个命题中，真命题的有( )A若，则B若，则C若，则D若，则【解析】 A：显然，但是不成立，故本命题是假命题；B：因为，所以，因此有，当且仅当时取等号，即时 取等号，故本命题是真命题；C：因为，所以由，因此本命题是真命题；D：由，于是有或，即或，因此本本命题是假命题，故选：BC【答案】 BC10(2021山东师范大学附中高三月考)下列说法正确的是( )A若，则一定有B若，且，则的最小值为0C若，则的最小值为4D若关于的不等式的解集是，则【解析】 对A，由可得，则，又，即，故A正确；对B，若，且，则，可得，由在上单调递减可
5、得当时，取得最小值为0，故B正确.对C，当且仅当等号成立，即，解得或，因为，所以，即的最小值为4，故C正确；对D，可得2和3是方程的两个根，则，解得，则，故D错误.故选：ABC.【答案】 ABC11(2021湖南娄底一中高三月考)下列命题错误的是( )A命题“，”的否定是“，”B函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件C在时有解在时成立D“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”【解析】 对A：命题“，”的否定是“，故A错误；对B：由函数，则，则，故B正确；对C：时，在上恒成立，而，故C错误；对D，当“”时，平面向量与的夹角是钝角或平角，“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“”
6、，故D错误.故选：ACD.【答案】 ACD12(2022湖南省长郡中学高三第四次月考)(多选)若，则下列不等式成立的是( )ABCD【解析】 由，知，则，所以，故A不正确；因为，只有时等号成立，但，故故B不正确；因为，所以，故C正确；因为，所以，故D正确故选：CD【答案】 CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2022深圳外国语学校高三(下)第二次检测)若，则的最小值是_.【解析】 因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，故答案为：【答案】 14(2022天津南开一模)若，则的最小值为_【解析】 由题意，得：，设 ，则 ，故 ，当且仅
7、当 ，即 时取得等号，故的最小值为，故答案为：【答案】 15(2022天津市南开中学高三第一次统练)已知，则的最小值为_.【解析】 ，当且仅当，即等号成立，所以，的最小值为4，故答案为：4.【答案】 416(2022黑龙江省实验中学高三第六次月考)已知直线和互相垂直，且，则的最小值为_.【解析】 由题得.所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：【答案】 #四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(2022河南模拟预测)设a，b为正数，且证明：(1)：(2)【解析】 (1)，当且仅当“”时取“”，当且仅当“”时取“=”，所以，所以(2)因为
8、，所以所以，因为a，b为正数，且，所以，所以，所以【答案】 (1)证明见解析 (2)证明见解析18(2021河北承德一中高三月考)已知函数，的部分图象如图，四边形的面积为3，其中A，B是最高点，且(1)求的解析式；(2)设，求的最小值.【解析】 (1)设的最小正周期为T，显然，所以四边形的面积，解得，或，当，时，由可得，故舍去；从而，由，可得，故；(2)，设，则，故，当且仅当时，即时不等式取得等号所以的最小值为4【答案】 (1)；(2)419(2022山东省菏泽市高三(上)期中)已知生产某种产品需投入成本万元(不含促销费用)，且产品的销售价格定为元/件.若该种产品的销售量P万件(生产量与销售量
9、相等)与促销费用万元满足(其中，为正常数).(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用万元的函数；(注：利润=销售收入促销费投入成本)(2)当促销费用投入多少万元时，生产该产品的利润最大？【解析】 (1)由题意知，因为，即将代入化简得：.(2)，当且仅当，即时，上式取等号.当时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；当时，由对勾函数的性质可知：在上单调递减所以在上单调递增，即时，函数有最大值所以促销费用投入a万元时，生产该产品的利润最大.综上，当时，促销费用投入2万元，利润最大；当时，促销费用投入万元，利润最大.【答案】 (1) (2)当时，促销费用投入2万元，利润最大；当时，促销费用投入万元，
10、利润最大.20(2022江苏省镇江市高三(上)期中)设函数，关于的不等式(为常数)的解集为.(1)若，求实数，的值；(2)当时，恒成立，试求的取值范围.【解析】 (1)关于x的不等式f(x)0即ax2+bx30的解集为(3，1)，可得3，1是方程ax2+bx30(a0)的两根，则， 解得a1，b2；(2)关于x的不等式f(x)k(k为常数)的解集为(3，1)，可得3，1是方程ax2+bx3k0(a0)的两根，且则，即有当x1，3时，f(x)x2恒成立，即ax2+2ax3x2，即有a(x2+2x)x+1，即对1x3恒成立设g(x)，由1x3，可得2x+14，又yx+1在1，3递增，可得x3时，y
11、x+1取得最大值，所以g(x)的最小值为，所以，即a的取值范围是【答案】 (1) (2)21(2022四川省南充高级中学高三第一次月考)已知函数(1)求不等式的解集(2)已知函数的最小值为，且，都是正数，证明：【解析】 (1)且，即，即，解得：，故不等式的解集为；(2)证明：，则，则，当且仅当时，取等号，即.【答案】 (1)；(2)证明见解析22(2022安徽省六校教育研究会高三(下)第二次联考)函数.(1)当时，不等式的解集；(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】 (1)当时，.当时，由，可得，此时；当时，由恒成立，此时；当时，由，可得，此时.综上所述，.(2)当时，由，得，可得，因为当时，不等式恒成立，所以，则，解得，因此，.【答案】 (1) (2)
