1、专题20：概率一、单选题1某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画出树状图，即可求解【详解】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画树状图如下：一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
2、这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=416=，故选A【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键二、填空题2如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率为_【答案】【解析】【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率【详解】解：随机闭合开关、中的两个出现的情况列表得： 开关结果不亮亮亮共三种等可能结果，其中符合题意的有两种所以能让灯泡发光的概率为，故答案为：【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件3（2021四川成都）我们对一个三角
3、形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_【答案】【解析】【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案【详解】解：画树状图如下：所以一共有种等可能的结果，又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
4、恒成立，为正整数，满足条件的有：共种情况，所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是： 故答案为：【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键4（2022四川成都）如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_【答案】【解析】【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，由正方形的性质可知AOB=90，由正方形的性质
5、可得CD=CE=OC=a，DE=2a，S阴影=S圆-S小正方形=，S大正方形=，这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键三、解答题5（2022四川自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：(1)求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课
6、外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；(3)某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率【答案】(1)100，图形见解析(2)900(3)【解析】【分析】（1）利用抽查的学生总数=A等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求D等级的人数，即可求解；（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解(1)解：根据题意得：；D等级的人数为100-40-15-10=35（人
7、），补全条形统计图如下：(2)解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数为（人）；(3)解：设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：一共有12中等可能结果，其中这2人均属D等级的有2种，这2人均属D等级的概率为【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键6（2020四川）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果
8、共分为四个等级：A优秀； B良好； C及格：D不及格根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表垃圾分类知识测试成绩统计表测试等级百分比人数A优秀5%20B良好60C及格45%mD不及格n请结合统计表，回答下列问题：（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加班长设计了如下游戏来确定人
9、选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平【答案】（1）400人，；（2）1120人；（3）不公平，树状图见解析【解析】【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m和n的值；（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平【详解】（1）本次参与调查
10、的学生人数为：205%=400（人），m=40045%=180，4002060180=140，n=140400100%=35%；（2）5600=1120（人），即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，P（小明参加）=，P（小亮参加）=1=，这个游戏规则不公平【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知识；画出树状图是解题的关键7（2021四川德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了
11、不完整的统计表和频数分布直方图分数x（分）频数（人）频率90x10080a80x90600.370x800.1860x70b0.12（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率【答案】（1）a=0.4、b=24，补全图形见解答；（2）2450名；（3）【解析】【
12、分析】（1）先由80x90的频数及频率求出样本容量，再根据频率=频数样本容量求解即可；（2）总人数乘以样本中竞赛成绩在80分以上（含80分）的频率和即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可【详解】解：（1）样本容量为600.3=200，a=80200=0.4，b=2000.12=24，70x80对应的频数为2000.18=36，补全图形如下：（2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500（0.4+0.3）=2450（名）；（3）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的有4种结果，所以选中的两
13、位同学恰好是一男一女的概率为【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图8（2021四川巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现现将九年级学生成绩统计如图所示（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中
14、，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理【答案】（1）500，36（2）见解析（3）不合理；理由见解析【解析】【分析】（1）由A等级的学生除以所占的比例求出该校九年级共有的学生，即可解决问题；（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论【详解】解：（1）该校九年级共有学生：15030%500（名），则D等级所占圆心角的度
15、数为：36036，故答案为：500，36；（2）B等级的人数为：50015010050200（名），将条形统计图补充完整如下：（3）此规则不合理，理由如下：画树状图如图：共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，选甲乙的概率为，选丙丁的概率为，此规则不合理【点睛】本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和是扇形统计图，解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9（2021四川绵阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中段对
16、应扇形圆心角为分段成绩范围频数频率9010080892070790.370分以下10注：90100表示成绩满足：，下同（1）在统计表中，_，_，_；（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；（3）若统计表段的男生比女生少1人，从段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率【答案】（1），；（2）200；（3）列举见解析，【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中段对应扇形圆心角为，段人数为10人，可求出总人数，即可求出，的值；（2）用样本中的频率来估计总体中的频率即可；（3）通过列举所选情况可知：共10种结果，并且它们出
17、现的可能性相等，其中包含1名男生1名女生的结果有6种，然后根据概率公式即可得出答案【详解】解：（1）总人数为：（人)，（人)，（人)，故答案为：5，0.4，15；（2）由题意得：成绩在之间的人数为5，随机选出的这个班级总人数为50，设该年级成绩在之间的人数为，则，解得：，答：该年级成绩在之间的人数为200人，（3）由（1）（2）可知：段有男生2人，女生3人，记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，选出2名学生的结果有：男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男生
18、1名女生的结果有6种，即选到1名男生和1名女生的概率为【点睛】本题主要考查了统计表和统计图，列举法求概率，用样本估计总体等知识，解决本题的关键是列举出所有等可能结果10（2021四川内江）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列
19、表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）【解析】【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；（2）喜爱“体育”的人数为（名，补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小
