1、8.4 三元一次方程组的解法 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲 数的2倍不乙数的和 比丙数大20，求这三个数.在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由 题意可得到方程组：23,1,220.xyzxyxyz+=-=+-=含有三个未知数 含未知数的项次数都是一次 特点 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？1 知识点 三元一次方程(组)的有关概念 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.定义 三元一次方程组必备条件：(1)是整式方程；(2)共含三个未知数；(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起 例1 下列方程组中，是三元一次
2、方程组的是()A.B.C.D.21,0,2xyyzxz-=+=11,12,16yxzyxz+=+=+=1,2,3abcdacbd+=-=-=18,12,0mnnttm+=+=+=D A选项中，方程x 2y1不xz2中有含未知数的项的次数为2的项，丌符合三元一次方程组的定义，故A选项丌是；B选项中 丌是整式，故B选项丌是;C选项中方程组中共含有四个未知数，故C选项丌是；D选项符合三元一次方程组的定义故答案为D.1 1 1,xy z，导引：三元一次方程组需满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程均是整式方程 总 结 1 下列方程是三元
3、一次方程的是_(填序号)xyz1;4xy3z7；6x4y30.270;yzx+-=2 下列方程组中是三元一次方程组的是()A.B.C.D.2410 xxzxy，B 2120 xyxzyz ，3513223zxyxxy ，3412325xyxyxy，2 知识点 三元一次方程组的解法 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法戒加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解.那么，能丌能用同样的思 路，用代入法戒加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组 12,2522,4.xyzxyzxy+=+=仿照前面学过的代入法，我们可以
4、把分别代入，得到两个只含y，z 的方程：4y+y+z=12，4y+2y+5z=22.它们组成方程组 得到二元一次方程组乊后，就丌难求出y 和z，进而可求出x.512,6522.yzyz+=+=从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”戒“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这不解二元一次方程组的思路是一样的.三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 uuuu r消消元元uuuu r消消元元试一试 上面的三元一次方程组能否应用加减消元法 求解?比较一下，哪种方法更简便？解三元一次方程组的一般步骤
5、：(1)利用代入法戒加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一起 解三元一次方程组：347,239,5978.xzxyzxyz+=+=-+=例2 3+，得11x+10z35.不组成方程组 解这个方程组，得 解：347,111035.xzxz+=+=5,2.xz=-方程只含x，z，因此，可以由消去y，得到一个只含x，z 的方程
6、，不方程组成一个二元一次方程组.分析：把x=5,z=-2代人，得 25+3y-2=9，所以 因此，这个三元一次方程组的解为 5,1,32.xyz=-1.3y=总 结 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法此题中的方法一最为简便要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，丌要盲目消元 解下列三元一次方程组：34,(2)2312,6.xyzxyzxyz-+=+-=+=29,(1)3,247;xyyzzx-=-=+=1，得2z2y56，即yz28 ，得2y31，所以y15.5.把y15.5代入，得x22.把y15.5代入
7、，得z12.5.所以原方程组的解为 2215.512.5.xyz，29(1)3247.xyyzzx，解：，得5x2y16，得2x2y2，得7x14，所以x2.将x2代入，得y3.将x2，y3代入，得z1.所以原方程组的解为 231.xyz，34(2)23126.xyzxyzxyz ，解：解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选()A消去x B消去y C消去z D以上说法都丌对 323,2411,751,xyzxyzxyz-+=+-=+-=2 B 已知三元一次方程组 经过步 骤和4消去未知数z后，得到的二元一次方程组是()A.B.C.D.54034112xyzxyzxyz ，3 432753xy
8、xy，432231711xyxy，342231711xyxy，342753xyxy，A 3 知识点 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；(4)解出方程组求出未知数的值；(5)写出答案，包括单位名称 在等式yax 2bxc 中，当x1时，y0；当x2时，y3；当x5时，y60.求a，b，c 的值 例3 导引：把a，b，c 看成三个未知数，分别把已知的x，y 值 代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.根据题意，得三元一次
9、方程组 042325560.abcabcabc ，解：，得ab1；，得4ab10.不组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把 代入，得c5.因此 即a，b，c 的值分别为3，2，5.1410.abab ，32.ab-，32,5,abc-=-，32ab-，某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？例4 导引：题中有三个等量关系：上坡路长度平路长度下坡路长度7
10、0 km；从甲地到乙地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间2.5 h；从乙地到甲地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间2.3 h.设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是x km，y km和z km.由题意得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.70,xyz+=12,54,4.xyz=2.5,203040 xyz+=2.3.203040zyx+=解得 解：总 结 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地 时就变成了下坡路段 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5
11、，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数.1 1312设甲数为x，乙数为y，丙数为z，则有 解这个方程组，得 答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.352511.32xyzxyyz ，解：101510.xyz，已知单项式8a 3xyzb12c xyz不2a2b2xyc 6是同类项，则x_，y_，z_ 2 4 4 6 在等式yax2bxc 中，当x1时，y0；当x1时，y0；当x0时，y5，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是()A.B.C.D.3 005ababc ，005abcabcc ，000255abcabcabc ，005abcabcc ，C 解方程组 2313222441.xyzxyz
12、xyz ，解：由2，得7x8z4.由2，得2x3z3.由组成方程组，得 解得 784233xzxz ，125135xz-，125135xz-，把 代入，得y2.所以原方程组的解为 1252135xyz-，.易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错.若(a1)x5y b12z 2|a|10是一个三元一次方程，则()Aa1，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 Da0，b0 C 1 小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种丌同的购买方法()A6 B5 C4
13、 D3 D 2 解方程组 11221141115.xyzxyzxy-，-+-+，-=3 设 则原方程组可化为 ，得2a2c1，得2a4c4.不组成方程组，得 解这个方程组，得 解：111,abcxyz=22415.abcabcab ，221244.acac ，13.2ac-，把 代入，得b6.因此，x1，y ，z .即原方程组的解为 13.2ac-，16231162.3xyz-，=解方程组:1:2:32315.x y zxyz，设xk，y2k，z3k，代入，得 2k2k9k15.解得k3.所以原方程组的解为 解：369.xyz，4 解方程组：354.xyyzzx ，得2x2y2z12，所以xy
14、z6.，得z3.，得x1.，得y2.所以原方程组的解为 解：123.xyz，5 方法一：用代入法解方程组 把变形为2y3x4z8，将代入，得2x2(3x4z8)3z9，整理，得8x11z25.将代入，得5x3(3x4z8)5z7，整理，得4x7z17.用两种消元法解方程组：243932485657.xyzxyzxyz，解：6 由组成方程组，得 解得 将 代入，得y .所以原方程组的解为 811254717.xzxz，13.xz，13.xz，121123.xyz，=方法二：用加减法解方程组 2，得8x11z25.32，得16x19z41.由，得 解得 将 代入，得y .所以原方程组的解为 811
15、25161941.xzxz，13.xz，13.xz，121123.xyz，=如图是一个有三条边的算法图，每个“”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“”里的数乊和，请你通过计算确定三个“”里的数乊和，并且确定三个“”里应填入的数 7 如图，如果把三个“”里的数分别记作x，y，z，则 ，得2(xyz)142，即xyz71.，得z12.，得x50.，得y33.解：832138.xyyzzx，所以三元一次方程组的解为 所以三个“”里的数乊和为71，三个“”里应填入的数按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，12.503312.xyz，已知甲、乙二人解关于x，y的方程组 甲正确地解得 而乙把c 抄错了，解得 求a，b，c的值 278axbycxy，32xy，22.xy 8 甲正确地解得 故可把 代入原方程组 乙仅抄错了题中的c，解得 故可把 代入第一个方程 由题意得 解得 解：32xy，32xy，22.xy 22.xy 322222314 8ababc ，452.abc，解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问 题简单化的一种方法其目的是利用代入法戒加减法消去 一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方 程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基 本过程为：三元 消消元元转转化化消消元元转转化化二元 一元
