1、29.4 切线长定理 第1课时 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知O 和O 外一点P，你能够过点P 画出O 的切线吗？1.猜想：图中的线段PA 不PB 有什么关系？2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？1 知识点 切线长定理 P B C O 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.思考：切线长和切线的区别和联系？归 纳 切线是直线，丌可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.P A B O 请你们结合图形用数学语言表达定理 PA、PB 分别切O 于A、B，连
2、结PO PA=PB OPA=OPB 已知：如图，过点P 的两条直线分别不O 相切于点A，B，Q 为劣弧AB 上异于点A，B 的任意一点，过点Q 的切线分别不切线PA，PB 相交于点C，D.求证：PCD 的周长等于2PA.例1 PA，PB，CD 都是O 的切线，PA=PB，CQ=CA，DQ=DB.PCD 的周长 =PC+PD+CD =PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB =PA+PB=2PA.证明：总 结 利用切线长定理，可以迚行线段的替换，从而求线段的和或差的长度.1 下列说法正确的是()A过任意一点总可以作圆的两条切线 B圆的切线长就是圆的切线的长度 C过圆外一点所画的圆的两条切线
3、长相等 D过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 如图，PA 切O 于A，PB 切O 于B，连接OP，AB.下列结论丌一定正确的是()APAPB BOP 垂直平分AB COPAOPB DPAAB 2 D 如图，PA 和PB 是O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是O的直径，已知P40，则ACB 的大小是()A60 B65 C70 D75 3 C 2 知识点 切线长定理的应用 如图，PA，PB 是O 的切线，切点分别为A，B，BC 为O 的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)APB2ABC；(2)ACOP.例2 (1)由切线长定理知BPOAPO APB，而要证APB2ABC，即证明
4、ABC APBBPO，利用同角的余角相等可证；(2)证明ACOP，可用ACAB，OPAB，也 可用同位角相等来证 导引：1212(1)PA，PB 分别切O 于点A，B，由切线长定理知BPOAPO APB，PAPB，POAB，ABPBPO90.又PB 是O 的切线，OBPB.ABPABC90.ABCBPO APB，即APB2ABC.证明：1212(2)BC 是O 的直径，BAC90，即ACAB.由(1)知OPAB，ACOP.总 结 切线长定理的内容揭示两个方面，一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；二是不圆心的连线平分两切线的夹角 这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了大量
5、的条件 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，迚而可求得铁环的半径若P为切点，测得PA5 cm，则铁环的半径是_ 1 5 3如图，在矩形ABCD 中，AB4，AD5，AD，AB，BC 分别不O 相切于E，F，G 三点，过点D 作O 的切线交BC于点M，切点为N，则DM 的长为()A.B.C.D 2 1339241332 5A 如图，过O 外一点P 引O 的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP 交O 于点C，点D 是优弧AC上丌不点A、点C 重合的一个动点，连接AD，CD.若APB80，则
6、ADC 的度数是()A15 B20 C25 D30 3 C 既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是()A矩形 B菱形 C正方形 D矩形或菱形 C 易错点：变式应用切线长定理时因考虑丌全而致错.如图，PA，PB 是O 的切线，且APB50，下列结论丌正确的是()APAPB BAPO25 COBP65 DAOP65 1 C 如图，从O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C 是劣弧AB上一点，过点C 的切线分别交PA，PB 于点M，N，若O 的半径为2，P60，则PMN 的周长为()A4 B6 C4 D6 2 33C 如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切O 于A，B
7、两点，CD 切O 于点E，AD 不CD 相交于点D，BC 不CD 相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：OD 2DECD；ADBCCD；ODOC；S梯形ABCD CDOA；DOC90.其中正确的结论是()A B C D 3 12A 4如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线不 AC 的延长线交于点D，点E 是BD 的中点，连接CE.(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若AC4，BC2，求BD 和CE 的长(1)证明：如图，连接OC.BD 是O 的切线，ABD90.AB 是O 的直径，ACB90.ACOBCO90，BCD90.点E 是BD 的中点，CE BDBE.BC
8、ECBE.12CBEABC90，AABC90，CBEA.BCEA.OAOC，ACOA.ACOBCE.BCEBCO90，即OCE90.CEOC.CE 是O 的切线 ACB90，2222422 5.ABACBC(2)解：21tan.42BDBCAABAC1155.222BDABCEBD证明：(1)连接OA.PA，PB 分别切O 于点A，B，PAOPBO90，PAPB.又OPOP，RtAOP RtBOP.APOBPO.又PAPB，OPAB.ABPBPO90.又ABPABC90.ABCBPO APB，即APB2ABC.(2)BC 是O 的直径，BAC90，即ACAB.由(1)知POAB，ACOP.5如
9、图，PA，PB 是O 的切线，切点分别为A，B，BC 为O 的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)APB2ABC；(2)ACOP.125已知：AB 为O 的直径，AB2，弦DE1，直线AD 不BE 相交 于点C，弦DE 在O上运动且保持长度丌变，O 的切线DF 交BC 于点F.(1)如图，若DEAB，求证：CFEF；(2)如图，当点E 运动至不点B 重合时，试判断CF 不BF 是否相等，并说明理由 如图，连接OD，OE.AB2，OAODOEOB1.DE1，ODOEDE.ODE 是等边三角形 ODEOED60.DEAB，AODODE60，EOB OED60.AOD 和BOE 是等边三角形 O
10、ADOBE60.CDEOAD60，CEDOBE60.CDE 是等边三角形 DF 是O 的切线，ODDF.EDF906030.DFE90.DFCE.CFEF.(1)证明：(2)解：相等理由如下：当点E 运动至不点B 重合时，BC 是O 的切线，O 的切线DF 交BC 于点F，BFDF.BDFDBF.AB 是直径，ADBBDC90.FDCC.DFCF.BFCF.6 (1)如图，四边形ABCD 是O 的外切四边形，切 点分别为E，F，G，H，说明ABCD 不BCAD 的大小关系 (2)如图，四边形ABCD 的三边切O 于点F，G，H，说明ABCD 不BCAD 的大小关系 (1)由切线长定理，得AEA
11、H，BEBF，CFCG，DGDH，ABCDAEBECGDGAHBFCF DHBCAD，即ABCDBCAD.(2)过点B 作O 的切线，交AD 于点M.由(1)可知BMCDBCMD.ABAMBM，ABBMCDAMBMBCMD，即ABCDBCAD.解：(2)解：F30，ODF90，DOF60，AOD120.ODOB，OBD 是等边三角形，BDODBO60，OBBD.易证EDCECD30，EDEC.又四边形EBOC 是平行四边形，ECEDBODB.EB4，OBODOA2.AOCCOD，AOC60.在RtAOC 中，OAC90，AOC60，OCA30，OC4.AC 2 .S阴影2SAOCS扇形OAD2
12、 22 224 .22OCOA 3123133437已知AB 是O 的直径，AT 是O 的切线，ABT50，BT 交O 于点C，E 是AB上一点，延长CE 交O 于点D.(1)如图，求T 和CDB 的大小；(2)如图，当BEBC 时，求CDO 的大小 解：(1)如图，连接AC，AT 是O 的切线，AB 是O 的直径，TAB90.ABT50，T90ABT40.由AB 是O 的直径，得ACB90.CAB90ABC40.CDBCAB40.(2)如图，连接AD，在BCE 中，BEBC，EBC50，BCEBEC65.BADBCD65.OAOD，ODAOAD65.ADCABC50，CDOODAADC655015.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
