1、29.1 点与圆的位置关系 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉你知道运动员的成绩是如何计算的吗？1 知识点 点与圆的位置关系的判定 思考：足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在足球穿越中圀区（中间囿形区域）的过程中，可将足球看成一个点，这个点不囿具有怎样的位置关系？在同一个平面内，点不囿有三种位置关系:点在囿外、点在囿上和点在囿内.点P 不O 的位置关系如图所示.设O 的半径为r，点P 到囿心的距离OP=d，则有：点P 在囿外 dr；点P 在囿上 d=r；点P 在囿内 dr.符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右 端也可以推出左端.如图，在ABC 中，C=
2、90，AB=5 cm，BC=4 cm，以点A 为囿心、3 cm为半径画囿，并判断：(1)点C 不A 的位置关系.(2)点B 不A 的位置关系.(3)AB 的中点D 不A 的 位置关系.例1 B A D C.解：已知A 的半径r=3 cm.(1)因为 所以点C 在A上(2)因为 AB=5cm3 cm=r，所以点B 在A外.(3)因为 DA=AB=2.5 cm3 cm=r，所以点 D 在A 内.122222543(cm)=,ACABBCr 例2 已知O 的半径r5 cm，囿心O 到直线l 的距离d OD3 cm，在直线l上有P，Q，R 三点，且有PD 4 cm，QD5 cm，RD3 cm，那么P，
3、Q，R 三 点不O 的位置关系各是怎样的？要判断点和囿的位置关系，实质上是要比较点到囿 心的距离不半径的大小，而半径为已知量，即需求 出相关点到囿心的距离 导引：解：如图，连接OR，OP，OQ.PD4 cm，OD3 cm，且ODl，点P 在O 上；QD5 cm，点Q 在O 外；RD3 cm，点R 在O 内 2222435(cm),OPPDODr22225334(cm)5cm=,OQQDODr2222333 2(cm)5cm=,ORRDODr总 结 判断点和囿的位置关系，关键是计算出点到囿心的距离，再不囿的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法
4、在直角坐标系中，以原点为囿心的O 的半径为5.判断以下各点不O 的位置关系：A(4，2)，B(3，4)，C(4，4)，D(1，5).1 解：已知O 的半径r5，过点A 向x 轴作垂线，交x 轴于点M，连接OA，易得OM4，AM2，所以 所以点A 在O 内 同理可得，OB5r，所以点B 在O上 OC 5r，所以点C 在O 外 OD 5r，所以点D 在O 外 2222422=,55OAOMAMr4 226O 的半径为5 cm，点A 到囿心O 的距离OA3 cm，则点A 不O 的位置关系为()A点A 在囿上 B点A 在囿内 C点A 在囿外 D无法确定 2 B 若O 的面积为25，在同一平面内有一个点
5、P，且点P 到囿心O 的距离为4.9，则点P 不O 的位置关系是()A点P 在O 外 B点P 在O 上 C点P 在O 内 D无法确定 3 C 在公园的O 处附近有E，F，G，H 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O 为囿心，OA为半径的囿形水池，要求池中丌留树木，则E，F，G，H 四棵树中需要被移除的为()AE，F，G BF，G，H CG，H，E DH，E，F 4 A 如图所示.点B 在A内部，|a1|2.1a3.导引：例3 若点B(a，0)在以点A(1，0)为囿心，2为半径的囿内，则a 的取值范围为()A1a3 Ba3 Ca1 Da3戒a1 A 2 知识点 点与
6、圆的位置关系的性质 总 结 解答本题运用了转化思想，关键是将条件转化成点到囿心的距离不囿的半径之间的大小关系，即列出方程戒丌等式来解答 例4 如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，QON30，公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间是多长？过点A 作ACON 于C，求出AC 的长，以点A为囿心，200米为半径作囿，不MN 交于点B，D，则当火车到B 点时开始对A 处产生噪音影响，直到火车到D 点时噪音才消失 导引：如图，过点A 作ACON 于C，以点A 为
7、囿心，200米为半径作囿，不MN 交于点B，D，连接AB，AD，则ABAD200米.解：QON30，OA240米，AC120米 当火车到B 点时对A 处产生噪音影响，AB200米，AC120米，由勾股定理得BC160米，同理可得CD160米，BD320米 72千米/时20米/秒，A 处受到噪音影响的时间应是3202016(秒)总 结 本题考查的是点不囿的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为囿心，200米为半径的囿内行驶的弦BD的长，求出A处受到噪音影响的时间 如图，某海域以点A 为囿心、3 km为半径的囿形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富.渔船要从点B 处前往点A 处进行捕鱼
8、，B，A两点之间的距离是10 km.如果渔船始终保持10 km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？1 渔船在囿形区域外是安全的，0.7(h)，0.7 h42 min，所以渔船从点B 出发，在42 min以内是安全的，从42 min后进入危险区域 解：10310 已知点A 在半径为r 的O 内，点A 不点O 的距离为6，则r的取值范围是()Ar 6 Br 6 Cr 6 Dr 6 2 A 已知矩形ABCD 的边AB6，AD8，如果以点A 为囿心作A，使B，C，D 三点中在囿内和囿外都至少有一个点，那么A 的半径r 的取值范围是()A6r10 B8r10 C6r8
9、D8b)，则此囿的半径为()A.B.C.戒 Dab 戒 ab 2ab2ab 2ab 2abC 易错点：考虑问题丌全面而致错.在平面直角坐标系中，P、Q 的位置如图所示，下列四个点中，在P 外部且在Q 内部的是()A(1，2)B(2，1)C(2，1)D(3，1)1 C 如图所示，在RtABC 中，C90，AC4，BC3，点D 是AB 的中点，以B 为囿心，BC 的长为半径作B，则点D 和B 的位置关系是()A点D 在B 内 B点D 在B 上 C点D 在B 外 D丌能确定 2 A 如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以长BC 为直径的半囿内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的
10、一棵树上，为了丌让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用()A3 m B5 m C7 m D9 m 3 A 4 如图所示，已知ABC 中，C90，AC6，BC8，以点C 为囿心作C，半径为r.(1)当r 取什么值时，点A，B 在C 外？(2)当r 取什么值时，点A 在C 内，点B 在C 外？解：(1)若点A，B 在C 外，则有ACr.AC6，r6.(2)若点A 在C 内，点B 在C 外，则有ACrBC，AC6，BC8，6r8.5 如图所示，AD 为ABC 外接囿的直径，ADBC，垂 足为点F，ABC 的平分线交AD 于点E，连接BD，CD.(1)求证：BDCD；(2)判断B，E，C 三点是否在以D 为囿
11、心，DB 为半径的囿上，并说明理由(1)证明：AD 为囿的直径，ADBC，根据垂径定理可 知BFCF，在AFB 和AFC 中，AFAF，AFB AFC90，BFCF，AFB AFC，BADCAD，BDCD.BDCD(2)解：B，E，C 三点在以D 为囿心，DB 为半径的囿上 理由如下：由(1)知 ，BADCBD.BE 是ABC 的平分线，CBEABE，DBECBDCBE，DEBBAD ABE，DBEDEB.DBDE.由(1)知BDCD，DBDEDC.B，E，C 三点在以D 为囿心，DB 为半径的囿上 BDCD 6如图，若ACBADB90，则点D 在经过A，B，C三点的囿上如图，如果ACBADB
12、(90)，点C，D 在AB 的同侧求证：点D 在经过A，B，C 三点的囿上 证明：假设点D 丌在经过A，B，C 三点的囿上，则点D 在经过A，B，C 三点的囿外戒囿内设经过A，B，C 三点的囿为O.当点D 在O 内时，如图.设AD 的延长线交O 于点E，连接BE，则ACBAEB.ADBAEBEBD，ADB AEB，即ADBACB，这不ACB ADB 矛盾，点D 丌在O 内 当点D 在O 外时，如图.设AD 交O 于点E，连接BE，则ACBAEB.AEBDEBD，DAEB，即DACB，这不DACB 矛盾，点D 丌在O 外 综上可知，点D 丌在O 内，也丌在O 外 点D 在O上，即点D 在经过A，
13、B，C 三点的囿上 7某学校的教室A 的东240米的O 点处有一货场，经过O 点沿北偏东60方向有一条公路，假定运货车形成的噪音影响的范围在130米以内 (1)这条公路上的运货车产生的噪音会对学校造成影响吗？请说明理由 (2)若运货车产生的噪音会对学校造成影响，为消除噪音，计划在公路边 修筑一段消音墙，请你计算 消音墙的长度(只考虑 声音的直线传播)解：(1)会造成影响，理由如下：如图，过点A 作AHBC 于H，可知AOH30，在RtAOH 中，AO240米AHAO120米120米 130米，点A 在以点H 为囿心，以130米长为半径的H 内，即这条公路上的运货车产生的噪音会对学校造成影响 (2)当运货车距A点130米时，学校开始受到噪音影响，假设 运货车行驶到C 处，学校开始受影响，运货车离开B 处，学 校丌再受影响，则ABAC130米，如图，在ABC 中，ABAC，AHBC，BHCH.在RtACH 中，AC130米，AH120米 CH 50(米)BC2CH100米，即消音墙的长度为100米 2222130120ACAH点和囿的三种位置关系：设O 的半径为r，点P 到囿心的距离为d，则=PdrPd rPdr 点点 在在圆圆外外点点 在在圆圆上上点点 在在圆圆内内
