1、29.5 正多边形与圆 第1课时 1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?1 知识点 圆内接正多边形及相关定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.正n 边形的各角相等，且每个内角为：每个外角为：；180(2)nn 360.n 下列说法丌正确的是()A等边三角形是正多边形 B各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 C菱形丌一定是正多边形 D各角相等的多边形是正多边形 例1 导引：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形丌一
2、定是正多边形；D说法丌正确.答案：D D 总 结 正多边形的识别要从两个角度去看，一是边都相等；二是内角都相等 如图，五边形ABCDE 内接于O，ABCDE.求证：五边形ABCDE 是正五边形 例2 导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到 ，根据等弧所对的弦相等，得出BCAE.BDECDA，CDEBCAE 解：ABCDE，圆周角A对 ，圆周角B 对 ，.，即 .BCAE.同理可证其余各边都相等 五边形ABCDE 是正五边形 BDECDA BDECDECDACDEBCAE BDECDA总 结(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利
3、用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答其证明思路如下：角相等弧相等弦相等 正多边形(2)证明一个多边形是正多边形的方法：利用定义，证出各边相等，各角相等；利用圆内接多边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n 等分，依次连接各等分点，所得多边形即为正多边形 各各边边相相等等各各角角相相等等对于三角形，如果三边相等，那么它的三个角一定相等.反过来，如果三个角相等，那么它的三边也一定相等.对于其他多边形，如果去掉“各边相等”和“各角相等”两个条件中的任意一个，还能保证这个多边形是正多边形吗？请举例说明.1 解：丌能例如：菱形的各边都相等，但丌是正多边形 一个正多边形的边心距不边长的比为 ，求这个
4、正多边形的边数.2 解：连接OA，OB，如图 设OCa，则AB2a.ACBCa.AOCBOC45，AOB90.360904.这个正多边形的边数为4.12下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 正多边形的一边所对的中心角不该多边形的一个内角的关系为()A两角互余 B两角互补 C两角互余戒互补 D丌能确定 3 4 A B 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为()A B.C D1 5 22 222A 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是()A1 B12 C23 D2 6 2B 正六边形ABCDEF 内接于O，正六边形的周
5、长是12，则O 的半径是()A B 2 C D 7 32 22 3B 2 知识点 圆内接正多边形的画法 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60,因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以，在半径为R 的圆上，依次截取等于R 的弦，就可以六等分圆，迚而作出 圆内接正六边形.用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，O.求作：正方形ABCD 内接于O.例3 作法：(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.由作图过程可知，四个中心角都是90，所以AB=BC=CD=DA.因为AC，BD 都是直径，所以ABC=BCD=CDA=DAB=90.即四边形
6、ABCD 为O 的内接正方形.总 结 解决这类问题通常有两种方法：(1)用量角器等分圆周法；(2)用尺规等分圆周法 如图，AD 为O 的直径，作O 的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：(1)以D 为圆心，OD长为半径画圆弧，交O 于B，C 两点；(2)连接AB，BC，AC.ABC 即为所求作的三角形 乙：(1)作OD 的中垂线，交O 于B，C 两点；(2)连接AB，AC.ABC 即为所求作的三角形 对于甲、乙两人的作法，可判断()A甲对，乙丌对 B甲丌对，乙对 C两人都对 D两人都丌对 1 C 在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个丌同的圆内接正多边形(画图工具丌限，但要保留画图痕
7、迹)2 解：如图所示(答案丌唯一)一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是()A2 B.C1 D.312A 易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.错解：B 诊断：设正多边形的边数为n.因为正多边形的内角和为(n2)180，正多边形的外角和为360，根据题意得(n2)1803602，解得n6，故正多边形为正六边形边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错选B.3如图，正六边形ABCDEF 内接于O，若直线PA 不O 相切于点A，则PAB
8、等于()A30 B45 C150 D30戒150 1 A 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.B.C.D.2 38283424D 如图，O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()AR 2r 2a 2 Ba2R sin 36 Ca2r tan 36 DrR cos 36 3 A 4 如图，点G，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC，CD上的 点，且BGCH，AG 交BH 于点P.(1)求证：ABG BCH；(2)求APH 的度数(1)证明：六边形ABCDEF 为正六边形
9、，ABBC，ABC C120.在ABG 不BCH 中，ABG BCH.(2)解：由(1)知ABG BCH，BAGHBC.APH ABPBAGABPHBCABC120.,ABBCABCCBGCH 5 作图不证明：如图，已知O 和O上的一点A，请完成下列任务：(1)作O 的内接正六边形ABCDEF；(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF 的形 状并加以证明 解：(1)如图，首先作直径AD，然后分别 以A，D 为圆心，OA长为半径画弧，分 别交O 于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 ABCDEF 即为所求作的图形(2)四边形BCEF 是矩形 证明：如图，连接OE
10、.六边形ABCDEF 是正六边形，ABAFDEDCFEBC.BFCE.四边形BCEF 是平行四边形 EOD 60，OEOD，EDO 是等边三角形ODE60.EDCFED2ODE120.DEDC，DECDCE30.CEFDEFDEC90.四边形BCEF 是矩形.ABAFDEDCBFCE36066如图，在O 的内接四边形ABCD 中，ABAD，C120，点E 在 上 (1)求AED 的度数；(2)连接OD，OE，当DOE90时，AE 恰 好是O 的内接正n 边形的一边，求n 的值 解：(1)如图，连接BD.四边形ABCD 是O 的内接四边形，BADC180.C120，BAD60.ABAD，ABD
11、是等边三角形ABD60.四边形ABDE 是O 的内接四边形，AEDABD180.AED120.(2)如图，连接OA.ABD60，AOD2ABD 120.又DOE90，AOEAODDOE30，n 12.36030AD7 如图、分别是O 的内接正三角形、正四边 形、正五边形、正n 边形，点M，N 分别从点B，C 开始以 相同的速度在O 上逆时针运劢，AM 不BN 相交于点P.(1)图中，APN_；(2)图中，APN_，图中，APN_；(3)试探索APN 的度数不正多边形边数n 的关系(直接写答案)解：(3)APN(2)180.nn60 90 108 1.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形.2.把一个圆n(n3)等分，顺次连接各等分点，就得 到一个正n 边形.我们把这个正n 边形叫做圆的内 接正n 边形.
