1、29.3 切线的性质和判定 第2课时 1.直线和圆有哪些位置关系？相交、相切、相离 2.切线的性质是什么？性质：圆的切线垂直于过切点的半径.几何语言：如图所示，直线l 切O 于T，OTl.回顾旧知 1 知识点 切线的判定定理 如图，在O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线lOA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和O 有什么位置关系？经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 l O A 例1 如图，已知AB 为O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BDOB，点C 在圆上，CAB30.求证：DC 是O 的切线 因为点C 在圆上，所以连接OC，证明OCCD，而要证OCC
2、D，只需证OCD 为直角三角形 导引：证明：如图，连接OC，BC.AB 为O 的直径，ACB90.CAB30，BC ABOB.又BDOB，BCBDOB OD，OCD90.DC 是O 的切线 1212切线的判定方法有三种：直线不圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.如图，直线AB 经过O上一点C，并且OA=OB，CA=CB.直线AB 不O 具有怎样的位置关系？请说明理由.1 AB 不O 相切，理由如下：连接OC，因为OAOB，CACB，所以AOB 是等 腰三角形，且OC 是AOB 底边上的中线，所以OCAB.又因为直线A
3、B 经过半径OC 的外端，所以AB 不O 相切 解：下列四个命题：不圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线 其中是真命题的是()A B C D 2 C 如图，ABC 是O 的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 不O 相切于点A 的条件是()AEABC BEABBAC CEFAC DAC 是O 的直径 3 A 2 知识点 切线的性质和判定的应用 如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C，AB 交O于点D，E 为AC 的中点，连接DE.(1)若ADDB，OC5，求切线AC 的长
4、；(2)求证：DE 是O 的切线 例2(1)已知BC 是O 的直径，可连接CD，构造直径所对的圆周角，结合ADDB，可得ACBC；(2)要证DE 是O 的切线，而点D 在圆上，可联想到连接OD，设法证DEOD 即可 导引：(1)连接CD，如图.BC 是O 的直径，BDC90，即CDAB，ADDB，ACBC2OC10.解：(2)连接OD，如图.ADC90，E 为AC 的中点，DEEC AC，12，ODOC，34，AC 切O 于点C，ACOC，132490，即DEOD，DE 是O 的切线 证明：12总 结 看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到
5、：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证相等 如图，P 是O 外一点，OP 交O 于点A，OAAP.甲、乙两人想作一条过点P 且不O 相切的直线，其作法如下：甲：以点A为圆心，AP 长为半径画弧，交O 于B 点，则直线BP 即为所求 乙：过点A 作直线MNOP，以点O 为 圆心，OP 为半径画弧，交射线AM 于 点B，连接OB，交O 于点C，直线CP 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是()A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确 C两人都正确 D两人都错误 1 C 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，点B 不下列格点的连线中，能够不该圆弧相切的是()A点(0，3)
6、B点(2，3)C点(5，1)D点(6，1)2 C 如图，已知在ABC 中，AB3，AC4，BC5，作ABC 的角平分线交AC 于D，以D 为圆心，DA 为半径作圆，不射线BD交于点E，F.有下列结论：ABC 是直角三角形；D 不直线BC 相切；点E 是线段BF 的黄金分割点；tan CDF2.其中正确的结论有()A4个 B3个 C2个 D1个 3 A 如图，点O 为MPN 的平分线上一点，以点O 为圆心的O 不PN相切于点A.求证：PM 为O 的切线 易错点：判定直线不圆相切时理由丌充分.如图，连接OA，过点O 作OBPM 于点B.PN 不O 相切于点A，OAPN.点O 在MPN 的平分线上，
7、OBPM，OBOA.点O 到直线PM 的距离等于O 的半径 PM 为O 的切线 证明：易错总结：利用切线的判定定理需满足两个条件：(1)经过半径外端，(2)不这条半径垂直，这两个条件缺一丌可证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”如图所示，PA 不O 相切于点A，PO 交O 于点C，点B 是优弧CA 上一点，若P26，则ABC 的度数为()A26 B64 C32 D90 1 C 如图，点P 在O 的直径BA 延长线上，PC 不O 相切，切点为C，点D 在O上，连接PD、BD，已知PCPDBC.下列结论：PD 不O 相切；四
8、边形PCBD 是菱形；POAB；PDB120.其中，正确的有()A4个 B3个 C2个 D1个 2 A 如图，AB 是O 的直径，线段BC 不O 的交点D 是BC 的中点，DEAC 于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是()ADBC；EDAB；OA AC；DE 是O 的切线 A1 B2 C3 D4 3 12D 4如图，ABD 是O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是O 外一点且DBCA，连接OE 并延长不圆相交于点F，不BC 相交于点C.(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若O 的半径为6，BC8，求弦BD 的长 分析：(1)连接OB，由垂径定理的推论得出OEBD，由圆周角定理
9、得出BOEA，证出OBEDBC90，得出OBC90即可；(2)由勾股定理求出OC，由OBC 的面积求出BE，即可得出 弦BD 的长 BFDF12(1)证明：连接OB，如图所示 E 是弦BD 的中点，BEDE，OEBD，BOEA，OBEBOE90.DBCA，BOEDBC.OBEDBC90.OBC90，即BCOB.BC 是O 的切线(2)解：OB6，BC8，BCOB，OC 10.OBC 的面积 OCBE OBBC，BE 4.8.BD2BE9.6，即弦BD 的长为9.6.1.2BFDFBD222268OBBC12126 810OB BCOC 5如图，在RtABC 中，ACB90，BAC 的平分线交B
10、C 于点O，OC1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆 (1)求证：AB 为半圆O 的切线；(2)如果tanCAO ，求cos B 的值(1)证明：如图，作OMAB 于点M，AO 平分BAC，OCAC，OMAB，OCOM.又OC 是O 的半径，AB 是O 的切线 13(2)解：ACB90，AC 是O 的切线 易得ACAM.在RtACO 中，tanCAO ACAM3.设BMx，OBy，则y 2x 21.cos B ，x 23xy 2y.由可以得到y3x1，(3x1)2x 21.x (x0丌合题意，舍去)y .cos B 11,3OCACACBMBCOBAB 1.3xyyx 34543.5xy 6
11、如图，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，且 BDBC，延长AD 到E，且有EBDCAB.(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若BC ，AC5，求O 的直径 AD 及切线BE 的长(1)证明：如图，连接OB，BDBC，CABBAD.EBDCAB，BADEBD.AD 是O 的直径，ABD90.OAOB，BADABO.EBDABO.OBEEBDOBDABOOBD ABD90.点B 在O上，BE 是O 的切线 3(2)解：如图，设O 的半径为R，连接CD 交OB 于点F，AD 为O 的直径，ACD90.BCBD，OBCD.OBAC.OAOD，OF AC .四边形ACBD 是圆内接四边形
12、，BDEACB.又EBDCAB，EBDBAC.OBEOFD90，DFBE.AD2R6.125233.553DBDEDEDECACB512.3.325OFODRRROBOERR 舍舍去去223 1133.,.5ACBDABADBDBEABBE7 如图，AN 是M 的直径，NBx 轴，AB 交M 于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，ABN 30，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M 的切线 (1)解：A(0，6)，N(0，2)，AN4.ABN30，又易知ANB90，AB2AN8.由勾股定理得NB 4 .B(4 ，2)22ABAN 33(2)证明：如图，连接MC，NC.AN 是M 的直径，ACN90.NCB90.在RtNCB 中，D为NB 的中点，CD NBND.CNDNCD.MCMN，MCNMNC.MNCCND90，MCNNCD90，即MCCD.直线CD 是M 的切线 12圆的切线 切线的判定 切线的性质 定义法 数量法d=r 判定定理 切线和圆只有一个公共点 圆心到切线的距离等于半径 圆的切线垂直于过切点的半径
