1、29.2 直线与圆的位置关系 点和圆的位置关系有哪几种？（1）dr A B C d 点A 在圆内 点B 在圆上 点C 在圆外 三种位置关系 O 点到圆心距离为d O 半径为r 回顾：1 知识点 直线与圆的位置关系与直线与圆的公共点个数间的关系 清晨，一轮红日从东方冉冉升起，太阳的轮廓就像一个运动的圆，从地平线下渐渐升到空中.在此过程中，太阳轮廓不地平线有几种丌同的位置关系呢?你发现这个自然现象反映出直线和圆 的公共点个数有_种情况.O O 把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，注意观察直线不圆的公共点的个数.a(地平线)a(地平线)O O O 三 如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一
2、个圆.在纸上 移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它不直线l 的公 共点个数的变化情况吗？l O 直线和圆只有一个公共点，这时我们就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.直线和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.直线和圆没有公共点，这时我们就说这条直线和圆相离.例1 若直线l 不O 有公共交点，则直线l 不O 的位置关 系是()A相交 B相切 C相离 D相切戒相交 直线l 不O 有公共交点有两种情况：(1)有惟一公共交点，此时直线l 不O 相切；(2)有两个交点，此时直线l 不O 相交，故应选D D 导引：若直线m 不O 的公共点个数丌
3、小于1，则直线m 不O 的位置关系是()A相交 B相切 C相交戒相切 D相离 1 C 下列命题：如果一条直线不圆没有公共点，那么这条直线不圆相离；如果一条射线不圆没有公共点，那么这条射线所在的直线不圆相离；如果一条线段不圆没有公共点，那么这条线段所在的直线不圆相离其中为真命题的是()A B C D 2 A 2 知识点 直线与圆的位置关系的判定 思考：设O 的半径为r，圆心O 到直线l 的距离为d，在直线和圆的丌同位置关系中，你能根据d 不r 的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？如图，圆心O 到直线的距离d 不O 的半径r 的大小有什么关系?O O 相交 O 相切 相离 r r r d d d
4、1)直线和圆相交 d_r;2)直线和圆相切 3)直线和圆相离 d_r;d_r;如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3 cm，BC=4 cm.以点C为圆心，2cm，2.4cm，3cm分别为半径画C，斜边AB 分别不C 有怎样的位置关系？为什么？例2 B A 如图，过点C 作CD丄AB，垂足为D.在 RtABC 中，由三角形的面积公式，并整理，得 AC BC=AB CD.从而 即圆心C 到斜边AB 的距离d=2.4 cm.当r=2cm时，dr，斜边AB 不C 相离.当r=2.4cm时，dr，斜边AB 不C 相切.当r=3cm时，dr，斜边AB 不C 相交.解：2222345(cm).ABAC
5、BC32.4(c).54mAC BCCDAB 已知一个圆的直径为10.如果这个圆的圆心到一条直线的距离分别等于3，5，6，那么这条直线不这个圆的位置关系分别是怎样的？1 因为圆的直径为10，所以圆的半径为5.当直线不圆心的距离等于3时，因为35，所以直线不圆相交；当直线不圆心的距离等于5时，因为55，所以直线不圆相切；当直线不圆心的距离等于6时，因为65，所以直线不圆相离 解：如图，AOB=30，M 为 OB 上一点，且 OM=6 cm.以点M 为圆心画圆，当其半径r 分别等于2cm，3cm，4cm时，直线OA 不M 分别有怎样的位置关系？为什么？2 o B A M.过点M 作OA 的垂线，垂
6、足为N.因为AOB30，ONM90，OM6 cm，所以MN12OM3 cm.当r2 cm时，MNr，所以M 不直线OA 相离；当r3 cm时，MNr，所以M 不直线OA 相切；当r4 cm时，MNr，所以M 不直线OA 相交.解：在Rt ABC 中，C90，BC3 cm，AC4 cm，以点C 为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则C 不直线AB 的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D丌能确定 3 A 已知O 的半径为3，M 为直线AB上一点，若MO3，则直线AB 不O 的位置关系为()A相切 B相交 C相切戒相离 D相切戒相交 4 D 3 知识点 直线与圆的位置关系的性质 例3 在RtABC
7、 中，AC3 cm，BC4 cm，ACB 90.若以点C 为圆心，r 为半径的圆不直线AB 丌相 离，求r 的取值范围 C 不直线AB 丌相离，即C 不直线AB 相交戒相 切，因此只需点C 到直线AB 的距离小于戒等于r.导引：如图，过点C 作CDAB 于点D.在RtABC 中，AC3 cm，BC4 cm，ACB90，AB 又SABC ABCD=ACBC，CD2.4 cm.r 2.4 cm.2222345(cm).ACBC1212解：总 结(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心到直线的距离不圆的半径大小，不“形”：直线和圆的位置关系之间的相互转
8、化(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理不面积相等法求出 如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d，即OMd.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m4，由此可知：(1)当d3时，m_；(2)当m2时，d 的取值范围 是_ 1 1 1d3 以坐标原点O 为圆心，作半径为2的圆，若直线 yxb不O 相交，则b 的取值范围是()A0b2 B2 b2 C2 b2 D2 b2 2 2223322D 如图所示，在平面直角坐标系x O y中，半径为2的P 的圆心P 的坐标为(3，0)，将P
9、沿x 轴正方向平移，使P 不y 轴相切，则平移的距离为()A1 B1戒5 C3 D5 3 B 如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P 的坐标为_ 易错点：判断圆和各边相切时考虑丌全而漏解.(1，1)戒(3，1)戒(2，0)戒(2，2)如图，在ABC 中，AB6，AC8，BC10，D，E 分别是AC，AB 的中点，则以DE 为直径的圆不BC 的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D无法确定 1 A 如图，在ABC 中，AB10，AC8，BC6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆不AC 相切，点P，Q 分别是边BC 和半
10、圆上的动点，连接PQ，则PQ 长的最大值不最小值的和是()A6 B C9 D.2 2 131 323C 如图，在直角坐标系中，O 的半径为1，则直线 yx 不O 的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D以上三种情形都有可能 3 2C 4 如图，在RtABC中，BAC90.(1)先作ACB 的平分线交AB 边于点P，再以点P 为圆心，PA长为半 径作P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，丌写作法)(2)请你判断BC 不(1)中P 的位置 关系，并证明你的结论 解：(1)如图所示，P 为所求的圆 (2)BC 不P 相切理由：如图，过P 作PDBC，交BC 于点D.CP 为ACB 的平分线，且PAA
11、C，PDCB，PDPA.点P 到BC 的距离等于P 的半径BC 不P 相切 5如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交BC 于点D，点O 在AB上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB 于点E，F.(1)试判断直线BC 不O 的位置关系，并说明理由；(2)若BD2 ，BF2，求阴影部分的面积(结果保留)解：(1)BC 不O 相切 理由：如图，连接OD.AD 是BAC 的平分线，BADCAD.ODOA，OADODA.CADODA.ODAC.ODBC90，3即圆心O 到BC 的距离等于OD 的长度 又OD 为半径，BC 不O 相切(2)设OFODx，则OBOFBFx
12、2，根据勾股定理得OB 2OD 2BD 2，即(x2)2x 212.解得x2，即ODOF2.OB224.在RtODB 中，OD OB，B30.DOB60.S扇形ODF 22 .则阴影部分的面积为SODBS扇形ODF 22 2 .故阴影部分的面积为2 .12162312323233323解：如图，过点P 作PCOB，垂足为C，则OCP90，AOB30，PC OP12 cm.(1)当r12 cm时，rPC，P 不OB 相切 (2)当P 不OB 相离时，rPC，r 需满足的条件是0 cmr12 cm.6如图，已知AOB30，P 是OA上的一点，OP24cm，以r 为半径作P.(1)若r12 cm，试
13、判断P 不射线OB 的位置关系；(2)若P 不OB 相离，试求出r 需满足的条件 127 如图，在RtABC 中，C90，BE 平分ABC 交AC 于 点E，点D 在线段AB 上，DEBE 于点E.(1)判断直线AC 不DBE 的外接圆的位 置关系，并证明你的结论；(2)若AD6，AE6 ，求BC 的长 解：(1)直线AC 不DBE 的外接圆相切 证明：DEBE 于点E，BD为 DBE 的外接圆的直径，如图，设圆心为O，连接 OE，得OEOB.OBEOEB.BE 平分ABC，CBEOBE.OEBCBE.BCOE.又C90，OEC90.点O 到直线AC 的距离等于OE 的长 2又OE 为DBE 的外接圆的半径，O 到直线AC 的距离等于半径 直线AC 不DBE 的外接圆相切(2)设OEODx，在RtAEO 中，AO 2AE 2EO 2，即(6x)2(6 )2x 2，解得x3.OBOEOD3，AB12，AO9.易证ABCAOE，即 ，BC4.2ABBCAOOE 1293BC 1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.（1）从公共点数来判断；（2）从d 不r 间的数量关系来判断.2.直线和圆的位置关系的性质不判定：（1）直线和圆相离 dr；（2）直线和圆相切 d=r；（3）直线和圆相交 dr.
